由“方程組”談談數學思維

☉山東淄博市臨淄區皇城一中張達

由“方程組”談談數學思維

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數學是思維的體操，數學思維的提升是數學教學的最終目標.方程組思維又是初中學生區別于算術思維需要首先培養的一類思維，如何看待方程組思維及如何培養呢？請看下面的論述.

【案例一】已知x1、x2是方程x2-2x+a=0的兩個實數根，且x1+2x2=3-，求x1、x2及a的值.

不怕大家笑話，看著條件x1+2x2=3-，筆者很長時間沒有思路，不知怎么處理這個x1加上兩個x2.在想了很長時間以后，我才憋出這么個想法來：用上兩根之和x1+x2=2，這樣不就可以求出x2了嗎？！在這樣先求出x2，又把x2代回x1+x2=2中求出x1的那一剎那，一種新的想法頓時給我剛剛的欣喜潑了一盆冷水，因為我意識到了一種更為高層次的思維方法——方程組.原來x1+2x2=3-就是關于未知數x1、x2的一個方程、一個條件，它需要連同兩根之和這另外一個條件來發揮作用，不可厚此薄彼.

這也解釋了為什么盯著x1+2x2=3-沒有任何思路的原因，一看到什么條件就想著非從它身上弄出點兒什么結果來，這種直白的、順序性的思維是不奏效的.

當我有點兒慚愧時，我還要為自己辯護幾句：對任何事物的認識都不是一蹴而就的，都得有些原始的、樸素的積累，然后比較、反思，最終形成更高層次的見解.我們切不可踩著這些積累走過來了再回頭去說它們基礎，說它們“低等”，那樣恰恰是不對的，沒有這個真實的學習過程，那些所謂的高等認識也是空中樓閣，不接地氣，是無根之木、無源之水.

圖1

【案例二】“求交點就是聯立方程組”這句話說著容易，理解起來不簡單.

如圖1，求直線y=-2x-1與直線y=-x的交點A的坐標.

同學們多數還是這樣做的：列方程-2x-1=-x，其潛在的理解是：題目讓求交點的坐標，就是求自變量是多少時兩個函數值相等.結果自變量的地位被自然地突出出來了！所以對于用這種一元一次方程的方法解決問題的同學來講，“方程組”就是不習慣和難以接受的.老師就要去做更細致的點撥：交點的橫、縱坐標就是兩個未知數，它們的地位是平等的.既然是兩個未知數，就需要找兩個條件，列兩個方程，統籌地解決它們.這兩個條件就是交點A同時所在的兩條直線，兩個方程就是兩個解析式.

【案例三】如圖2，正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°且EF交正方形外角的平分線CF于點F，在如圖3所示的坐標系中，當點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線y= -x2+x+1上，求此時點F的坐標.

我是這樣做的：點F在拋物線y=-x2+x+1上，就設點F為（a，-a2+a+1），為了把a求出來，需要再找一個條件.在作了FH⊥x軸之后，再找的條件為FH=CH，這樣-a2+a+1= a-1，解得a=，點F為（，-1）.

圖2

參考答案是這樣做的：作FH⊥x軸，設點F的橫坐標即BH的長為a，則點F的縱坐標即FH=CH=BH-1=a-1，再把（a，a-1）代入拋物線的解析式得-a2+a+1=a-1，解得a=，點F為（，-1）.

以上兩種方法都是有側重的.

方法1是先利用“在拋物線上”這一條件去設未知數，實際上是想先得到一個結果，即縱坐標可用含橫坐標的表達式-a2+a+1表示出來，然后利用“FH=CH”這一條件列方程.

方法2是先利用“FH=CH”這一條件去設未知數，實際上也是想先得到一個結果，即縱坐標可用含橫坐標的表達式a-1表示出來，然后利用“在拋物線上”這一條件去列方程.這還是說條件的選擇、使用有順序性，用完一個，再用一個，而不是同時考慮.

要是不分先后，統籌、平等地看待這兩個條件（“在拋物線上”“FH=CH”）就會得到方程組：

剛才那兩種解法就是把①代入②，或把②代入①的問題了.而FH=CH這個條件翻譯出來的式子y=x-1就是直線CF的解析式，這個題就是去求拋物線與射線CF的交點.

小結

“方程組”的思維在于整體地、統籌地、平等地對待一個個條件.在翻譯出某一個條件時并不指望它能得出一個什么直接的結果，而是耐心地寫出另一個后，再綜合處理這些方程.學生形成方程（組）思維可以從以下幾步去引導.

一是讓他們學會代數設想.具體地說，讓學生逐步學會在思考問題時，假設問題已經解出，并用某個字母表示，然后去尋求未知量應滿足哪些條件，亦即尋求未知量與已知量之間的關系.

二是引導他們學會代數翻譯.牛頓這樣說過：“要想解一個有關數目的問題或有關量的抽象關系的問題，只要把問題日常語言翻譯成代數的語言就成了.”所謂代數語言，基本“詞匯”就是代數式，把自然語言翻譯成代數語言，就是構造代數式列出方程（組）.

三是引導他們理解解方程（組）的實質.解方程（組）的過程實質上就是通過已知量和未知量的重新組合把未知量轉化為已知量的過程.

方程組思維只是眾多數學思維中的一種，推而廣之，每種思維的培養都可像培養方程組思維這樣，深入分析，充分對比，逐步提升，優化認識.這就要求教師在教學中一方面要無條件地相信學生，給予充足的時間和空間，發揮他們的思維潛能，一題多解，集思廣益；另一方面要提高點撥的能力，即從一種思維到另一種更高層次的思維的引導、轉化、提煉的過程如何更自然和順理成章.我認為：若我們做好這些，數學思維培養的這一最終目標一定可以實現.Z