滲透建模思想，傳遞研究套路——“一次函數”教學設計與立意解讀

☉江蘇省江陰市華西實驗學校孫小林

滲透建模思想，傳遞研究套路——“一次函數”教學設計與立意解讀

☉江蘇省江陰市華西實驗學校孫小林

一次函數的教學一直是研究的熱點，如何基于生活現實，巧妙過渡、引入到一次函數的概念，并與此前已學的正比例函數概念關聯起來，引導學生辨析它們之間的內在聯系，并類比學習新的內容，是很多“同課異構”研討的重點與難點.筆者近期有機會執教一次函數（第1課時）的公開課教學，對此做一些思考和實踐，現將該課的教學設計整理出來，并附教學立意的解讀，提供研討與批評.

一、“一次函數”教學設計

1.活動現實，引入新課

給出一組實際問題（限于篇幅，略去），由學生列出其中變量之間的關系式（都是一次函數關系）.

活動預設：教師用PPT展示問題情景，學生自主探究問題中變量之間的關系式，并且由學生小組內交流，教師巡視、組織全班交流.

設計意圖：以探索實際問題中的數量關系和變化規律為背景，讓學生經歷“找出常量與變量，建立并表示一次函數的模型”的過程，在此過程中體會學習新知的必要性，體會數學知識來源于實際生活，激發學生學習數學、解決實際問題的興趣.

2.合作交流，探究新知

將上面學生列出的四個函數關系式排列在一起.

y=-6x+5；

y=0.1x+22；

G=1h+（-105）；

H=-50t+（-20）.

問題1：請思考這四個函數關系式的共同點，并指出一次函數與正比例函數之間的關系.

問題2：請再舉出一些一次函數的例子.

活動預設：PPT呈現所得的四個函數解析式，學生觀察、思考、議論，類比正比例函數的概念，給出一次函數的概念.

問題3：對于一次函數的一般形式y=kx+b中的k可以等于0嗎？為什么？b可以等于0嗎？若b=0，函數式子是什么？（小組議論后，全班交流）

問題4：一次函數y=kx+b（k、b為常數且k≠0）中自變量的取值范圍是什么？

設計意圖：訓練學生的抽象思維能力，為給出一次函數的定義做好鋪墊.抓住學生的認知規律，將原有的學習經驗遷移到新的學習中，感悟從特殊到一般的思想方法.通過舉例及時反饋學生對一次函數的認知情況，滲透從一般到特殊的數學思想.

3.概念辨析，理解新知

給出一組習題，通過練習讓學生對一次函數的概念進行辨析.

（1）判斷下列函數是否是一次函數：①y=-0.5x-1；②y=；③y=-2x；④y=；⑤y= -x2+3；⑥y=ax+3（a是常數）.

（2）填空：

①當m=____時，函數y=（m-1）xm-2+2m是一次函數，其解析式是_____.

②已知函數y=（m-1）x|m|+3m是一次函數，則m= _______.

（3）當（y+2）與（x+1）成正比例關系時，y是x的一次函數嗎？為什么？

講評預設：學生回答練習（1）后，追問理由；小組討論第（3）題，各自寫出解答過程.教師巡視，選兩名同學板演，師生共同評價.并引導學生小結出一次函數的相關性質，形成如下的板書：

一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的結構特征：

①k≠0；

②x的次數是1；

③常數項b可以是任意實數，解題時不能忽視k≠0條件.

還需要跟學生強調：由一次函數的定義可知，若函數是一次函數，則其解析式可化為y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的形式.反之，若一個函數的解析式可化為y=kx+b（k、b是常數，且k≠0）的形式，則此函數為一次函數.

設計意圖：給出一組辨析題旨在讓學生體會解決這類問題的關鍵是緊扣一次函數的概念，即采用回歸定義法.解決第（2）小題時，還體現了轉化思想，通過一次函數的概念將問題轉化為不等式或方程組求解.

此外，通過設置問題（1）讓學生直接根據定義辨識；通過設置問題（2）讓學生進一步深化定義；通過設置問題（3）根據定義再次自主探究；這樣通過問題鏈，由淺入深，讓學生對一次函數概念的學習經歷：聽懂了→理解了→學會了→會學了，真正做到舉一反三、觸類旁通.讓學生積極參與學習，促進自我發現容易出錯的地方，相互提醒該注意的問題.趁熱打鐵進行解題后的小結往往是對學生思維上的一次提升.

