給“確定位置”以不同的“位置”

鄭莉

【摘 要】通過對“確定位置”一課不同設計的比較來探討如何分析教材、研究學生、高效教學。通過“三比”（比導入：“從一維到二維，經歷由模型組合形成方法的過程”VS“從活動到模型，經歷由數學抽象形成方法的過程”；比操作： “回歸現實，感悟規律，促進活動經驗的數學化”VS“開放設問，激發想象，數形結合感悟數對規律”；比應用：“利用同一性實例，強化知識的內涵理解”VS“利用比較性實例，廓清知識應用的外延”）對“數形結合”的教學提出若干建議。

【關鍵詞】確定位置 同課異構 比較

在平面上確定位置的常用方法有兩種：一是方向與距離法，如點B在點A的北偏東30°距離點A40千米處；還有一種就是有序數對法，在小學里，就是以點A為坐標原點，做第一象限，用數對表示點B相對于點A的位置。人教版六年級上冊“確定位置”講的是后一種情形。下面筆者嘗試用兩種不同的思路來設計這一內容，進行一次同課異構教學思考，以期在思維碰撞中獲得更深層次的教學認識。

【教學嘗試】

一、選擇不同的情境，設計不同的導入方式

現實生活中常用的在直線上（一維空間）確定位置有兩種情形：一是從前到后（或從后到前）的第幾個，二是從左到右（或從右到左）的第幾個。現實生活中常用的在平面上（二維空間）確定位置需要前后、左右兩個要素。這就實現了從一維到二維的跨越，當然，不論幾維空間確定位置，都要先確定參照點（原點）。

課伊始，選擇怎樣的情境導入尤為重要，我們設計了兩種不同的思路。

思路一：從一維到二維，經歷由模型組合形成方法的過程。

課一開始，教師出示一年級上冊中的排隊圖（見圖1），讓學生回憶在一維空間情境下的順序建立方式，回顧左右、前后等概念。然后出示教室里學生的座位圖（見圖2），讓學生思考在二維空間情境下如何確定每一個人的位置——不僅需要左右，還需要前后，然后明確行和列的意義——左右為行、前后為列，討論確定第一行和第一列，然后把行列抽象為線，學生抽象為縱橫線的交點，實現由座位圖到方格圖的過渡。

當然，這樣的設計也是我們為后續學習中實現從一維、二維過渡到三維空間確定位置的方法做了有序思考的蘊伏。

思路二：從活動到模型，經歷由數學抽象形成方法的過程。

課一開始，教師直接出示座位圖（見圖3），請學生對號入座，在座位圖中找出自己的位置，并說說是怎么找到自己的位置的。然后討論在確定位置的過程中需要明確哪一些要素。根據這些要素，把座位圖抽象為圖4的方格圖。

思路一實際上是披著現實情境外衣的數學導入，把一維空間中確定位置的兩種情形加以組合解決二維空間中確定位置的問題。思路二是實實在在地引入生活情境，直接把座位圖抽象為方格圖。

兩種思路都有其數學價值，它們都呈現了一個知識動態生成的過程，幫助學生從感性認識提升到理性思考，實現具體形象思維到抽象邏輯思維的轉變。

二、設計不同的操作，構建不同的學習形態

新知形成后，需要通過適當練習或操作性活動，感悟規律，進一步深化知識理解，發展學生的數學思維。如何達到這一目的呢？我們設計了顯著分化的操作活動。

思路一：回歸現實，感悟規律，促進活動經驗的數學化。

教師引導學生將目光投向教室，請學生用數對表示自己所在的位置，并記錄在草稿本上。請學生相互介紹自己和好朋友的位置。接著教師說數對，請符合要求的學生起立：（7，1）（7，2）（7，3）（7，4）（7，5）。進而引導學生思考：“奇怪，站起來的同學怎么正好是一列呢？表示這些同學的數對有什么特點？”引導學生發現數對中第一個數相同的，他們就在同一列。列數相同情況下數對中的一個數是確定的，一個數是在變化的。接著進一步引發思考：如果讓你來出一些數對，你能讓一列、一行或一排同學站起來嗎？你能不能說一個數對，就把一列、一行或一排的同學都包含在里面？學生馬上想到了用字母來表示，出現了（4，x）（5， x）（x，3）（x，x）（x，y）等各種不同的數對。教師繼續追問：（x，x）可能是誰？當x等于1時，表示誰？當x等于2時，表示誰？究竟哪些同學才有可能？（x，y）呢？

