高中概率統(tǒng)計內(nèi)容設置的國際比較——基于15個國家數(shù)學課程標準的研究

曹一鳴，王萬松

（北京師范大學 數(shù)學科學學院，北京 100875）

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高中概率統(tǒng)計內(nèi)容設置的國際比較——基于15個國家數(shù)學課程標準的研究

曹一鳴，王萬松

（北京師范大學 數(shù)學科學學院，北京 100875）

摘要：對中美英等15個國家的20個高中數(shù)學課程標準中的概率統(tǒng)計內(nèi)容，進行定量分析和定性分析．包括各課標中知識點的廣度、深度、核心模塊知識分布，以及課標中關于概率統(tǒng)計內(nèi)容與排列組合知識的關系，文理科學生所學內(nèi)容的差異等．荷蘭、法國理科內(nèi)容最廣，中國理科第三，文科第八．日本、荷蘭難度最大，中國文理科分列倒數(shù)第三、第四．總體上講，中國概率統(tǒng)計內(nèi)容“廣而不深”．

關鍵詞：概率統(tǒng)計；高中；課程標準；比較研究

1 研究背景

近年來，研究者對中外高中數(shù)學課程進行了系列的研究，首先翻譯介紹主要國家高中數(shù)學課程標準[1]，并在此基礎上進一步對高中函數(shù)、立體幾何、解析幾何、總體內(nèi)容分布等方面進行了國際比較研究[2～5]．

在中學數(shù)學課程中，“概率統(tǒng)計”的教學越來越受到教學界的重視．概率統(tǒng)計是人們了解“不確定性”數(shù)學現(xiàn)象、基于大數(shù)據(jù)進行分析與推斷的重要工具．依據(jù)大量無組織的信息進行數(shù)據(jù)分析處理，并作出合理的決策，已成為未來公民必備的基本核心素養(yǎng)．

選擇了15個國家的20種高中數(shù)學課程標準為研究對象，針對高中概率統(tǒng)計內(nèi)容進行定性與定量的比較分析．目的是通過對其他國家的高中概率統(tǒng)計的課程內(nèi)容設置的比較，結合中國的實際情況，對中國高中概率統(tǒng)計課程建設提供一定建設性的參考．

2 研究設計

2.1 樣本選取

選取了以下五大洲共計15個國家的20個版本的高中數(shù)學課程標準文本作為研究對象．

亞洲：中國、韓國、新加坡、日本、印度；歐洲：英國、德國、法國、荷蘭、俄羅斯、芬蘭；美洲：美國、加拿大；大洋洲：澳大利亞；非洲：南非．

概率統(tǒng)計比較研究涉及的高中數(shù)學課程標準文本如表1所示．

表1 概率統(tǒng)計比較研究涉及的高中數(shù)學課程標準文本

需要說明的是，有些國家并沒有國家層面的統(tǒng)一的課標，在進行比較時，則選用了這個國家某個地區(qū)數(shù)學課程標準．還有些國家對于普通高中有一個課標，對于職業(yè)高中有一個課標，對于有數(shù)學天分的學生有另外一個課標，則只選擇其中的普通高中課標．

2.2 研究方法

研究主要基于各國高中數(shù)學課程標準的文本資料，主要來源于參考文獻[1]，并進一步參考原文和其它的參考文獻，進行定量分析與定性分析．

2.2.1 定量分析

定量分析主要包括：概率統(tǒng)計知識的廣度、深度、認知水平分布、核心模塊知識分布．

課程廣度指的是課程內(nèi)容所涉及的范圍和領域的廣泛程度．通過統(tǒng)計課程內(nèi)容所涉及的知識點的個數(shù)，將知識點最多的國家的課程廣度定為1，其余國家的課程廣度為知識點個數(shù)與知識點最多的課標中知識點個數(shù)的比值．

在課程深度時計算時，依據(jù)課程標準中對目標要求的描述所用詞語分別指向4種依次遞進的學習目標．參考新修訂的布魯姆認知水平．將上述所有課標中的學習要求分成4個層次，具體情況見表2，對于A層次，B層次，C層次，D層次，分別賦值1、2、3、4，然后對總目標進行求和，再算出算術平均值，以該值作為該課標的深度．

