也談初中數(shù)學(xué)圖形問題中教師的“導(dǎo)”

王長貴

摘 要：“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”，是全面實(shí)施素質(zhì)教育的基本要求。學(xué)習(xí)講究互動(dòng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)與教師的課堂指導(dǎo)活動(dòng)同樣重要。學(xué)生為主體，不是不要老師的“主導(dǎo)”作用。一般來說，教師的認(rèn)識(shí)先于學(xué)生、高于學(xué)生。而學(xué)生心理特點(diǎn)又不同于成人，加上自身知識(shí)有限，單靠自學(xué)是有困難的。教師的有效指導(dǎo)可以讓學(xué)生學(xué)得輕松愉快，從被動(dòng)學(xué)習(xí)走向主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：初中；數(shù)學(xué)；圖形問題；“導(dǎo)”

初中數(shù)學(xué)的圖形問題主要來源于幾何，當(dāng)然還有函數(shù)問題，初中的幾何內(nèi)容是比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)歐幾里德平面幾何，從常見的物體抽象成數(shù)學(xué)中的體、面、線、點(diǎn)，要求有比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮锨橥评碚Z言，而函數(shù)則要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力。相當(dāng)部分學(xué)生對圖形問題的恐懼來自無法用正確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸缀握Z言表達(dá)自己的想法以及數(shù)形結(jié)合的能力較差。雖然新課標(biāo)對初中圖形問題的難度有所降低，但部分學(xué)生依然在作業(yè)與考試中言不達(dá)意，漏洞百出，甚至不知所措。為了實(shí)現(xiàn)“不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上有不同的收獲”，教師在課堂上的指導(dǎo)方法是至關(guān)重要的。

一、利用簡單教具、學(xué)具，化想象為直接觀察

初中幾何的許多內(nèi)容的學(xué)習(xí)都要求學(xué)生進(jìn)行直觀觀察，若讓學(xué)生直接進(jìn)行抽象想象，大部分學(xué)生是無法完成的，導(dǎo)致教學(xué)目標(biāo)無法實(shí)現(xiàn)。若通過簡單的教具或?qū)W具，就可把抽象想象轉(zhuǎn)化為直觀觀察，這樣既達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)，也達(dá)到了突破教學(xué)難點(diǎn)的作用。

比如截一個(gè)幾何體、從不同方向看、有趣的七巧板等教學(xué)內(nèi)容，主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手操作和主動(dòng)參與。我鼓勵(lì)學(xué)生借助教具學(xué)具充分地實(shí)踐、觀察、探索與交流，給學(xué)生足夠的時(shí)間去思考，取得了較好的效果。

在講授幾何體的截面時(shí)，我設(shè)計(jì)了兩個(gè)環(huán)節(jié)：第一步在課堂上教師通過實(shí)物作示范性操作，利用白蘿卜作教具，讓學(xué)生了解各種幾何體的截面；第二步把這個(gè)截切的任務(wù)布置成周末作業(yè)，學(xué)生回家后，親自動(dòng)手操作，更直觀地去感受幾何體的截面，特別是正方體的多種截面情況，返校時(shí)將作業(yè)帶回檢查。不同學(xué)生有不同的創(chuàng)意，從而加深了學(xué)生對截面的理解。這樣，學(xué)生從直觀感受到動(dòng)手操作，再到抽象思維，從而對各種不同的截面有了深刻的理解，收效明顯。

二、親自畫圖，加深對問題的理解

初中幾何主要是對平面圖形進(jìn)行觀察，尋找點(diǎn)、線在位置、數(shù)量方面的一般規(guī)律。許多教師在教學(xué)時(shí)忽略讓學(xué)生親自畫圖的作用，用多媒體或小黑板一下子給出題目，學(xué)生在審題時(shí)看了許久才知道已知條件，產(chǎn)生極大的資源浪費(fèi)，特別對于較長的題目，效率更低。而如果充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生融入學(xué)習(xí)中，采用教師邊敘述，學(xué)生邊畫圖形，這樣教師敘述完題目學(xué)生已經(jīng)有了圖形，而且在畫圖同時(shí)已經(jīng)把已知條件都告訴給學(xué)生，學(xué)生對已知條件已經(jīng)了若指掌，對于簡單的題目，許多學(xué)生都能猜出要解決什么問題或借助度量工具猜出相關(guān)結(jié)論，即使學(xué)生猜不出來，長而久之也會(huì)大大提高學(xué)生的審題效率、作圖能力、猜想能力、發(fā)散能力。

