基于中心化的非線性輿論演化模型同步分析

熊蓮花, 　劉業政,　李玲菲

(1.合肥工業大學 管理學院,安徽 合肥　230009; 2.合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥　230009)

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基于中心化的非線性輿論演化模型同步分析

熊蓮花1,2, 劉業政1,李玲菲1

(1.合肥工業大學 管理學院,安徽 合肥230009; 2.合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥230009)

摘要:為研究意見領袖對輿論演化的影響,文章構造了具有中心的規則網絡結構,借助矩陣理論和非線性系統的Lyapunov穩定性理論,分析了網絡的結構、局部的非線性動力學行為、個體之間的不同交互方式對輿論演化的影響,并獲得了輿論演化達到同步時各參數之間的解析關系。理論和仿真結果表明:當個體局部的動力系統穩定時,意見領袖的作用主要體現在對同步收斂速度的影響;當個體局部的動力系統穩定性較弱或在某些不穩定區域時,意見領袖比普通人群對網絡達到同步的調節能力更強。

關鍵詞:輿論演化;規則網絡;意見領袖;同步

人們往往會對政治、經濟、文化和社會等領域中的某一類問題或現象自發地表達個人的觀點或意見,輿論動力學(opinion dynamics)主要研究社會經濟系統中由于個體之間決策與外界公共信息的影響,人群中對某些特定事件或事物所持的不同觀點的形成(formation)和演化(evolution)等現象,包括觀點的一致性(consensus)與多樣性(diversity)保持等問題[1-2]。近年來隨著復雜性科學研究的興起,研究者以社會網絡和社會動力學為工具對觀點演化建立了更深入的定量分析模型和方法,在不同學科的交叉與融合下,運用數學和物理學的建模方式,對觀點演化機制建立了一系列動力模型。文獻[3-5]提出的投票者模型(voter model)和多數決定模型(majority-rule model)以及文獻[6-8]基于有界信任(bounded confidence)假設所提出的連續型觀點動力學模型,以解釋輿論為什么發生演進以及按何種模式演進為目標,從不同的角度解釋了人們對一個給定話題的觀點為什么會出現統一、極化乃至分裂,揭示出許多觀點演化過程的本質特征。

目前,在輿論演化的研究中,大多數研究者利用元胞自動機和multi-agent計算機仿真對動力系統的穩定性進行定性分析,文獻[9-11]分別在有界信任模型的基礎上根據輿論演化的客觀因素引入記憶性、非一致的信任水平、收斂系數的隨機性、輿論演化網絡的有向性等參數,研究各參數對輿論演化能否達到同步或對演化穩定所需時間的影響并進行仿真分析。在分析的過程中,輿論演化的個體之間影響力是相同的,即不區分個體之間的異質性。事實上,在輿論的演化過程中,總有一部分個體可以吸引更多的關注,在社交網絡中得到更多的邊,這部分個體稱為網絡中的意見領袖或輿論領袖。大量的理論和實證研究表明,意見領袖在輿論演化過程中發揮著重要的作用, 文獻[12-14]分別在社會影響理論模型下引入意見領袖,分析意見領袖在離散觀點演化中的相變行為。文獻[15-16]將意見領袖的概念引入到連續觀點的有界信任模型,仿真分析意見領袖對輿論演化中的各參變量的影響。上述輿論演化中個體的觀點僅受到某固定群體中其他個體的影響而演化,但由于外界豐富的公共信息對個體決策的影響,使得個體的局部觀點演化往往具有不穩定性。

本文在具有意見領袖的基礎上,引入個體局部的非線性動力學模型,并分析意見領袖、局部非線性動力學、個體之間的不同交互方式三者對輿論演化的影響,得到輿論演化達到同步時各參數之間的解析關系。

1輿論演化的同步分析

1.1輿論演化建模

本文重點分析意見領袖對輿論演化的影響,意見領袖區別于大眾人群主要體現在2個方面:網絡結構中的位置和演化模型中的權重系數。意見領袖即中心節點，普通人群即非中心節點,假設非中心節點處于等價地位,形成了具有中心的規則網絡結構,如圖1所示。

圖1　具有中心的規則網絡

用xi(t)表示個體i(i=1,2,…,n)在t時刻對某事件的觀點狀態值,且xi(t)∈[-1,+1]為連續觀點,xi<0或xi>0表示個體i對該事件的態度傾向于反對或贊成的強度,xi=0表示中立態度。人們對待某事件的態度或觀點,既受到個人知識、經驗、判斷能力、價值觀等個體因素的影響,又受到社會規范的作用[17],其表現在輿論演化中的形式是:個體i在t+1時刻的觀點值xi(t+1)受到自身在上一時刻觀點值xi(t)和與之有連接關系的其他個體在t時刻的觀點值xj(t)的影響。令個體局部的動力學演化為x(t+1)=f(x(t)),則可描述輿論演化的模型如下。

