數學實驗教學需要漂亮的“最后一躍”

徐一鳴

[摘 要] 實驗是數學學習、研究的重要方法，關于實驗的教學，近年來成為初中數學教學不可或缺的組成部分. 本文筆者針對實驗教學最后一個環節中理性提升、數學化提煉不足的問題，提出了“數學實驗教學需要漂亮‘最后一躍”的觀點，并結合“拼圖實驗”課例，作進一步思考，尋找解決問題的策略.

[關鍵詞] 數學實驗；教學；問題；思考

因為數學實驗具有激發學生學習興趣、喚起學生對數學學習的信心等功能，所以受到越來越多數學教師的重視. 近兩年，使用蘇科版教材的地區，數學教師與學生有了董林偉先生主編的《數學實驗手冊》的相伴，大家對數學實驗教與學的熱情更是激增. 期間，筆者也聽了多位教師開設的“數學實驗專題課”，感覺到大家在用這本教材時可謂“百花齊放，各具風騷”. 但是在聽課過程中，時常有一種“最后一躍”不夠酣暢淋漓的感覺，就好像跳水運動員，起跳與空中姿態都很好，但入水時水花偏大，留下了較多遺憾. 筆者選取了一節以《數學實驗手冊（七年級下冊）》第9個實驗——“拼圖”為課題的教學案例，從對具體案例的分析中，談一點自己的拙見.

課堂流程概述

這節課分三個環節.

第一個環節，教師要求學生用三種紙片——A型紙片（邊長為a的正方形）、B型紙片（邊長為b的正方形）、C型紙片（長為a、寬為b的長方形）中的若干張拼長方形. 然后用不同的代數式分別表示所拼長方形的面積，再根據面積恒等的原理，得到一些等式，進而感受“形”與“數”的關系，以及拼圖與整式乘法、因式分解之間的聯系.

第二個環節，學生用拼圖方法完成對a2+4ab+3b2的因式分解，從中體會、歸納不同紙片的選擇數量與系數之間的關系. 再利用小結出來的拼圖方法完成對2a2+5ab+2b2的因式分解. 之后，學生之間互相出題，一個學生寫一個二次三項式，另一個學生用拼圖法進行因式分解. 這一步，讓學生在不斷熟悉方法的同時，自主發現能因式分解的二次三項式的系數有一定的局限性.

第三個環節，教師讓學生不動手拼圖，而是直接對a2+5ab+6b2進行因式分解.

問題解析及改進建議

1. 問題解析

從流程看，教師教學環節的編排很清晰，層次也很鮮明. 先是從任意拼長方形的過程中發現可以根據拼圖寫出多項式因式分解后的形式，然后用拼圖的方法對一些二次三項式進行因式分解，最后不拼圖，直接對二次三項式進行因式分解. 環環相扣，似乎沒有問題. 但筆者在課堂接近尾聲時發現，最后一個環節能完成的學生很少，很多學生還是忍不住要去拼圖. 筆者就在想：教學環節中是否有需要改進的地方？學生能否做到不借助拼圖工具，僅靠一支筆、一張紙就快速地對某些二次三項式進行因式分解呢？

經過對這節課的反復研究，筆者認為可以在第三個環節做文章. 因為課上呈現出的問題是學生不能應付第三環節，它相對于第二個環節來講，思維難度陡然提升. 從動手拼圖、能直觀地看到長方形的長和寬，直接跳躍到了在腦海里進行構圖，甚至脫離圖形，從“感性”一下子上升到“理性”，學生還不能完全轉過彎來. 再者，第三個環節本應承擔著“承上啟下”的義務，讓學生通過本節課的學習為后續學習“十字相乘法”做鋪墊，但學生在課堂上沒有充分感悟到這一點. 所以，筆者在借鑒其他教師一些做法的基礎上，對本節課的第三個環節進行了改進，希望能讓這個實驗教學的“最后一躍”更漂亮一些.

2. 改進建議

第三個環節再分兩個教學步驟.

第一步：（1）當學生完成拼圖后，教師向學生展示其中的兩幅拼圖（若沒有學生拼出這樣的圖形，可由教師引導給出），圖1中長方形的面積為a2+4ab+3b2，根據圖形可寫出因式分解的結果為a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）；圖2中長方形的面積為3a2+4ab+b2，因式分解的結果為3a2+4ab+b2=（3a+b）（a+b）. 請學生仔細觀察兩張拼圖，發現A，B，C三種紙片在位置分布上具有什么共同特征. （2）請學生仿照老師的拼圖方法拼出面積為2a2+5ab+2b2的長方形.

設計意圖：學生在拼圖時往往是達到目的就算成功，忽略了在拼圖過程中找到規律性的方法. 例如，拼一個面積為a2+4ab+3b2的長方形，學生可以拼出多個組合（僅舉兩例，如圖3和圖4），這些長方形的長和寬都是（a+3b）和（a+b），大部分學生以能否拼出更多的組合而沾沾自喜，部分教師在課堂上也僅僅滿足于學生成果的“多樣化”，但能否找到一種快速有效的拼圖方法卻是順利完成后續教學的關鍵.

