《一元二次方程》教學實錄與評析

鄧偉光 沈惠娟

一、創設情境，引入概念

（一）問題情境1

為了響應建設“美麗南寧、美麗校園”的號召，學校決定修建一個花圃，數學活動小組來到操場進行實地測量。教師用微視頻展示數學活動小組提出的問題：在一塊長30米、寬20米的矩形草地上，沿著長邊修一條路，剩余的種花。如果種花的面積達到450平方米，那么這條路應該修多寬呢？

師：這個問題用方程怎么解決？

生：假設所修的路寬為x米，根據題意找等量關系列出方程30（20-x）=450.

師：用方程解實際問題的一般步驟是什么？

生：審、設、列、解、驗、答。

師：同學們列出的這個方程是我們學過的方程嗎？這樣的方程有什么特征？

生：是一元一次方程，只含有一個未知數、未知數最高次數是1的整式方程。

【評析】教師運用微視頻展示學生身邊的數學問題，顯得特別親切自然。學生已經學習了一元一次方程及相關概念，執教老師設置問題1的目的是為了復習鞏固一元一次方程，為本課新知的學習做好鋪墊。

（二）問題情境2

問題1變式

微視頻出示問題：在一塊長30米、寬20米的矩形草地上，沿著長邊和短邊各修一條路，路寬相等，剩余的種花。如果種花的面積為450平方米，這條路應該修多寬呢？

學生獨立思考列出方程。

師：哪位同學說一說你得到怎樣的方程？你是如何得到這樣的方程？

生1：假設所修的路寬為x米，因為剩余面積是矩形面積，所以利用矩形的面積公式就可以得出方程（30-x）（20-x）=450。

師：還有哪位同學有不同的方法嗎？

生2：種花的矩形面積也可以等于原矩形的面積減去兩條路的面積，如600-（30-x）x-20x=450.

（兩位學生補充得到的方程為：600-30x-（20-x）x=450或450+30x+20x-x2=600）

師：同學們觀察圖形很仔細，能從不同角度入手得出方程，一題多解，發散思維，表現不錯！學習數學就需要這種鉆研精神。

【評析】教師的適時鼓勵增強了學生學習的信心，促使他們積極主動地參與到教學活動中。

師：同學們根據等量關系，直接或間接地列出不同的方程，那么大家能將方程化簡嗎？

生：化簡后的方程是x2-50x+150=0.

師：這是我們學過的方程嗎？這個方程與一元一次方程最顯著的區別在哪里？

生：不是，因為字母的最高次項的次數為2次。

師：為什么會產生二次項？

生：因為有兩個一次項相乘。

【評析】通過圖形的變化，由一元一次方程解決相關的實際問題到引導學生得出新的一元二次方程，學生體會到未知數相乘導致方程的次數升高，繼而產生一元二次方程。教師巧妙的設計，讓學生初步感知方程中二次項的出現。

二、拓寬情境，形成概念

（一）生活中的數學問題1

在設計人體雕像時（見右圖），使雕像的上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感。按此比例，如果雕像高2米，那么它的下部應設計為多高？

學生獨立思考，找出題目中的等量關系，建立方程。

師：該題目的等量關系是什么？

生：上部∶下部=下部∶全部。

教師引導學生將比例式變形為等積式，即（下部）2=

上部×全部。

生：設下部長為x米，則x2=2（x-2）.

教師引導學生將方程化簡為：x2-2x+4=0.

【評析】教師再次展示生活中的數學問題，讓學生體會一元二次方程應用的廣泛性，同時達到形成概念的目的。

（二）生活中的數學問題2

學校要組織一次籃球比賽，采用單循環比賽形式（每兩隊都要比賽一場），根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個球隊參賽？

學生獨立思考，遇到困難與同桌進行討論，最后學生代表分析并展示結果。

師：哪個同學樂意同大家分享你的成果？

生：比賽共計打4×7=28場。設有x個球隊參賽，因為每個球隊要與（x-1）個球隊比賽一場，所以全部比賽場次是x（x-1），即x（x-1）=28.

師：這位同學答題積極主動，值得表揚！不過，請你再仔細讀題，題目中的賽制是怎樣規定的？

生：是單循環比賽。

師：既然是單循環比賽，那么就意味著每兩隊只要比賽一場即可。請你再認真思考，你所列的方程哪里需要修改呢？

生：（恍然大悟）還要乘以，所列方程應該是x（x-1）=28.