這一設計始終圍繞教室座位這一學生熟悉的現實情境，通過說、站、想的環節，幫助學生深刻認識數對的現實意義，積累豐富的感性經驗。

思路二：開放設問，激發想象，數形結合感悟數對規律。

笛卡兒創造了坐標思想，用數對表示位置是這一思想的具體體現。在此基礎上建立起了一個新的數學分支——解析幾何，將數與形完美地統一起來，用代數的方法研究幾何問題，是其最偉大的價值。這一設計試圖進一步凸顯數形結合，對解析的基本思想有所感悟。

教師在方格圖中出示一條線段。讓學生思考：如果在方格圖中增加一個點，這個新增加的點與原有這條線段上的兩個端點相連，可能會構成什么圖形？學生猜想，增加一個點后，與原有的兩個端點相連可以構成三角形，也可能構成線段。教師繼續啟發學生想象，在什么情況下，構成的圖形是線段？在什么情況下是三角形？學生思考后發現，當第三個點的位置在原有的這條線段所在直線之外的任意一個地方，構成的圖形是一個三角形。教師用課件呈現第三點在不同位置時，所構成的三角形的不同變化形態。如果第三個點的位置在原有的這條線段所在的直線上，則構成的圖形仍然是線段。

教師繼續引導學生思考：如果在原有線段之外增加兩個點（與原線段不在同一直線上），你猜想可能會構成什么圖形？學生猜想可能是正方形、長方形、一般四邊形、平行四邊形、梯形等等。教師課件呈現構圖的過程，請學生描述自己的猜想。

然后，教師組織學生將思維聚焦在：如果增加的兩個點與原有線段構成一個正方形，你覺得有幾種情況？并請學生用數對描述出點的位置。

最后，教師隱去方格圖，讓學生思考：在這條線段之外，增加兩個點，構成正方形，沒有了方格圖的幫助，你還能用數對表示出這兩個點的位置嗎？有幾種可能性？這些點有什么特點？

將數對運用到變化了的圖形中，這個設計有一定的難度，對六年級的學生來說還是比較抽象的。

同樣是規律，一個從生活到數學，一個從數學到數學。第一種思路更為細膩，起點低，步子小；第二種思路更為開放和整體，對學生的思維能力和教師的課堂駕馭能力提出了更高的要求。

三、引入不同的實例，構建不同的應用渠道

數學課中引入生活原型很常見，這節課也不例外。不過兩節課的思路略有不同。

思路一：利用同一性實例，強化知識的內涵理解。

教師引導學生觀察生活中的數對，出示國際象棋和中國地圖，讓學生解讀。

學生認為國際象棋的棋盤，行用數字表示，列用字母表示，棋子走到哪一格就用相應的數字、字母表示，例如王后從2F走到5B，就表示王后從第2行第6列斜著走到第5行第2列，用這樣的方法可以記錄下棋的全過程，這種思想與數對表示位置的思想一致，因此，國際象棋的棋譜可以說是用特殊的數對記錄的。

在中國地圖上，北京所在的位置是東經116度23分，北緯39度54分。用這樣的數對可以確定任何一個城市的位置。地球是球體的，是一個曲面，用這樣的數對就可以在曲面上確定位置。

思路二：利用比較性實例，廓清知識應用的外延。

教師引導學生觀察生活中表示位置的情況，并思考哪些是用數對來確定位置的。教師呈現的資料中，有用一個數來表示位置的，例如買票時小明排在隊伍的第3個；也有用兩個數表示位置的，如電影票上的8排12號，圍棋棋盤中棋子的位置，等等。然后啟發學生思考，以后我們還會學習哪些確定位置的方法呢？學生猜想，用3個數表示位置，如家庭住址2幢1單元301室；用方向和距離表示位置等等。

兩種思路各有優勢，針對性強便于技能鞏固，拓展面寬便于意義理解，兩個價值取向對于數學學習都是有益的，需要教師根據自己的想法去平衡和取舍。

【研究體會】

當我們將這兩堂課進行對比之后，可以發現，在不同設計的背后蘊含了諸多相似的價值追求。關注知識本質、關注思維的發展是我們一致的價值導向。關注知識的不同側面和學生學習的不同可能性形成了本課兩種風格迥異的教學形式。一堂課是一種教學理解的體現，也是一種價值觀的反映，我們用怎樣的眼光來理解數學、看待學生的數學學習，我們就會用怎樣的行動來體現這種思考。在與課堂的生成和學生的互動中，我們擁有了不斷接近數學和教學本源的真實體驗。提升我們的數學理解和教學能力，才能不斷提升學生的思維層次，不斷提高數學課堂教學的有效性。

參考文獻：

[1]張丹.小學數學教學策略[M].北京：北京師范大學出版社，2010.

[2] [荷]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，編譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3]李士锜，張曉霞，金成梁.小學數學教學案例研究[M].北京：高等教育出版社，2010.

（浙江省杭州市育才外國語學校 310012）