表2 概率統(tǒng)計國際比較目標賦值

2.2.2 定性分析

文中的定性分析主要包括以下方面：

（1）探討各個版本的課程標準中概率統(tǒng)計與排列組合知識的關系；

（2）對有些國家針對不同需求學生（如分文理科等）要求所學概率統(tǒng)計內(nèi)容的差異分析．

選擇這兩個方面來進行研究，主要是因為這些也是中國在高中數(shù)學課程改革中大家比較關注，“課標”與“大綱”之間在概率統(tǒng)計內(nèi)容方面有較大差異的方面．

3 高中課標概率統(tǒng)計內(nèi)容國際比較

3.1 廣度分析

對澳大利亞（基礎）、澳大利亞（專業(yè)）、英國、法國（理科）、法國（文科）、美國、德國（基礎）、德國（提高）、日本、韓國、新加坡、芬蘭、荷蘭、印度、俄羅斯（基礎）、俄羅斯（專業(yè)）、加拿大、南非、中國（理科）、中國（文科）20個課標中概率統(tǒng)計部分的知識點個數(shù)進行統(tǒng)計，得到上述課標中概率統(tǒng)計的廣度排名如圖1所示．

從圖1中可以清晰地看到，荷蘭課標中包含的知識點個數(shù)是最多的，廣度最大，法國次之，中國的理科課標廣度排在第三位．荷蘭比中國理科多的知識點主要有：概率密度函數(shù)、均勻分布、用樹圖計算概率、根號n法則、中心極限定理、樣本比例、條形圖、扇形圖、餅狀圖、頻數(shù)多邊形、零假設、備擇假設、單面假設、雙面假設、顯著性檢驗等．法國理科比中國理科多的知識點主要有：概率密度函數(shù)、棣莫弗-拉普拉斯定理、全概率、均勻分布、指數(shù)分布、樣本比例、四分位數(shù)、盒式圖、區(qū)間估計、置信區(qū)間、置信度、波動范圍、蒙特卡洛方法等．

圖1 概率統(tǒng)計知識廣度排名

中國文科課標中的概率統(tǒng)計知識也不能算少，排在第八位，處于中上水平．印度，芬蘭，俄羅斯（基礎），俄羅斯（專業(yè)），加拿大所涉及的知識點最少．

3.2 深度分析

如前所述，統(tǒng)計各國課標中關于概率統(tǒng)計部分的深度值需要知道該課標中對每個知識點要求學生掌握的程度．有些遺憾的是，印度、德國、新加坡和俄羅斯4個國家的課標中只是列出概率統(tǒng)計部分的知識點，并沒有提及這些知識點需要學生掌握的層次．因此，對課標中概率統(tǒng)計部分的深度值統(tǒng)計只能考察其中11個國家的14個課標．各課標中概率統(tǒng)計部分的深度值排名如圖2所示．

圖2 概率統(tǒng)計知識深度排名

從圖2中可知，在這14個課標的概率統(tǒng)計內(nèi)容的深度排名中，日本遙遙領先，值為2.62．荷蘭與南非緊隨其次．加拿大排名第四，而在廣度排名中，加拿大是排倒數(shù)第一的．其實，這并不奇怪．加拿大知識點少不代表對每個知識點的要求低．中國文科和中國理科分別排名倒數(shù)第三和倒數(shù)第四，這說明中國課標在概率統(tǒng)計內(nèi)容方面的要求是“廣而不深”的．涉及的知識點很多，但需要掌握的層次較低．韓國排名倒數(shù)第一，值為1.67．

3.3 內(nèi)容分布情況比較

3.3.1 認知水平分布情況

從圖3中可以看出，各國課標在A、B、C、D四個層次（分別指了解、理解、掌握、靈活運用）的認知水平分布情況是有差異的．大部分國家B層次較多．中國（文科）、中國（理科）、澳大利亞（基礎）和韓國課標中的A層次相對于其他國家來說，是比較多的．分別為35%、40%、43% 和43%．荷蘭是所有課標中，C層次最多的，高達37%．而日本是所有課標中，D層次最多的．這從一個側面反映出日本課標在概率統(tǒng)計方面對學生的要求是較高的．