師：真不錯，反應很快！我們在審題時一定要注意關鍵字詞，避免出現錯誤。

教師繼續引導學生將問題的解題思路進行準確的闡述，最后方程化簡為：x2-x-56=0.

【評析】學生在解題過程中經常會出現這樣或那樣的錯誤，教師要善于發現學生在解題過程中出現的錯誤，適時引導、訂正，變“廢”為“寶”，讓學生在糾錯中提升反思能力。

師：請同學們觀察前面列出的三個方程x2-50x+150=0、x2-2x+4=0、x2-x-56=0，看看它們有什么共同特征？

生：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2。

師：這類方程和我們學過的哪種方程類似？

生：一元一次方程。

師：這類方程與一元一次方程有什么區別呢？

生：未知數最高次數不同，這類方程未知數最高次數是2次。

師：你能類比一元一次方程，給這類方程取個名字嗎？

生：一元二次方程。

教師引導學生歸納得出：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是二次的方程叫做一元二次方程。

【評析】這樣的設計讓學生更深入地了解一元二次方程模型存在的實際背景及必要性。在解決問題的難點在于數量關系的建立。在出示題目后，教師引導學生通過分析找出題目中的已知量、未知量，通過確定等量關系突破學習難點。每一個方程出現后，學生通過化簡并關注方程有幾個未知數和最高次數，類比一元一次方程，形成一元二次方程的概念，提高了分析問題和解決問題的能力。

三、合作探索，明確概念

（一）明確一元二次方程概念本質

師：下列方程中，哪些是關于x的一元二次方程？

①-5x2=0 ②x2-x=x ③2x2-=1

④3x3-x=0 ⑤x2+xy-3=0

生：①②是一元二次方程。

師：判斷一個方程是一元二次方程的依據是什么？

生：一元二次方程定義中的三個條件缺一不可。

【評析】教師從正反兩個方面強化對概念的理解，幫助學生將已有的方程梳理成比較清晰的知識體系，有利于學生明確一元二次方程定義中的三個條件：一是整式方程；二是含有一個未知數；三是未知數的最高次數是2，且三個條件缺一不可。

（二）明確一元二次方程的符號表達

1.符號表達

師：前面我們學習了一元一次方程，你還記得它的符號表示嗎？

生：ax+b=0（a≠0）.

師：你能類比一元一次方程寫出一元二次方程的符號表示嗎？

生：ax2+bx+c=0.

師：還有誰要補充嗎？

生：a≠0.

師：為什么a≠0.

生：若a=0，方程就變為bx+c=0（b≠0），這是一元一次方程。

師：那么b、c取值呢？

生：任意實數。

師生共同歸納得出：把ax2+bx+c=0（a≠0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項。

【評析】教師通過一元一次方程的一般形式引導學生類比得出一元二次方程的一般形式、項和系數，有助于學生理解和掌握一元二次方程的符號表達。

2.例題講解

教師引導學生將方程3x（x-1）=5（x+2）化成一般式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項。

生：一般形式為3x2-8x-10=0，其中二次項系數是3，一次項系數是-8，常數項是-10.

師：在將方程化為一般形式的過程中，你有什么體會要和同學們分享？

生：像這樣帶有括號的比較復雜的方程，在化簡過程中要注意移項、去括號等問題。

教師板演過程，規范格式。

【評析】學生的學習過程也是一個模仿和再創造的過程，教師將答題的詳細步驟正確地示范給學生，這比口頭說教要有效得多。學生在這個過程中，學會了把一個一元二次方程化為一般形式，還會正確地判斷一元二次方程的項與系數。

3.鞏固練習

將下列方程寫成一般式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數和常數項。

①5x2-1=4x ②4x2=81 ③（x-1）（x-2）=2

【評析】題①是一般的一元二次方程，題②的一次項系數為0，題③的常數項為0。后兩題均為特殊的方程。教師這樣設置，有利于學生及時鞏固二次項系數、一次項系數和常數項，明晰一般式中a≠0，b、c為任意實數，讓學生的理解更為深刻。

（三）明確方程的解

師：本課的前面教學環節，我們通過探尋實際問題中的等量關系列方程，得出了三個方程，且三個方程均為一元二次方程；繼而我們學習了一元二次方程的定義和一般形式。關于一元二次方程，你還想學習哪些內容？

生：還想學習方程的解以及如何求解方程。

師：什么是方程的解？什么是一元一次方程的解？請同學們類比說一說，什么是一元二次方程的解？

生：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解。

師：一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根。

教師引導學生歸納得出：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。

師：判斷下列哪些數是方程x2+x-12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3.