4.例題教學，運用新知

例1汽車油箱中原有油50升，如果行駛中每小時耗油5升，求油箱中的余油量y（單位：升）隨行駛時間x（單位：小時）變化的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍，y是x的一次函數嗎？

例2如圖1，長方形ABCD中，長AD=12cm，寬AB= 5cm.點P在邊AD上運動（可以與A重合，但不與D重合），設線段AP的長為x cm.

（1）寫出線段PD的長度y與x之間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；

（2）寫出△PCD的面積S與x之間的函數關系式.當點P運動到AD的中點時，△PCD的面積是多少？

圖1

活動預設：首先，由學生自主解答例1，再全班交流，教師板書解題過程，示范書寫步驟.其次，小組討論例2，全班交流，學生展示例2的解題過程，教師即時點評.最后，在運用一次函數概念解題的過程中，引導學生發表他們解題過程中的收獲與感悟（議論、交流）.

設計意圖：兩個例題引導學生用一次函數的模型解決問題，并學會確定實際問題中函數自變量的取值范圍.通過問題探究，讓學生進一步明確：①識別一個函數是否為一次函數，關鍵是準確把握定義；②實際問題中的函數要根據自變量的實際意義考慮自變量的取值范圍.

5.練習鞏固，及時反饋

PPT展示練習題，組織學生解答并交流：

（1）如圖2，一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動，其速度每秒增加2米.

①求小球速度v隨時間t變化的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；它是一次函數嗎？

（2）某5A風景區集體門票收費標準是：20人內（含20人）每人25元，超過20人的部分每人10元.

①寫出應收門票費y（元）與游覽人數x（人）（x＞20，且x為整數）之間的關系式；

②利用①中的函數關系式，計算某班56名學生去風景區游覽時，為購門票花了多少錢？

（3）請設計一個能用一次函數來刻畫的實際問題，并寫出函數關系式.

講評預設：學生完成練習后安排板演展示，由其他學生評價、補充板演同學的解答過程，教師強調相關注意點.

設計意圖：通過板演或講解展示鍛煉學生的表達能力，培養了學生嚴謹的思維方式，學會了用函數思想去解決實際問題，實現了知識向能力的轉化.對于第（1）題，旨在提高學生應用一次函數知識解決問題的能力，并養成用數學的思維和方法解決生活中遇到的實際問題的能力.對于第（3）題，意在通過活動鼓勵學生在獨立思考的基礎上積極地參與到對數學問題的討論中來，勇于發表自己的觀點，善于理解他人的見解，在交流中獲益.同時進一步體驗數學建模思想.

6.回顧小結，布置作業

課件展示本節課知識點、注意點及研究方法，完善出本課的板書，如圖3所示.

圖3

設計意圖：通過回顧反思，有意識地引導學生梳理所學知識、數學思想和方法，培養學生善于反思的良好習慣.特別是通過板書的呈現，使學生在認知結構上得到完善，在整體認識上得到升華.布置作業（略）.

二、教學立意的進一步闡釋

1.重視生活現實中的一次函數模型，滲透建模思想

一次函數在活動中有很多現實模型，本課例從開課階段就選取了教材及相關資料上的生活現實，讓學生提煉出一次函數的關系式，并思考一次函數與正比例函數之間的關系，從而滲透建模思想.也就是在學生原有認知（函數概念、正比例函數概念）的基礎上，通過問題情境，讓學生自主感知概念；通過觀察議論，讓學生類比正比例函數構建一次函數概念；通過一組辨析題，使學生強化概念；通過例題分析，讓學生應用概念；通過練議，尤其是編題，讓學生鞏固、升華概念.

2.引導經歷特殊到一般的研究過程，傳遞研究套路

從上面的教學流程來看，不但讓學生體驗一次函數是解決實際問題的又一數學模型，同時讓學生感悟“從特殊到一般，從具體到抽象”的數學“研究套路”（章建躍博士語）.這樣引導學生在課堂活動中感悟知識的生成、發展與變化，也就發展了學生的“學力”（李庾南老師語）.作為文末，想起那段意味深長的話，與同行們共勉：多年以后，當學生忘了在學校里所學的具體的知識之后，留在他們腦中的解決問題的套路、著眼點，數學的精神、思想與方法是無時無刻不在發揮作用的.

1.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

2.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.章建躍.全面深化數學課改的幾個關鍵［J］.課程·教材·教法，2015（5）.

4.張奠宙.數學教育需要民族文化的滋潤——從《PISA報告（2012）》說起［J］.數學教學，2014（1）.H