例1：E、F分別是△ABC的邊AB、AC邊上的中點(diǎn)，G、H是BC邊上的三等分點(diǎn)，連結(jié)EG、FH相交于D，求證：四邊形ABDC是平行四邊形。

在這個(gè)題目中，題目不算長，但涉及的字母較多，學(xué)生一時(shí)難以認(rèn)清題目中的已知條件，于是我并不將題目直接給出，而是要求學(xué)生做以下幾個(gè)步驟的工作：

①畫三角形ABC；

②分別取AB、AC的中點(diǎn)E、F；

③取BC的三等分點(diǎn)G、H；

④連結(jié)EG、FH并延長，它們相交于D，連結(jié)BD、CD；

⑤通過度量或猜測四邊形ABDC是怎樣的一個(gè)特殊四邊形。

在這個(gè)過程中，也會(huì)產(chǎn)生有的學(xué)生所畫的字母位置與原題目的不一致，那就需要老師及時(shí)加以點(diǎn)撥，許多學(xué)生得到老師的直接指導(dǎo)，雖然題目較難，但猜想總是成功的，對于學(xué)習(xí)較滯后的學(xué)生也能學(xué)有所獲。

三、充分進(jìn)行“變式”

循序漸進(jìn)，先強(qiáng)化條件或弱化結(jié)論，再逐步弱化條件或強(qiáng)化結(jié)論，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心，提高學(xué)習(xí)興趣。

新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)中考，出現(xiàn)了較多的閱讀理解題目或開放性題目，這些題目給學(xué)生帶來了很大困難，怎樣才能做到大部分的學(xué)生不“感冒”呢？我就是采用“變式”策略，循序漸進(jìn)，讓學(xué)生愉快輕松地完成學(xué)習(xí)內(nèi)容，并從中得到解決問題的基本方法。

例2如圖，已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4。

（1）求的值；

（2）若雙曲線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，求的面積；

（3）過原點(diǎn)的另一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)的坐標(biāo)。

講解本題時(shí)我采用給出題目后先給出問題（1）讓學(xué)生求K值，等大部分學(xué)生完成，再給出問題（2），問：點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，C大約位置在哪里？這時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)能不能確定？然后求△AOC的面積。因?yàn)椴皇呛茈y，所以這兩個(gè)小題學(xué)生基本能解決。在這個(gè)基礎(chǔ)上，給出問題（3），要求學(xué)生過原點(diǎn)O作一條直線，看看產(chǎn)生怎樣的圖形，從中分析四邊形的特殊性，達(dá)到指導(dǎo)解決問題的目的。

四、從特殊到一般，形成一般規(guī)律，再從一般到特殊

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中問題解決的突破口往往是依據(jù)規(guī)律性與經(jīng)驗(yàn)，所以在平常教學(xué)過程中除了教會(huì)學(xué)生觀察外，還要有意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)與歸納，通過多次的重復(fù)應(yīng)用，學(xué)生就把知識(shí)的點(diǎn)滴收獲升華為靈活運(yùn)用的解決問題的工具，這就要求在教學(xué)過程中的設(shè)計(jì)具有一定的針對性。對于一個(gè)知識(shí)點(diǎn)用一系列相關(guān)又不相同的“問題串”引導(dǎo)學(xué)生，進(jìn)行觀察、探索、總結(jié)，最后形成規(guī)律。很多中考閱讀理解題正是基于這種認(rèn)識(shí)設(shè)計(jì)產(chǎn)生的。