圖3 4個認知水平的知識點個數(shù)所占比重統(tǒng)計

3.3.2 核心知識模塊分布情況

概率統(tǒng)計大致可以分為概率和統(tǒng)計兩部分內(nèi)容．在考察的15個國家的20個課標，雖然各具特色，但都是既包括概率，又包含統(tǒng)計．研究者對于每個課標中所含的概率和統(tǒng)計廣度分別進行了統(tǒng)計．

圖4 不同核心知識模塊的廣度在本課標中所占比重

從圖4中可以看出，各國對于概率和統(tǒng)計知識的重視程度是不太一樣的．中國文科統(tǒng)計占79%，理科統(tǒng)計占58%，這是因為中國的理科生要學習“選修2-3”，而文科生要學習“選修1-2”，兩本書都有《統(tǒng)計案例》一章，但“選修2-3”中還有一章“概率”，所以文科生和理科生學習的統(tǒng)計知識是一樣多的，但理科生學習的概率知識要多一些．

3.4 質(zhì)性分析

3.4.1 不同層次的要求

與中國類似，很多國家對于高中數(shù)學課程標準是分在不同層次要求的，只不過叫法會略有差異．如有的國家是分成基礎課程與提高課程．在實施“課改”之后，中國的文科生和理科生在概率統(tǒng)計方面，需要學習的內(nèi)容有很大差異．經(jīng)過分析、對比發(fā)現(xiàn)：澳大利亞和中國課程標準對文理科學生概率統(tǒng)計要求有很明顯的差異．澳大利亞的文科生幾乎不學概率，而中國的文科生學習的概率僅限于“必修3”中的概率部分；兩國文科的課程標準都不包括排列組合；兩國的文科生在統(tǒng)計方面的要求并不低．這主要是因為統(tǒng)計知識相對來說難度較小，且更加實用，適合于文科學生學習，基本的統(tǒng)計知識、數(shù)學分析與處理能力也是現(xiàn)代公民必備的基本素養(yǎng)．有些國家不只是將課程標準分成了文理科，甚至分的更細，例如，有些國家專門分出一個學生群體為“數(shù)學方面有特長的學生”，然后進行單獨培養(yǎng)，對于這些學生在數(shù)學方面的要求往往較高，但如果學生不只是對數(shù)學擅長，而且喜歡，那么這種“高要求”更加體現(xiàn)了人性化．

3.4.2 排列組合課程設置的國際比較

排列組合雖然不是概率統(tǒng)計內(nèi)容，但與概率統(tǒng)計特別是古典概型有較為緊密聯(lián)系．更為重要的是這一內(nèi)容近年來作了較大的調(diào)整，也在一定范圍內(nèi)引起了爭議．

中國進行新“課改”之前的“大綱”教材中，是將排列組合與概率統(tǒng)計放在一章里面來學習的，而“課改”之后的教材，對于理科生而言，在學習概率統(tǒng)計之前并不學習排列組合，之后在“選修2-3”再學習《計數(shù)原理》一章．而對于文科生而言，“課改”之后，是不學排列組合的．其實，這一內(nèi)容在國際上也有多種不盡的處理方式：

英國、美國、南非、中國（文科）和澳大利亞（基礎）幾個版本的課程標準中都未設置排列組合．法國（文科）、法國（理科）和新加坡（文科）雖然設置了排列組合的內(nèi)容，但屬于一帶而過，只是在學二項分布時，才將這一內(nèi)容引進來．印度則將排列組合的內(nèi)容歸為代數(shù)范圍，而概率統(tǒng)計是作為與代數(shù)平行的一章出現(xiàn)的．

在其它的課標中，排列組合的出現(xiàn)往往是在學習概率之前（除德國課標和中國理科課標），設置的目的是為了給學生學習概率知識掃清障礙．這些國家往往是將排列組合作為一種計算的技巧，為學生在學習有關古典概型及相關統(tǒng)計知識時提供便利．

