回歸·堅守·創新

☉山東濱州市北鎮中學初中部邢成云

回歸·堅守·創新

☉山東濱州市北鎮中學初中部邢成云

新的課程改革的理念需要落地，需要教學的踐行，但若沒有中考試題之引領與助推作用，即缺乏最有說服力的評價，行動的落實往往會打折扣.課改理念的召喚及中考試題風向標的合力將有效引領教師轉變教學觀念，追求更高層級的教學效益.筆者通過對中考試題的研究發現：江西省中考試題（課標卷）較好地落實了課改理念，并不時有創新之舉，除了客觀評價學生，還關注了學生的可發展性，對思維的深度頗有要求，同時給我們中考研究提供了優質的素材.本文擷取僅用“直尺作圖”的一角，探研這類題的立意與價值，期盼更多類似的題目出現，在這類創意作圖中彰顯數學本味，在限制工具中增大智能挑戰性，以發展學力、助力思維、提升數學的綜合素養.

筆者發現，從2004年始（課標卷），江西省開始出現僅用“直尺作圖”的題目，一開始是立足網格，由明確工具到隱形考查（2005年、2006年），立意清新，到2007年擺脫網格，獨出機杼，給人別有洞天之感.2008年-2011年這4年這類題目忽然遁去，但到了2012年回歸僅用“直尺作圖”，至今連續4年都在此精心策劃題目，命制出很有品味的考題.另外，在省命題取向的感召下，省轄大市也紛紛命出此類問題，成為江西省的一道“景觀”.以下通過評析的形式與眾位同仁共享，以期引起共鳴.

一、借力網格

例1（2004）如圖1，已知方格紙中的每個小方格都是相同的正方形.∠AOB畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點P，使點P落在∠AOB的平分線上.

分析：很顯然，要找到∠AOB的平分線上的一個格點，顯然需要這一點到角兩邊的距離相等，但由于這個點P處于格點位置，靠尺規作圖未必能隨人愿乖乖地就范于格點.基于此，立足網格、圖形及所找點P應滿足的條件，直接在圖中把它挖出來才是應然之舉，需要的作圖工具直尺足矣！對∠AOB居于網格的位置進行觀察、分析、判斷，并用角平分線的概念、判定方法等審視、比對，發現很難直接找到一個格點到角兩邊的距離相等，這樣就督促我們擴大視野、廣泛搜索，依托網格線直接（縱橫線）或間接（正方形對角線）畫出.在此有一個既得經驗——角平分線的尺規作圖，由于點B、點O處在格點上，根據勾股定理算得BO=5，又OA=5，則有AO=BO=5，此時若再能找到一個格點使它到B、A兩點的距離相等（突破了原有到角兩邊的距離相等這一定勢）即可，依托勾股定理及三角形全等等知識，憑借直觀與計算發現P1A=P1B=P2A=P2B=、P3A=P3B=5，故圖2中的三個點P1、P2、P3均符合題意.（附點P3其他的尋找思路：過點B的橫線一定平行于OA，借助“角平分線+平行線=等腰三角形”模型可想到只要將點B沿水平線平移5個單位即可）

圖1

圖2

點評：本題把角分線的軸對稱性鑲嵌于網格內，凸顯出只用直尺作圖的智能性，在淡化了尺規作圖的基礎上，深度展現了幾何圖形的內在屬性，以角平分線為核心，聯通了勾股定理、三角形全等及等腰三角形等重點知識.

例2（2005）平面直角坐標系中，點A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上.

（1）在圖3中清晰標出點P的位置；

（2）點P的坐標是_________.

圖3

圖4

分析：看似沒有只用直尺的要求，但隱形考查的就是利用直尺找到交叉點，確立點P的位置，而后寫出其坐標.這是因需而用的.答案如圖4，即點P（6，6）.

點評：這類題目沒有明確讓我們作圖，但解答的過程中又必須有作圖的支持才能化解問題，這種因需而生是活用“四基”的一種折射，它借助網格考查學生的動手操作及思維實驗能力.

例3（2006）請在由邊長為1的小正三角形組成的虛線網格（圖5）中畫出一個所有頂點均在格點上，且至少有一條邊長為無理數的等腰三角形.

分析：本題看似一個隨意性較大的畫圖，其實關涉兩個重要的概念：一是無理數，二是等腰三角形，另外還有格點的限制，是對幾何直觀的考查.其視角可定位為一邊為無理數的、兩邊為無理數的、三邊均為無理數的，如圖5中的虛線三角形即為其一（等邊三角形）.

點評：本題是一道開放性畫圖題，它無非是將網格中得天獨厚的垂直關系、平行關系挖掘出來，或許就是一個簡單的連線，往往給人豁然開朗的感覺，因此這類題備受命題者與考生的青睞.

圖5

二、無格而作

例4（2007）如圖6，已知∠AOB，OA=OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF是矩形.請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線（請保留畫圖痕跡）.

圖6

圖7

分析：由于已知OA=OB，說明△OAB是等腰三角形.根據“矩形的對角線互相平分”的性質，連接矩形的兩條對角線，即可找到AB的中點G.射線OG即是所要作的∠AOB的平分線（如圖7）.

點評：本題巧妙地把等腰三角形“三線合一”性質的基本圖形與矩形的基本圖形進行了有機結合，其妙在于矩形對角線的交點恰為等腰三角形底邊的中點，正是這種內在關聯，才形成一道別有韻致的好題！

三、梅開二度

例5（2012）如圖8，已知正五邊形ABCDE，請用無刻度的直尺，準確畫出它的一條對稱軸（保留畫圖痕跡）.

