一個不定積分題的解法探究

吉耀武

[摘要]不定積分是高等數學教學中的一個重點內容，如何解積分題是教學中的難點。通過我在高等數學教學中對不定積分的解題研究，給出了一個不定積分的多種解法，這些解法對于解其他積分題也有很大的幫助作用，值得與讀者、同行交流探討。

[關鍵詞]高等數學，不定積分，類型，解法

[基金項目]高職院校數學教學中學生創新能力的培養探究（編號XTZY15J15）

一、引 言

求不定積分的方法有：直接積分法、湊微分法、第二類換元積分法、分部積分法。求積分的難易程度取決于對這些方法運用的靈活程度，在教學中常遇到一些典型的積分，例如∫sinxsinx+cosxdx，通過對不定積分的解題方法進行研究，以這個積分為例給出它的多種解法，這些解題方法對求其他積分題也有很大的幫助。

二、解法探究

解法1 一般地，對于∫f（sinx，cosx）dx類型的積分，采用萬能代換令tanx2=t，化為分式有理函數積分，用部分分式法分解為若干個真分式的代數和，可以求出該積分，但是方法非常繁瑣，一般不用這種解法（略）。

解法2 I=∫sinxsinx+cosxdx=∫（sinx+cosx）-cosxsinx+cosxdx

=∫dx-∫（cosx-sinx）+sinxsinx+cosxdx=x-∫1sinx+cosxd（sinx+cosx）-I=x-ln|sinx+cosx|-I。

移項除以2，得：I=12（x-ln|sinx+cosx|）+C。

解法3 分子分母同乘以 cosx-sinx。

∫sinxsinx+cosxdx=∫sinx（cosx-sinx）cos2x-sin2xdx=∫sinxcosxcos2xdx-∫sin2xcos2xdx

=-14∫1cos2xd（cos2x）-12∫1-cos2xcos2xdx

=-14ln|cos2x|-14∫sec2xd（2x）+12∫dx

=-14ln|cos2x|-14lnsec2x+tan2x+12x+C

=-14ln1+sin2x+12x+C。

解法4 分子分母同乘以 sinx+cosx。

∫sinxsinx+cosxdx=∫sinx（sinx+cosx）（sinx+cosx）2dx=∫sin2x1+sin2xdx+∫sinxcosx1+sin2xdx=12∫1-cos2x1+sin2xdx+12∫sin2x1+sin2xdx

=12∫11+sin2xdx-14∫11+sin2xd（1+sin2x）+12∫dx-12∫11+sin2xdx=-14ln1+sin2x+12x+C。

解法5 ∫sinxsinx+cosxdx=∫sin（x+π4-π4）2sinx+π4dx

=∫22sinx+π4-22cosx+π42sinx+π4dx=12∫dx-12∫1sinx+π4dsinx+π4

=12x-12lnsinx+π4+C。

解法6 ∫sinxsinx+cosxdx=∫cos（x-π4-π4）2cosx-π4dx

=∫22cosx-π4+22sinx-π42cosx-π4dx=12∫dx-12∫1cosx-π4dcosx-π4=12x-12lncosx-π4+C。

解法7 將原積分化為∫11+cotxdx，只要求出這個積分即可。

因為21+cotx=（csc2x-cot2x）+11+cotx=csc2x1+cotx+1-cotx。

∫11+cotxdx=12∫11+cotxd1+cotx+12∫dx-12∫cotxdx

=-12ln1+cotx+12x-12lnsinx+C=12x-12ln|sinx+cosx|+C。

三、結 語

從不定積分的不同解法中，不斷領悟解題要領，在高等數學教學中堅持下去，就可以做到“舉一反三、觸類旁通”之效，本文給出的解法權作拋磚引玉，與同行交流學習。

[參考文獻]

[1]同濟大學數學教研室。高等數學（上冊，第四版）[M]。北京：高等教育出版社。1996。12。

[2]西北工業大學高等數學教研室。高等數學（上冊）同步學習輔導[M]。西安：西北工業大學出版社。2001。08。