數列教學中數學思想方法的挖掘與滲透

周文匯　 ??

[摘 要] 數列作為高中數學的重要內容，在高考中占有很大的比重.教師在教學數列知識時，要認真挖掘與滲透數列中的數學思想方法，并以這些數學思想方法為指導，引導學生分析、解決數列問題，從而達到事半功倍的教學效果.

[關鍵詞] 高考數學 數列 數學思想方法

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0057

數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識.數學方法是數學思想的具體化形式.實際上，這兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，所以通常被混稱為數學思想方法.常見的四大數學思想方法有函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合.數學思想方法是數學學習和研究的核心和靈魂.數列中蘊涵了許多重要的數學思想方法，在數列教學中注重數學思想方法的挖掘與滲透具有十分重要的意義.

一、函數與方程思想

1.函數思想

數列是一類特殊的函數，數列中的好多問題都可以轉化為函數問題.函數思想是用聯(lián)系和變化的觀點考查數學對象.以函數的觀點認識、理解數列，是解決數列問題的有效方法.

【例1】 （2013·全國卷Ⅱ，理16）等差數列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為 .

解析： 設數列{an}的首項為a1，公差為d，

很容易求得Sn=-3n+ n（n-1） 2 × 2 3 = 1 3 n2- 10 3 n

.

令f（n）=nSn，則f（n）= 1 3 n3- 10 3 n2.

然后，利用導數判斷函數的單調性，可知當n= 20 3 時，f（n）取最小值，而n∈ N+ ，f（6）=-48，f（7）=-49，所以當n=7時，f（n）min=-49.

2.方程思想

等差、等比數列共涉及五個基本量.在解數列問題時，利用等差、等比數列的通項公式、求和公式及性質構造方程（組），是解決數列問題的基本方法.

【例2】 （2015·安徽，理14）已知數列{an}是遞增的等比數列，a1+a4=9，a2a3=8，則數列{an}的前n項和等于 .

解析： 由題意得

a1+a4=9

a2·a3=a1·a4=8

，解得：

a1=1a4=8

或

a1=8a4=1

.

而數列{an}是遞增的等比數列，所以 a1=1a4=8

，即q3=

a4 a1 =8

，所以q=2，可求得數列前n項和為Sn=2n-1.

二、分類討論的思想

對于復雜的問題，我們一般無法一次性解決，常需分類討論，化整為零，各個擊破.數列中蘊含著豐富的需要分類討論的問題，如對等比數列中公比的討論.

【例3】 （2015·山東，理18）設數列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn=3n+3.

（1）求{an}的通項公式；

（2）若數列{bn}滿足anbn=log3an，求{bn}的前n項和Tn.

解析： （1）an=

3，n=13n-1，n>1

.

（2）因為anbn=log3an，

當n>1時，bn=31-nlog33n-1=（n-1）31-n

，所以

Tn=b1+b2+b3+…+bn= 1 3 +[1×3-1+2×3-2+…+（n-1）31-n]，

所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+（n-1）32-n]，

兩式相減，得2Tn= 2 3 +[30+3-1+…+32-n-

（n-1）·31-n]= 2 3 + 1-31-n 1-3-1 -（n-1）·31-n

= 13 6 -

6n+3 2×3n

.

所以Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

經檢驗，當n=1時，T1=b1= 1 3 滿足Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

綜上可得：Tn= 13 12 - 6n+3 4×3n .

三、轉化與化歸思想

將研究對象在一定條件下轉化并歸結為另一種研究對象，將其變?yōu)槭煜さ幕蛘咭呀浗鉀Q過的數學模式.或者從整體著眼，通過問題的整體形式、整體結構或其他整體處理后，達到解題的目的.

【例4】 （2014·全國卷Ⅱ，理17）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

（1）證明{an+ 1 2 }是等比數列，并求{an}的通項公式；

（2）證明： 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an < 3 2

.

解析： （1）由an+1=3an+1，得an+1+ 1 2 =3（an+ 1 2 ）.

又a1+ 1 2 = 3 2

，所以數列{an+ 1 2 }是首項為 3 2 ，公比為3的等比數列，

所以an+ 1 2 =

3 2 ×3n-1=

3n 2 ，

所以an= 3n-1 2 .

（2）略.

（責任編輯 鐘偉芳）