分析：本題充分利用了正五邊形的性質：5條邊相等、5個角相等，是軸對稱圖形，且有5條對稱軸，每一條對稱軸都通過頂點，基于這些知識經驗的支持，我們只要再找到對稱軸上另外一點即可，根據平時研究這個圖形積累的經驗：若連對角線，等腰梯形、等腰三角形立即顯現，依據等腰三角形的對稱性，不難想到連接兩條對角線即可尋到要找的“點”.即連接BD、CE交于點K，直線AK即為所求（如圖9）.這僅是其一，其他4條同法可得.另法：可以固定一個頂點，比如A點，然后分別延長ED、BC交于點O，直線AO即為所求.可見，本題作法不唯一.

圖8

圖9

點評：相隔4年，此類題目再次亮相，二度發展，這種回歸是對這類題目的進一步創新與堅守.通過本題，我們獲得一個發現：正多邊形中除了正三角形，其他均可以只用直尺完成對稱軸的作圖.

例6（2013）如圖，AB是半圓的直徑，圖10中，點C在半圓外；圖11中，點C在半圓內，請僅用無刻度的直尺按要求畫圖.

圖10

圖11

（1）在圖10中，畫出△ABC的三條高的交點；

（2）在圖11中，畫出△ABC中AB邊上的高.

分析：圖10中點C在圓外，要畫三角形的高，就是要過點B作AC的垂線，過點A作BC的垂線，但題目限制了作圖的工具——無刻度的直尺（只能作直線或連接線段），說明必須用所給圖形本身的性質來畫圖（這就是創新作圖的魅力所在），作高就是要構造90°角，顯然由圓的直徑就應聯想到“直徑所對的圓周角為90度”.設AC與圓的交點為E，連接BE，就得到AC邊上的高BE；同理設BC與圓的交點為D，連接AD，就得到BC邊上的高AD，則BE與AD的交點就是△ABC的三條高的交點（如圖12）；題（2）是題（1）的拓展、升華，三角形的三條高相交于一點，受題（1）的啟發，我們能夠作出△ABC的三條高的交點P，再作射線PC與AB交于點D，則CD即為所求（如圖13）.

圖12

圖13

點評：本題是基于一道競賽題的改造題，歸屬考查對象的作圖創新，它考查考生對圓的性質的理解、讀圖能力.題（1）要作點，題（2）要作高，都是要解決直角問題，其實用到的知識就是“直徑所對的圓周角為直角”.如何靈活調度這一知識實現作圖轉化是問題的命脈.

例7（2014）已知梯形ABCD，請使用無刻度直尺畫圖.

（1）在圖14中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；

圖14

圖15

（2）在圖15中畫一個與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的平行四邊形.分析：設小正方形的邊長為1，則S梯形ABCD=（AD+ BC）×4=×10×4=20.這是問題的出發點，剩下的工作就是如何找到面積值為20的符合條件的圖形.

（1）以CD為邊，以梯形上下底之和為三角形的底，梯形的高為三角形的高作出△CDE（如圖16），或以CD（4）為邊作出高為20×2÷4=5的圖形（如圖17），△CDE就是所作的三角形.

圖16

圖17

（2）以梯形的高為平行四邊形的高，梯形的腰AB為平行四邊形的一邊，梯形上下底之和的一半為平行四邊形的另一邊作圖.如圖18，BE=5，BE邊上的高為4，則平行四邊形ABEF的面積是5× 4=20，則平行四邊形ABEF就是所作的平行四邊形.

點評：本題以等積變換為載體，綜合考查勾股定理、平行四邊形的判定及全等變換等核心知識，同時也揭示了一種圖形化歸為其他圖形常用的方法，是一種化非常規為常規、化不規則為規則的基本思路的展示.

例8（2015）⊙O為△ABC的外接圓，請僅用無刻度的直尺，根據下列條件分別在圖19、圖20中畫出一條弦，使這條弦將△ABC分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（1）如圖19，AC=BC；

圖18

圖19

圖20

（2）如圖20，直線l與⊙O相切于點P，且l∥BC.

圖21

圖22

如圖22，由l切⊙O于點P，作射線PO，交BC于點E，則PO⊥l.又l∥BC，則PO⊥BC.由垂徑定理知點E是BC的中點，連接AE交⊙O于F，則AF為所求作的弦.

點評：本題把等分面積與垂徑定理接軌，以“中點”為載體形成交匯，考查的角度比較新穎，第二問增大挑戰性，借力切線的性質顯現出垂徑定理的使用條件，把問題化解，兩個問題層級遞進，關聯密切，形成了一道智趣橫生的作圖題.

【寫在最后】

只用直尺作圖，失去了圓規的助力，更多地傾向于考查幾何圖形的核心本質，其智能性強，其指向具備了常規作圖的幾何直觀和幾何性質的思辨等雙重功能，原來一般是一些數學愛好者視域內的東西，或者出現在競賽題中，也就是說這類題型已有先例、并非原創，但在中考中展開考查，并且堅持考查既是一種膽識，也是一種創新，此類淡化尺規作圖的題目具有較高的思維價值，是典型的能力立意的好題目，通過作圖承載“四基”的考查，新穎別致，活潑靈動，同時為幾何教學開辟了一個新路徑，我們期待江西省來年的中考仍有“直尺作圖”的一席之位.

1.邢成云.只用直尺，所以精彩［J］.中小學數學（初中），2015（9）.

2.錢云祥，錢德春.與初一孩子一起“玩”中考題——一道中考網格題在初一課堂上的嘗試與思考［J］.中學數學（下），2015（7）.Z