中心節點:

非中心點:

即

(1)

當f(x)=x時,(1)式為文獻[7]中描述的經典模型(CM),即固定權重系數的線性觀點演化模型。結論顯示,當δ1,δ2∈(0,1)時,圖1結構下群體的觀點演化可以達到同步,這表明具有中心的網絡結構對加權平均意義下的群體觀點演化達到同步是有利的。

1.2輿論演化的同步條件

如果當t→∞時,有x1(t),x2(t),…,xn(t)→s(t),則稱n個個體觀點演化達到完全同步,由于耗散耦合條件的存在,同步狀態s(t)為單個孤立節點的解,即滿足s(t+1)=f(s(t))。對方程(1)式關于同步狀態s(t)線性化,令ξi(t)=xi(t)-s(t),i=1,…,n,則得到如下的變分方程:

(2)

記Df(s(t))為f(s(t))的Jacobi矩陣,則有;

(3)

其中,A11=-c2(L1+E),L、L1分別為圖1和n-1個節點的K-近鄰網絡的有向加權的Laplace矩陣,當(1)式中的xi(t)(i=1,2,…,n)的維數等于1時,(2)式可表達為:

(4)

引理1基于(4)式的Lyapunov指數為L=Δ0+ln|1+λ|。其中,Δ0為x(t+1)=f(x(t)) 的Lyapunov指數,λ為A的特征值[19]。

定理1非對稱矩陣A=-KL與對稱矩陣W=-K1/2LK1/2的特征值相同,且特征值為0或負實數。

證明由文獻[16]知, A=-KL的特征多項式為:

由于矩陣A行和等于0,故存在零特征值,由Lemma定理[20],圖1對應的Laplace矩陣L有一重的特征值0,其余n-1個特征值的實部均為正,故矩陣A對應的零特征根是單根且其余特征根均為負實數。

即滿足:

(5)

(6)

定理3對于輿論演化模型(1)式,若滿足δ1c2umax+[c2(umax+1)+δ1](1+e-Δ0)<(1+e-Δ0)2且c2+δ1>1-e-Δ0,則x1(t),x2(t)，…,xn(t)→s(t)是指數穩定的。

證明由定理2知,對矩陣A的每個特征值λi,L=Δ0+ln|1+λi|<0,即-e-Δ0-1<λi-e-Δ0-1, 由推論1知,若δ1c2umax+[c2(umax+1)+δ1](1+e-Δ0)<(1+e-Δ0)2且c2+δ1>1-e-Δ0,則(4)式的橫截Lyapunov指數全為負值,故同步流行指數穩定,即證。

特別地,當個體局部動力學函數x(t+1)=f(x(t))穩定時,即Lyapunov指數Δ0<0,對任意的δ1,δ2∈(0,1),由圓盤定理[15]知A的特征值λ滿足|λ-(-δi)|≤δi,即-2≤-2δi≤λ≤0,i=1,2,…,n，則有λmin≥-2>-e-Δ0-1,λ(2)=-(c2+δ1)0,umax>k+1[15],則由定理3得(1)式達到同步的必要條件為：

(7)

(7)式表明:當局部的動力系統不穩定時,在適當的范圍內,可以通過調整個體之間相互影響的權重系數δ1、δ2達到觀點的充分融合來削弱局部不穩定的影響,且意見領袖的權重系數δ1對個體的局部不穩定性的調節功能更強,但存在下限k0,當Δ0≥k0>0時,(7)式的交集為空集,此時通過調整權重系數已無法使群體的觀點達到同步。

2仿真分析

本節將通過計算機仿真分析n個個體的觀點在模型(1)式下的演化過程,每個個體的初始觀點取為[-1,+1]區間上的隨機數,假定網絡的大小為n=100,K=4,其拓撲結構如圖1所示,個體的局部動力學行為取非線性函數Logistic映射f(x)=1-ax2,a∈[0,2.00]為例,隨著a的增大穩定性越來越弱,a=2.00時為完全隨機狀態。橫軸為演化迭代的次數,縱軸為n個個體的觀點狀態值, 仿真結果如下:

(1)f(x)=1-ax2,a∈[0,2.00],x∈[-1,+1]的Lyapunov指數圖如圖2所示。

a

(2) 當a∈[0,1.20)時,個體之間的觀點演化可以達到同步。此時具有中心的規則網絡結構對同步的有利影響占主導地位,δ1、δ2的取值對初期狀態的分裂程度和收斂速度有一定的影響。當a∈[0,0.75)時,如圖3、圖4所示,個體之間的觀點演化達到同步且收斂到一種穩定狀態。

當a∈[0.75,1.20)時,如圖5、圖6所示,個體之間的觀點演化達到周期性的同步,穩定的狀態不唯一,與圖2顯示的函數f(x)=1-ax2在a=0.75和a=1.20附近的Lyapunov指數L=0(分岔點)相對應。隨著a的增大,局部動力學行為x(t+1)=1-ax2(t)隨機性越來越強,收斂的時間延長。

圖3　a=0.70,δ1=0.90,δ2=0.95

圖4　a=0.70,δ1=0.10,δ2=0.20

圖5　a=0.75,δ1=0.90,δ2=0.95

圖6　a=0.75,δ1=0.10,δ2=0.20

(3) 當a∈[1.20,1.50)時,由圖2可知,個體局部的穩定狀態越來越多直至隨機化。在個體局部的動力系統的穩定性較弱的某些領域內(即a在一定的范圍內),可以通過調整意見領袖和普通個體的權重系數來削弱局部個體的不穩定性影響,δ1、δ2取值越大,也即每個個體保留自己觀點不變的權重越小,觀點的融合越充分,越有利于觀點達到同步, 如圖7(同步)、圖8(不同步)所示。

圖7　a=1.20,δ1=0.90,δ2=0.95

圖8　a=1.20,δ1=0.10,δ2=0.20

(4) 當a∈[1.50,2.00]時,個體局部的不穩定性在群體觀點演化中占主導地位,個體之間已經無法通過調整δ1、δ2來達到同步,如圖9、圖10所示。

圖9　a=1.50,δ1=0.90,δ2=0.95

圖10　a=2.00,δ1=0.90,δ2=0.95

3結論

本文針對輿論演化形成過程中的分裂、極化、同步等現象展開研究,意在分析網絡的結構、個體的局部動力學行為以及相互的作用三者對觀點演化的影響。通過上述的理論和仿真結果表明，在不同的階段,影響觀點演化同步的主要因素有所不同。

(1) 當個體的局部動力學行為具有穩定性時,個體之間的觀點演化可以達到同步,同步可以是穩定的,也可以是周期性的,權重系數的大小對同步的收斂速度有影響,此時對觀點演化達到同步起主導作用的是具有中心特點的網絡結構和廣義加權意義的觀點演化方式而不是觀點更新時的權重系數,意見領袖的作用主要體現在比普通人群有更強的調節觀點演化同步的收斂時間。

(2) 當個體的局部演化在穩定性較弱或某些非穩定的區域時,決定輿論演化能否達到一致取決于個體局部行為的不穩定程度和個體之間觀點融合程度的相互較量,可以通過調整權重系數的大小,便于群體之間觀點的交換從而達到同步,意見領袖的主要作用體現在對同步的調整能力更強。

(3) 當個體局部的穩定性逐漸減弱直至隨機化,個體之間已經無法通過調整權重系數來達到同步,因此在該階段,影響輿論演化同步的主導因素是個體局部的動力學行為的不穩定性。

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(責任編輯張镅)

Synchronization of nonlinear opinion evolution with center

XIONG Lian-hua1,2,LIU Ye-zheng1,LI Ling-fei1

(1.School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Abstract:In order to study the effect of the opinion leader on opinion evolution, the rule network structure with the center is constructed. Several factors that affect the opinion evolution are analyzed, including the network structure, local nonlinear dynamic behavior and different ways of interaction between individuals. Then the synchronous conditions are derived according to the matrix theory and the Lyapunov stability theory. The theoretical and simulation analysis results show that when the individual local nonlinear dynamic system is stable, the opinion leader has effect on the convergence rate of synchronization; but when it is weak or unstable in some area, he has stronger adjustment ability to synchronization than general population.

Key words:opinion evolution; rule network; opinion leader; synchronization

中圖分類號:F830

文獻標識碼：A

文章編號：1003-5060(2016)03-0427-06

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2016.03.026

作者簡介：熊蓮花(1979-),女,江西南昌人,合肥工業大學講師;劉業政(1965-),男,安徽和縣人,博士,合肥工業大學教授,博士生導師.

收稿日期：2015-01-27；修回日期：2015-03-27