生：-4和3是方程的根，將這兩個數字分別帶入方程，方程左右兩邊均相等。

【評析】教師引導學生自主探索，多種途徑尋求方程的解，在此基礎上讓學生進行歸納總結。

四、歸納總結，反思提升

引導學生從知識、方法、心得體會等方面對本課學習進行總結。

（一）將實際問題用設未知數列方程轉化為數學問題，體會知識來源于實際以及轉化的思想方法。

（二）一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數、一次項系數及常數項，一元二次方程根的概念，歸納所學過的整式方程。

（三）一元二次方程的意義與一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的區別和聯系，強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義。

【評析】這樣的小結，是對“學”的總結，“思”的深化，“法”的提升，可幫助學生有效地建構知識，提高總結和反思能力，進而促進學生的自主發展。

五、布置作業，分層落實

（一）必做題。教材P4，習題1、2、4、5、6.

（二）選做題。求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程。

（三）思考題：如右圖所示，在一塊長22米、寬17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，草坪面積為300平方米。若設道路寬為x米，根據題意可列出方程為 .

【評析】分層作業的設置，體現了作業的鞏固性和發展性原則，尊重學生的個體差異，滿足學生多樣化的學習需要。選做題為概念變式應用題，目的是拓展學生的思維；思考題的設置，則為下節課的學習埋下了伏筆。

【總評】

本節課是研究一元二次方程的教學導入課，授課教師在認真研讀課標、深入分析教材、了解學情后，精心處理教材，對本課的教學內容、目標設置、問題診斷、教法學法等分析到位，設置的教學目標全面、具體、適宜，充分考慮到了學生的認知水平。鄧老師的課堂教學能力強，思路清晰，引導到位；學生積極主動，全員參與，能力獲得了提高，真正體現了學生的主體地位和教師的主導地位。筆者認為，本節課是一節成功的課，其教學亮點主要體現在以下幾個方面。

第一，情境設計新穎，真正做到了有備而議。學生在學習本課之前，經歷了一元一次方程的學習，為“通過類比方法探究一元二次方程的概念”奠定了認知基礎。由此，鄧老師將本班數學學習小組提出的問題制作成微視頻，既復習鞏固了一元一次方程的概念，又引導學生得出新方程，通過比較兩個方程，激發了學生的求知欲望，進而順利地進入新課的學習。

第二，利用豐富的實例，幫助學生完成定義的歸納。概念的教學需要從大量的實例出發，通過實例幫助學生完成定義的歸納，而不是教定義。執教老師通過圖形問題、球賽問題，以啟發式、類比法指導學生通過自主探索與合作交流的學習過程，教會學生善于觀察、分析討論、類比歸納，從具體的問題情境中抽象出數學問題，建立數學方程，從而突破學習難點。同時，在各個教學環節安排方面，執教老師設置問題層層遞進，分析到位，化難為易，使學生很好地理解了一元二次方程概念本質、符號表達，還特別注重數學思想和數學方法的滲透，強調建模思想、類比思想和符號感，對問題的闡述準確，教學語言嚴謹、流暢，板書設計合理，同時也關注學生在解題過程中的情緒與狀態，課堂氛圍和諧，讓不同的學生都有所收獲，得到了不同的發展，很好地完成了本課的教學任務。

第三，構建完整的知識體系。本節課為本章的起始課，因此，執教老師結合本章引言，讓學生對本章的學習內容、方法和結構都有一種預見性的認識，有利于學生在此前學習的基礎上再次深化理解方程類問題的模型，實際問題（建模）→方程（解模）實際問題的數學探究過程，由此也說明了教師對教材內容、課程思想有著深刻而充分地理解。

此外，筆者認為本課也還有一些需要改進的地方，比如：教師在課中應當更注重細節，注重學生反思能力的培養，學生在答題中出現的問題，應盡可能地讓學生去發現并糾正；教學第二環節中的球賽問題，如果能夠進一步變式為學生間贈送卡片問題，那么問題情境會更有效。

（注：本課在第九屆全國初中青年數學教師優秀課展示活動中榮獲一等獎。）

（責編 歐孔群）