決問題中綜合法與分析法的教學思考

林毅云

[摘 要]分析法與綜合法是解決數學問題的基本方法。課堂教學中，教師應循序漸進，逐步指導學生掌握這兩種解決問題的方法，使學生真正掌握所學知識，在數學上獲得不同的發展。

[關鍵詞]解決問題 分析法 綜合法 含義 運用 抽象

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）14-029

2011課標版教材使用以來，加強了學生對解決問題方法的學習。翻看現行的教材，呈現出來的解決問題的方法有圖示法、列表法、枚舉法、假設法、倒推法等，而作為解決問題中最基本的方法——綜合法與分析法，卻被邊緣化了。實際上，數學問題一般都是由條件與問題兩部分構成的，任何人解決數學問題都會看問題、找條件，這是最常見的思維方式。所以，分析法與綜合法是解決數學問題的兩種基本方法、基本思路，教師教學中應讓學生重點掌握。

一、分析法和綜合法的含義

1.分析法

分析法就是從所求問題出發，逐步找出需要的條件，直到條件都是題中已知的，從而使問題獲得解決的方法，即執果索因。

例如：“超市一周賣出5箱保溫壺，每箱保溫壺有12個，每個保溫壺賣45元。一共賣了多少錢？”

分析（1）：由于要求“一共賣了多少錢”，需要用“每個保溫壺的價錢”ד保溫壺的個數”。題目已經直接告訴我們“每個保溫壺賣45元”，而“保溫壺的個數”不知道，因此要先求出“保溫壺的個數”，再求出“一共賣了多少錢”，列綜合算式為45×（12×5）。

分析（2）：由于要求“一共賣了多少錢”，可以用“每箱保溫壺的價錢”ד保溫壺的箱數”。題目已經直接告訴我們“賣出保溫壺5箱”，而“每箱保溫壺的價錢”不知道，因此先求出“每箱保溫壺的價錢”，再求出“一共賣了多少錢”，列綜合算式為45×12×5。

可見，分析法從要求的問題出發，著重分析數量關系，這樣學生就不會亂猜算法，而是根據要求的問題找出數量關系，逐步解決問題。

2.綜合法

綜合法則是從已知條件出發，逐步找出可以解答的問題，直到這個問題就是題目所要求的，從而使問題獲得解決的方法，即由因導果。

仍以上述例子為例，用綜合法分析如下。

分析（1）：根據題目中信息“5箱保溫壺”與“每箱保溫壺有12個”，可以得到新的信息“5箱保溫壺的總個數”，然后根據“5箱保溫壺的總個數”與“每個保溫壺賣45元”，可以求出“一共賣出的價錢”，列綜合算式為45×（12×5）。

分析（2）：根據題目已知信息“每箱保溫壺有12個”與“每個保溫壺賣45元”，可求出“每箱保溫壺的價錢”，又根據“每箱保溫壺的價錢”與題目中的信息“5箱保溫壺”，可求出“一共賣出的價錢”，列綜合算式為45×12×5。

同樣是解決問題，用綜合法則順著思維，從已知條件入手，找出有關聯的兩個條件，逐步逼近要求的問題。

3.如何運用

在解決問題過程中，用分析法要看題中的已知條件；用綜合法解答時，更要考慮題目要求的問題，才能使解題簡捷、靈活，故二者常常結合起來使用。

在以往教學用分析法解答題目時，教師常采用數形圖進行講解，但往往過于繁雜，后來改進教法。如解答一般兩步計算問題時，應抓住題目中的主要問題，根據題中的數量關系，列出關系式，然后逐步推導，直到得出結果。

例如：“興華村去年使用天然氣的戶數是前年的4倍，今年使用天然氣的又比去年增加了20戶。今年使用天然氣的一共有多少戶？”

分析題目時，可以找出關鍵信息“今年使用天然氣的又比去年增加了20戶 ”來寫出數量關系式，即“去年使用天然氣的戶數”﹢20戶=“今年使用天然氣的戶數”。“去年使用天然氣的戶數”還不知道，可根據信息“前年只有16戶使用天然氣”與“去年使用天然氣的戶數是前年的4倍”求得。即：

二、教學中如何幫助學生掌握綜合法和分析法

分析法、綜合法如何教給學生？何時開始學習？這是教師教學的困惑之處。

1.尋找隱含的數量關系

面對兩步計算解決的問題，學生最難的是找到中間問題，而一步計算解決的問題則是基礎。在學習一步計算解決問題的過程中，教師可有意識地幫助學生累積方法，提升處理信息的能力，使他們在已知信息中找到隱含的數量關系。如“迎賓山莊有游客800人”“假日賓館有400人”，從這兩個信息可知其中隱含的數量關系：兩個酒店一共的人數；迎賓山莊比假日賓館多（或假日賓館比迎賓山莊少）的人數；迎賓山莊人數是假日賓館人數的2倍，假日賓館人數是迎賓山莊人數的一半。