教師作為課堂教學(xué)引導(dǎo)者就是起到架起學(xué)生與教材之間的“橋梁”作用，指導(dǎo)學(xué)生找到最佳的學(xué)習(xí)途徑、養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)并靈活運(yùn)用知識(shí)。教師的作用就是在充分肯定學(xué)生個(gè)性化處理問題方法的同時(shí)，加以及時(shí)的指導(dǎo)點(diǎn)撥，提煉共性的方法，達(dá)成共識(shí)，形成規(guī)律，從而使學(xué)生掌握解決問題的通性通法與一般規(guī)律。這一過程是一名教師對知識(shí)把握程度的體現(xiàn)，對學(xué)情的體現(xiàn)，也是一名教師駕馭課堂把握課堂節(jié)奏的體現(xiàn)，是學(xué)生對知識(shí)、方法的掌握是否到位的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

例3如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)I，根據(jù)下列條件求∠BIC的度數(shù).

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠BIC=__________；

（2）若∠ABC+∠ACB=116°，則∠BIC=_____________；

（3）若∠A=56°，則∠BIC=________________________；

（4）通過以上計(jì)算，探索出您所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：∠A與∠BIC之間的數(shù)量關(guān)系是__________；

（5）若∠BIC=100°，則∠A=_________________。

例4（課本例題）已知∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求證：AB=AC。

本題主要考查學(xué)生應(yīng)用等腰三角形判定定理的能力，學(xué)生已在七年學(xué)過平行線的性質(zhì)與判定，可在這里將條件與結(jié)論對換進(jìn)行變式：

1.已知∠CAE是△ABC的外角，AB=AC，AD∥BC.求證：∠1=∠2。

2.已知∠CAE是△ABC的外角，AB=AC，∠1=∠2.求證：AD∥BC。

讓學(xué)生試試證明兩個(gè)逆命題，從而告訴學(xué)生規(guī)律：

角平分線+平行線→等腰三角形；

等腰三角形+平行線→角平分線；

角平分線+等腰三角形→平行線。

無數(shù)的幾何題目都涉及到這個(gè)基本圖形，利用上面規(guī)律往往達(dá)到事半功倍的效果，大大提高解題效率。

五、肯定不同想法，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性

幾何問題的解決途徑往往不止一個(gè)，有多個(gè)甚至幾百個(gè)（勾股定理的證明有300多種方法），但老師在課堂指導(dǎo)中不可能面面俱到，在師生互動(dòng)過程中學(xué)生可能提出不同的思路，不管是不是可行，讓學(xué)生表述，如果語言表達(dá)不是很清楚，可以讓學(xué)生到黑板上板書，如果解法正確，老師再加以復(fù)述，讓其他學(xué)生也能理解，如果沒做么步步有據(jù)，指出學(xué)生的不足之處，無論結(jié)果是否正確，老師應(yīng)加以肯定、鼓勵(lì)，這樣課堂上就會(huì)出現(xiàn)更多的學(xué)生獨(dú)立思考問題或討論解決問題，對學(xué)生的思維訓(xùn)練或活躍課堂氣氛有不可忽視的效果，更重要的一點(diǎn)，讓學(xué)生喜歡上你的課堂，真正實(shí)現(xiàn)“不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上有不同的收獲”。

例5如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE=AD，DF⊥AE于F，連結(jié)DE，求證：DF=DC.

本題中的兩條線段不在同一個(gè)三角形中，很容易想到全等三角形，但兩個(gè)直角三角形的全等條件除了直角與公共邊外，另一個(gè)條件是間接給出的，回到已知條件，把AE=AD用好，得出∠DEF=∠ADE=∠DEC，再全等，這是很多同學(xué)可以理解接受的，不過有學(xué)生還想到另一種解法，在∠DEF=∠ADE=∠DEC的基礎(chǔ)上得到了角平分線ED，且DF⊥AE，DC⊥EC，我何不直接應(yīng)用角平分線定理？另有學(xué)生想到△ABE與△AFD全等這種解法，第一種解法學(xué)生易懂，而第二種就不那么容易想到且用語言不一定講得明白，即使學(xué)生講明白了，其他學(xué)生不一定聽得明白，可讓這個(gè)學(xué)生親自上黑板給同學(xué)演示并帶頭動(dòng)員全班學(xué)生為這位同學(xué)鼓掌。