筆者設計這一步就是想讓學生掌握這種快速拼圖的方法. 教師引導學生觀察圖1和圖2中A，B，C三種紙片的位置的共同特征：A，B兩種紙片大致分布在長方形的左上部分與右下部分，且各自構成一個長方形（如陰影所示）； A型正方形不與B型正方形有重合邊，它只與同類型的正方形或C型長方形有重合邊； B型正方形不與A型正方形有重合邊，它只與同類型的正方形或C型長方形有重合邊. 掌握了這種拼圖技巧后，我們就可以迅速地根據各種類型紙片的張數拼出符合面積要求的長方形了. 例如拼面積為2a2+5ab+2b2的長方形，按照上述方法，可先拼好A，B型紙片，再拼C型紙片，可能會拼出圖5的圖形，但馬上會發現C型紙片的數量不對，多出一張，再調整一下一張A的位置，拼出圖6的長方形，完全符合要求，于是因式分解的式子很快就能寫出來了.

第二步：請學生不借助拼圖工具，僅憑一支筆、一張紙快速地對a2+5ab+6b2進行因式分解.

設計意圖：學生在掌握了快速拼圖法后，借助紙和筆就能很快地畫出長方形，即使第一次沒有畫對，但只要再經過1～2次的嘗試也能成功，進而可以對多項式進行因式分解了. 這種畫圖法比拼圖法對思維的要求要高，但比直接在腦子里構圖要求要低，是學生思維的中間地帶，學生比較容易理解、模仿，并且可以通過一定量的練習逐漸內化為自己的知識. 不僅如此，這種方法其實和“十字相乘法”是相通的，如將正方形A，B分別拼在圖形的左上角、右下角，而且同種類型的正方形拼在一起要構成一個長方形，不就相當于將平方項前的系數拆成兩個整數相乘的形式嗎？通過將空缺處補上長方形C，核對數量是否正好，不就相當于拆分后的因數交叉相乘再求和，檢驗是否與中間項的系數相等的步驟嗎？有了這樣的畫圖體驗，學生在學習“十字相乘法”時，就會更容易理解每一個步驟的目的，而不是死記硬背了.

思考

筆者在本文中所說的“最后一躍”其實是打了個比方，確切地說是指數學實驗教學過程的最后一個步驟應該對學生有一個提升，要引導他們將實驗所得的結果或者方法進行數學化，從借助有關工具的直觀思維回歸到抽象思維. 數學實驗畢竟與物理、化學等實驗不同，后者更注重實驗的操作，以及對實驗現象的觀察，而前者在關注實驗表象的同時，更注重將活動對象及過程進行提煉、概括，使其上升為相應的數學概念或數學思想方法. 所以，教師在教學過程中，既不能忽視數學實驗的價值，又不能過分夸大. 沒有實驗的數學教學會讓學生缺乏直觀感受，不僅枯燥乏味，而且對學生合情推理能力的提高、學習興趣的培養都會有消極影響. 但只有實驗的數學教學，又會阻礙學生演繹推理能力、抽象數學思維的發展，而且會形成看問題不會由表及里、不會抓本質的弊端. 數學實驗這種新型的學習方式要與傳統學習方式互做有益補充，這樣才能達到相輔相成的效果.

那么，如何跳出漂亮的“最后一躍”呢？筆者認為可以從兩方面著手.

1. 把握好數學實驗目的

數學實驗是動手動腦“做”數學的一種數學學習活動，目的是通過“做”揭示現象背后的本質，為達成課時目標提供有效的抓手. 如果這個根本目的沒有把握住，就會造成離本趨末的問題，或者是出現“撿了芝麻而丟了西瓜”的失誤. 比如“拼圖”這節課，如果僅讓學生學會用所給紙片拼長方形，那就完全沒有把握住實驗目的. 對于絕大多數的七年級學生來說，這是已有經驗，不需要花一課時專門研究. 而如果通過拼圖僅實現了學生由“長方形面積”向“因式分解”的轉換，那這個目標還只能算是低層次目標，讓經驗只停留在感性階段，沒有及時將感性思維理性化，缺乏思維的深刻性. 高層次的目標是讓學生形成以“形”為手段、以“數”為目的的認識，也就是要學生通過“拼圖”的方法進一步衍生出通過對數的拆分來進行因式分解的方法，即“十字相乘法”，這就是實驗的升華. 因為實現高層次的目標有一定的難度，對學生的要求也比較高，所以這個升華往往放在課的后半節，就似畫龍過后的點睛之筆. 當然，這里需要教師作適當的引導. 教師在進行數學實驗教學前，一定要認真研究課標、分析課本和數學實驗手冊，設計實驗內容、步驟，確保實驗吻合課標，貼合教材.

2. 抓住學生的“最近發展區”

“最后一躍”是從感性到理性的攀登，具有一定的難度，有的學生不一定能成功，這時候就需要教師搭好腳手架，幫助其登高. 依據維果斯基的“最近發展區理論”，學生的現有水平與可能發展水平之間的差異就是最近發展區，腳手架就搭建在最近發展區. 為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，讓他們能超越最近發展區而到達下一發展階段. 比如，在本文的實驗教學中，學生能通過拼圖對二次三項式進行因式分解，這是“現有水平”，因式分解中的“十字相乘法”是“可能發展水平”，兩者之間的“最近發展區”就是用快速畫圖法畫出符合要求的長方形，再對多項式因式分解. 通過教師在最近發展區的引導，學生就能從拼圖中受到啟發，觀察多項式系數的特征，拆分系數，完成多項式的因式分解. 教師是學生學習的組織者、引導者與合作者，在學生遇到困難時，教師要指點迷津，而且要指導得法，幫助學生脫離困境.

對于數學實驗，廣大教師都還在路上，我們應且行且思，不斷嘗試、反思、修正，關注數學實驗的價值，充分發揮其對學生發展的促進作用.