一個新的超混沌耦合發電機系統及其超混沌控制

謝艷云，蔡文良

(重慶水利電力職業技術學院， 重慶　永川　402160)

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一個新的超混沌耦合發電機系統及其超混沌控制

謝艷云，蔡文良

(重慶水利電力職業技術學院， 重慶永川402160)

[摘要]在三維耦合發電機系統的基礎上,引入非線性控制器，構建一個新的超混沌耦合發電機系統，分析了新系統平衡點的性質、Lyapunov指數譜、吸引子的相圖等動力學特性；利用線性反饋控制法，通過設計合適的反饋增益,實現了新系統的超混沌控制.理論分析和數值仿真驗證了該方法的有效性.

[關鍵詞]分數階系統；延遲；混沌； 同步

近年來,混沌已經成為非線性科學研究領域的熱點問題,混沌系統在通信、電路、經濟、生物和化學等領域得到了廣泛應用[1].混沌系統的復雜動力學行為特性為保密通信和圖像加密提供了新思路,但用簡單的混沌系統加密信息并不安全.1979年，Rossler首次給出了超混沌概念,并提出了超混沌系統[2].超混沌系統具有兩個或兩個以上的正Lyapunov指數,其相軌跡較一般混沌吸引子而言,具有更為復雜的動力學行為,系統的動態行為更難預測,具有更大的密鑰空間.本文在前人的研究基礎之上,基于耦合發電機系統[3]引入一個非線性控制器,構造一個新的超混沌耦合發電機系統,分析了系統的耗散性、Lyapunov指數與Lyapunov維數和吸引子等動力學行為.根據Routh-Hurwitz判據設計線性反饋控制器,對系統進行超混沌控制.數值模擬結果證實了該方法的有效性.

1新四維超混沌系統模型

根據文獻[3]和[4],三維耦合發電機系統的狀態方程表示為

(1)

當參數μ=2,a=3,ε=1時,三維耦合發電機系統處于混沌狀態,混沌吸引子如圖1所示.

(a)x-y平面 (b)x-z平面 (c)x-w平面圖1　系統(1)的混沌吸引子

根據產生超混沌吸引子的條件[5，6]，基于系統(1)的第一個方程引入一個非線性控制器w,其中m為新引入的參數，構成一個新的四維超混沌耦合發電機系統.該系統的狀態方程表示為

(2)

新系統(2)保證了系統的維數為4,并且含有非線性乘積項,滿足了產生超混沌的必要條件.

2新超混沌系統的動力學分析

2.1耗散性

對于新系統(2),向量場的散度:

可見，新系統(2)是耗散的,并以指數形式e-3收斂.當t→∞時,包含系統軌線的每個小體積元以指數速率-3收縮到0.這說明系統的所有軌跡最終會被限制在一個體積為零的極限子集上,系統的動力學行為最終趨向于一個吸引子,說明吸引子的存在性.

2.2Lyapunov指數與Lyapunov維數

從系統的吸引子相圖和時間響應圖上很難區分混沌系統和超混沌系統.Lyapunov指數是定量描述軌線彼此排斥和吸引的量,通過Lyapunov指數譜圖[7]可以十分清楚地區分系統所處的各個狀態.一個四維連續自治系統的4個Lyapunov指數中,有2個大于0、1個等于0、1個小于0時系統處于超混沌狀態;1個大于0、1個等于0、2個小于0時系統處于混沌狀態;2個等于0、2個小于0時系統處于準周期狀態;1個等于0、3個小于0時系統處于周期態.

當固定參數μ=2,a=3,ε=1時,變量x隨參數m在[0,30]變化的Lyapunov譜圖如圖2(a)所示.圖2(b)為圖2(a)中m在[0,3]變化的放大圖.由圖2可以十分清楚地看到新系統(2)隨參數m變化的運動情況.

當固定參數μ=2,a=3,ε=1,m=1.5時，利用Wolf方法[8]計算該四維非線性系統的Lyapunov指數為λ1=0.164 9,λ2=0.089 1,λ3=0,λ4=-3.193 1 ,其中有2個大于0、1個等于0、1個小于0,說明新系統(2)在這組參數下處于超混沌運動狀態.

(a)m在[0,30]變化; (b)m在[0,3]變化圖2　系統(2)的Lyapunov指數譜圖

根據Kaplan-Yorke猜想公式,計算新系統(2)的Lyapunov維數為：

新系統(2)的維數是分數維數,進一步說明該系統在這組參數下處于超混沌狀態.

在上述參數下,新系統(2)對應超混沌吸引子在各個平面上的投影如圖3所示.由圖3可知，新系統(2)的超混沌吸引子具有復雜的折疊和拉伸軌跡,說明超混沌系統比混沌系統具有更強的不穩定性.

2.3平衡點及其穩定性

計算得到4個特征根分別是1, 0.313 5,-2.156 8+3.114 6i,-2.156 8-3.114 6i.其中有兩個正值保證平衡點在某方向有排斥性,使其軌線分散.這從理論上證明了新系統(2)存在超混沌的可能性.