六、根據(jù)實(shí)際需要，適當(dāng)調(diào)整學(xué)生學(xué)習(xí)課時(shí)

我們很多老師常常根據(jù)教學(xué)用書所定的課時(shí)計(jì)劃教學(xué)，這本無可非議，教學(xué)用書里的編排肯定有它的科學(xué)性。但我卻認(rèn)為不應(yīng)當(dāng)全按教學(xué)用書的課時(shí)安排來上課，應(yīng)根據(jù)學(xué)情進(jìn)行自我掌控，可根據(jù)學(xué)生掌握情況適當(dāng)增加自己認(rèn)為重點(diǎn)、難點(diǎn)的教學(xué)內(nèi)容讓學(xué)生在各個(gè)環(huán)節(jié)都能很好地理解清楚，如果忙于完成課時(shí)，學(xué)生難免囫圇呑棗，到最后階段即使花很多時(shí)間復(fù)習(xí)，其結(jié)果很可能是事倍功半。

當(dāng)然要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，對教師的要求比較高：

①要求熟悉整個(gè)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容，對各部分內(nèi)容有整合的能力；

②新課標(biāo)的要求胸有成竹，并把握好整個(gè)初中數(shù)學(xué)體系的重難點(diǎn)及各章節(jié)內(nèi)部的重難點(diǎn)；

③對學(xué)情要認(rèn)真調(diào)查；

④近年各地中考題目的深入研究，重難點(diǎn)的導(dǎo)向性等等。

又如對勾股定理的教學(xué)，人教社教學(xué)用書中只安排兩課時(shí)，而我卻花了四個(gè)課時(shí)，原因是：是中華民族引以為豪的偉大歷史文化遺產(chǎn)；用面積證明定理為初接觸，不容易想到也比較難以理解但卻是勾股定理各種證法的“靈魂”；勾股定理是重要的考點(diǎn)，不可不掌握；勾股定理是解直角三角形不可或缺重要工具，在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用性廣等等。

第一課時(shí)①互動(dòng)方式證明勾股定理；②在直角三角形中已知任意兩邊求第三邊。

第二課時(shí)①復(fù)習(xí)勾股定理證明的特殊性；②在直角三角形中已知一邊，并且另外兩邊數(shù)量上存在關(guān)系，求另外的兩條邊——方程思想；③在直角三角形中已知一邊，且有一個(gè)角為30°或45°求另外兩邊——可轉(zhuǎn)化為以上兩種情況。

第三課時(shí)總結(jié)直角三角形所有已的性質(zhì)。①角的性質(zhì)：兩銳角互余；②邊的性質(zhì)：斜邊最長、兩邊之和大于第三邊、勾股定理；③邊與角的性質(zhì)：ⅰ）.30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；ⅱ）.含30°角的直角三角形三邊之比為1：：2；ⅲ）.含45°角的直角三角形三邊之比為1：1：.

第四課時(shí)講解勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

教師教學(xué)功在“導(dǎo)”，沒有教師合理科學(xué)的課堂指導(dǎo)，學(xué)生僅僅按部就班，那么學(xué)生的思維能力和合作交流、自主探究等能力就得不到鍛煉，就無法真正實(shí)現(xiàn)“不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上有不同的收獲”！

參考文獻(xiàn)：

[1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版（實(shí)驗(yàn)稿）[M].人民教育出版社，2012，1.

[2]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版解讀（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京師范大學(xué)出版社，2012，2.

[3]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書2013版[M].人民教育出版社，2013，5.

[4]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)用書2013版[M].人民教育出版社，2013，5.

（作者單位：福建省福清市濱江初級(jí)中學(xué)）