4 結論與啟示

4.1 中國高中課標中的概率統(tǒng)計知識的設置呈現(xiàn)出“廣而不深”的特點

從概率統(tǒng)計知識點的廣度來看，中國理科與文科在概率統(tǒng)計知識點在20個課標中排名分別為第三和第八位，深度在14個課標中的排名分別為倒數(shù)第三和倒數(shù)第四．更為進一步的，在知識點的認知水平分布方面，中國理科和文科課標的A層次和B層次的知識點分布占到了89%和93%，相對來說，C層次和D層次的知識點較少．概率統(tǒng)計的知識點的設置方面呈現(xiàn)出“廣而不深”的特點．這與通過教材的比較研究所得出的相關結論從整體上是一致的[14～16]．

中國現(xiàn)行的課標中，對概率統(tǒng)計的要求以基礎知識的了解、理解學習為主，需要“掌握”和“靈活運用”的不是很多．當然，教學實踐中有一定程度存在拔高的現(xiàn)象，和課程標準的難度要求并不太一致．

4.2 中國“課標”中概率統(tǒng)計部分變革的國際比較

現(xiàn)行的課程標準相對“大綱”中概率統(tǒng)計部分的幾點變化，如“先講統(tǒng)計，后講概率”，“文科生不學排列組合”，“理科生先學一部分統(tǒng)計與概率，再學排列組合，再學概率”等做法在世界上都不只是“中國特色”．很多國家在這方面的安排是與中國有相似之處的．

4.3 對課標中的概率統(tǒng)計知識點調(diào)整的分析

總體上講，中國課標中概率統(tǒng)計知識點覆蓋比較合理，但也有些知識點比較“異類”．如：“幾何概型”、“系統(tǒng)抽樣”、“超幾何分布”等，其他國家的課標中幾乎沒有涉及．而對于國外很多國家都設置，而中國卻未涉及的知識點，主要有“四分位數(shù)”與“盒式圖”．對于這一知識點，在課程標準的修訂、調(diào)整時可以給予特別關注和研究，確定取舍．

總起來說，課程標準應與時俱進，知識點的設置也應適當調(diào)整．但涉及到知識點的增刪問題，一定要謹慎．以突出數(shù)學基本思想、加強數(shù)學應用，促進學生數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展為導向，同時又不給學生造成過重的課業(yè)負擔，使課標內(nèi)容設置更加科學、合理．

［參 考 文 獻］

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[2] 宋丹丹，曹一鳴．高中課程標準中函數(shù)內(nèi)容的國際比較研究[J]．數(shù)學通報，2014，（12）：3-9，18．

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[10] 朱文芳．俄羅斯國家數(shù)學教育標準簡介——高中部分[J]．數(shù)學通報，2009，（1）：17-21，16．

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[14] 曹一鳴，吳立寶．初中數(shù)學教材難易程度的國際比較研究[J]．數(shù)學教育學報，2015，24（4）：7-11．

[15] 王光明，康玥媛，曹一鳴．芬蘭獨特而平穩(wěn)的教育改革及啟示[J]．天津師范大學學報（社會科學版），2015，（5）：66-70．

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[責任編校：周學智]

International Comparative Research On the Contents of Probability and Statistics in High School Mathematics Curriculum Standards

CAO Yi-ming, WANG Wan-song
(School of Mathematics Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Abstract:This paper examines 15 countries (Chinese, America, England and so on) in content of probability and statistics in 20 curriculum standards.Quantitative and qualitative analysis have been both made more in details.Quantitative analysis includes the breadth, depth, and the knowledge distribution of core modules.Qualitative analysis includes the chronological order of probability and statistics in these curriculum standards, the relationship with permutation and combination, and the content differences between liberal arts and science students.The results shows that Netherlandish and French science curriculum standards are most widely distributed, while Chinese science one in third and liberal arts one in eighth.Japanese and Netherlandish curriculum standards are most difficult, Chinese liberal arts one in third and science one in fourth.In a word, our probability and statistics contents in curriculum standard are “widespread but not deep”.

Key words:probability and statistics; senior middle school; curriculum standard; comparative research

作者簡介：曹一鳴（1964—），男，江蘇南通人，教授，全國數(shù)學教育研究會理事長，教育部基礎教育專家工作委員會專家，基礎教育教材審查委員會專家，主要從事數(shù)學課程與教學研究．

基金項目：教育部人文社科基金規(guī)劃項目——高中數(shù)學課程標準的國際比較研究（13YJA880003）

收稿日期：2015–12–20

中圖分類號：G40-059.3

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）01–0001–04