(a) x-y平面; (b) x-z平面; (c) x-w平面;(d) y-z平面; (e) y-w平面; (f) z-w平面圖3　系統(2)的超混沌吸引子在各平面上的投影

3超混沌系統的線性狀態反饋控制

采用線性狀態反饋控制法[9],將新的超混沌耦合發電機系統(2)的超混沌運動控制到平衡點(0,0,0,0),構造如下的受控系統:

(3)

其中，k1x、k2y、k3z、k4w是線性反饋控制器,k1、k2、k3、k4是反饋系數.系統(3)在平衡點(0,0,0,0)處的Jacobia矩陣為

(4)

矩陣(4)的特征方程為：

(λ+k3-1)(λ3+b1λ2+b2λ+b3)=0

其中：

b1=4+k1+k2+k4

b2=13+2k1+2k2+4k4+k1k2+k1k4+k2k4

b3=13k4+2k1k4+2k2k4+k1k2k4

根據Routh-Hurwitz判據,當且僅當

k3-1>0,b1>0,b2>0,b1b2>b3

時Jacobia矩陣的所有特征值λ均具有負實部,因此只要k1、k2、k3、k4滿足上式,受控系統(3)漸進穩定到平衡點(0,0,0,0).例如選取反饋系數k1=1,k2=1,k3=2,k4=1時,k1、k2、k3、k4滿足Routh-Hurwitz判據,選取初始值為(1,2,3,4),步長為0.001.圖4給出了受控系統(3)的時間序列圖.數值仿真結果表明,新的四維超混沌耦合發電機系統(2)的4個狀態變量x、y、z、w快速收斂到平衡點(0,0,0,0),說明采用線性狀態反饋控制能有效地實現系統的超混沌控制.

(a) t-x; (b) t-y; (c) t-z; (d) t-w圖4　受控系統(3)的時間序列圖

4結論

本文提出基于三維耦合發電機系統構造一個新的四維耦合發電機超混沌系統,通過理論分析和數值仿真,分析了新的四維耦合發電機超混沌系統的基本動力學行為，并基于線性反饋控制對該超混沌系統進行超混沌控制.根據Routh-Hurwitz判據，選擇恰當的反饋增益,使新的四維耦合發電機超混沌系統的不穩定行為快速得到控制，而且代價小.所得結果說明：該超混沌系統具有一定的實際應用價值,值得進一步研究與推廣.

[參考文獻]

[1]CHEN G, DONG X. From chaos to order:Methdologies,perspectives and applications[M].Singapore: World Scientific,1998.

[2]ROSSLER O E.An equation for hyperchaos[J].Physics Ltters A,1979,71(2):155-157.

[3]LEIPNIK R B,NEWTON T A.Double strange attractors in rigid body motion with linear feedback control[J].Physics Ltters A,1981,86(2):63.

[4]王興元,武相軍.耦合發電機系統的自適應控制與同步[J].物理學報,2006,55(10):5077-5082.

[5]章秀君,吳志強,方正.超混沌系統的構造方法研究[J].計算機工程與應用,2014,50(2):92-98.

[6]吳淑花,容旭巍,屈雙惠,等.超混沌耦合發電機系統的混沌同步及其電路實現[J].四川大學學報,2013,50(3):515-520.

[7]劉秉正,彭建華.非線性動力學[M].北京:高等教育出版社,2005.

[8]WOLF A,SWIFT J B,SWINNEY H L,et al.Determining lyapunov exponents from a time series[J].Physics D:Nonlinear Phenomena,1985,16(3):285-317.

[9]李瑞紅,徐偉,李爽.一類新混沌系統的線性狀態反饋控制[J].物理學報,2013,30(3):65-68.

(責任編輯穆剛)

A new four dimensional hyperchaotic coupled dynamos system and its hyperchaotic control

XIE Yanyun, CAI Wenliang

(Chongqing Water Conservancy and Electric Power Vocational Technology College, Yongchuan Chongqing 402160, China)

Abstract：The four dimensional hyperchaotic coupled dynamos system is built by adding a nonlinear controller to the three dimensional coupled dynamos system. Firstly, a set of parameters are identified when the system has hyperchaotic attractors. Then, the complex dynamic characteristics of the new system are analyzed, such as the dissipativity, the lyapunov exponents and lyapunov dimension, the equilibrium point. Hyperchaotic attractors is confirmed in the new system. Finally, the hyperchaotic motion of the new system is suppressed by using method of linear state feedback control. Theory and numerical simulations show the effectiveness of the method.

Key words：hyperchaotic; coupled dynamos system; lyapunov exponents’ spectrum; linear state feedback control

[中圖分類號]O322

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-8004(2016)02-0019-04

[作者簡介]謝艷云(1980—)，女，湖南婁底人,講師，碩士，主要從事非線性系統理論方面的研究.

[基金項目]重慶水利電力職業技術學院院級資助項目(K201411).

[收稿日期]2015-10-26