2.數量關系逐步抽象

無論是哪種分析問題的方法，其目的是為了分析題目中的數量關系，而找到題目中兩個相關聯的數量之間隱含的關系，同樣需要長期的訓練。數量之間隱含的關系如何表征出來？那便是數量關系式。以往的應用題教學過于強調題目類型，以至于抑制了學生的發展，而現行教材對于數量關系沒有明確的要求，那該不該教呢？如果脫離了數量關系，完全依賴生活經驗，忽視數學經驗，僅僅滿足于運用生活經驗解決問題，時間長了，學生的思維就會出現局限性，始終在低水平處徘徊。國家課程標準核心組成員孔凡哲教授認為：“數量關系是數學研究的核心內容之一。”因此，數量關系需要重視。

那么，如何進行數量關系的教學呢？建議分階段進行，循序漸進。

第一階段：初步感知數量關系。

教學低年級的一步計算解決問題時，可先讓學生具體說說算式中每個數所代表的含義，然后引導他們用數學方法表示出它們的關系，逐步理解題中的數量關系。如二年級上冊有這樣一道題：“每只小貓釣6條魚，4只小貓能釣多少條魚？”根據乘法意義，“求4只小貓能釣多少條魚”就是求4個6是多少，列式解答為6×4=24（條），然后讓學生說說算式中每個數所表示的含義是什么。學生答：“6是每只小貓釣魚的條數，4是小貓的只數，24是一共釣魚的條數。”接著，教師指出可以用以下的式子表示出數量之間的關系：“每只小貓釣魚的條數”ד小貓的只數”=“一共釣魚的條數”。

第二階段：自覺地表述具體的數量關系。

三年級學生在之前知識積累的基礎上，嘗試獨立找出數量關系，并用具體的量來表述，為用分析法解決問題奠定基礎。

第三階段：形成模型。

四年級下冊教材結合解決問題，引導學生抽象概括出關于價錢、行程問題的數量關系式，即單價×數量=總價、速度×時間=路程，使學生進一步明晰數量關系在解決問題中的作用。

第四階段：運用數量關系式分析和解答問題。

此時，學生能運用數量關系式，綜合使用綜合法、分析法解答題目，而不再是依靠生活經驗解決問題。

3.追本溯源，日積月累

從兩步計算解決問題開始，教師大多引導學生抓住題中的關鍵（即中間問題）來分析與解答，而根據數量之間的關系找出中間問題卻又是教學的難點，如何突破？不少教師采用的方法是讓學生說出每一步的小標題，而這僅僅是表述每一步所要求的是什么，至于如何找到中間問題，即第一步先求什么，大多數教師沒有關注到。因此，課堂教學中，教師可引導學生運用綜合法或分析法找到題中的中間問題。教師應對第一步先求的量多問一個“為什么”，促使學生回顧解題思路，提煉分析方法。如歸總問題的教學，當學生解答后，教師可進一步提問：“為什么要先求出‘買6個碗一共用多少錢呢？”通過問題，引導學生找出方法：可以根據信息“買6元一個的碗”與“可以買6個碗”，求出“買6個碗一共用多少錢”；也可以根據問題“買9元一個的碗可以買幾個”，需要找出“一共用了多少錢”與“買了9元一個的碗”這兩個條件才能解答。因此，無論是根據已知信息分析，還是根據問題進行分析，都需要先求出“買6個碗一共用了多少錢”。同時，教師根據學生的回答適時點撥、小結方法，有利于學生逐步掌握分析的方法。當然，任何方法的學習并非一蹴而就的，需要教師有意識、長期不懈的滲透和培養。

4.逐步分段，潛移默化

相對于分析法的逆向思維而言，綜合法從條件入手的順向思考，學生掌握起來更加容易，而分析法從問題入手更符合思維習慣。因此，建議在剛開始學習兩步計算解決問題時，教師用綜合法幫助學生分析題目中的數量關系，并逐步滲透分析法。剛開始學習，可借助學生表述如何想到中間問題，引出分析方法的回顧，引導學生逐步感知這兩種解決問題的方法。在學生熟悉之后，可指導他們完整地表述解題思路，深化分析的方法。

實際上，在解決問題過程中，分析法、綜合法是結合使用、互相協調的。嚴格來說，分析是為了綜合，綜合又需要基于分析。

由于分析法和綜合法是解決問題的基本方法，故應貫穿解決問題教學的始終。因此，課堂教學，教師需要有計劃地滲透分析法和綜合法，提高學生使用分析法和綜合法解決問題的能力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 朱燕青.小學數學問題解決的教學研究與實踐——三年級“用兩步計算解決簡單的實際問題”教學輯錄[J].現代教學，2015（7）.

[2] 曹培英.小學數學問題解決的教學研究[J].小學數學教育，2013（9）.

[3] 宋煜陽.對典型應用題回歸現象的認識與思考[J].小學數學教師，2015（1）.

[4] 宋淑持，孫麗谷，張企曾，余海建.小學數學應用題教學研究與實踐[M].上海：上海教育出版社，1994.

（責編 藍 天）