數學方法論在高等數學教學中的應用

陳茜

摘 要：文章從“高等數學”課程的性質與地位出發，闡述了“高等數學”課程教學改革的必要性，并提出了將數學方法論應用于“高等數學”教學中的策略。

關鍵詞：“高等數學”；教學改革；數學方法論

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-4107（2016）11-0023-02

一、“高等數學”課程的性質與地位

“高等數學”是眾多高等院校開設的一門基礎理論課程，其所提供的數學思想、數學方法和數學知識是學生學習專業課程的基礎，也是學生今后科研和工作中必備的重要手段和工具。“高等數學”嚴謹的思維方式和解決問題的科學方法，是學生知識結構中不可缺少的重要組成部分，更是學生適應社會，提高自我發展潛力應具備的基本能力之一。

另外，它也是一門高度抽象概括的學科，從教學范疇、層次到教學方式和課時等方面較初等數學都有較大的變化，這往往使大學一年級的新生學習起來感到困難。再加上同一班級學生的數學基本功良莠不齊，新生入學學校社團活動頻繁，受校園風氣及網絡、手機等因素的影響， 部分學生出現學習目的不明確，態度不端正等現象。

二、“高等數學”課程教學改革的必要性

（一）引導大學生重視數學學習的需要

“高等數學”是為大學一年級新生開設的基礎課程。對初入大學的一年級新生而言，緊張的軍訓生活、繁忙的學生社團活動、學院班級的集體活動、遠離父母和教師的時刻監管等這些看似寬松無約束的大學生活往往能助長大學一年級新生的貪玩之心，從而輕視或無視學習是生活主旋律的硬道理。為此，在學習“高等數學”課程伊始，教師有必要上上課程緒論課，介紹課程的特點，強調它在整個大學學習中所具有的地位及它對學生學習后續課程的作用和影響。尤其在新教育形式下，對有考研志向的學生更需強調“高等數學”對考研及研究生學習階段的重要性。

教師通過深化課程的重要性，能使學生在學習之初重視“高等數學”課程的學習，端正良好的學習態度，抵制外界不良風氣的影響。

（二）轉變理念，更新教學方法的要求

學習一門課程要考慮其后續延伸的作用。“高等數學”的學習不應只是淺顯地學習如何解題，還應該努力培養學生的創造性思維和運用數學的能力，課堂教學要充分體現出邏輯思維、抽象思維、類比思維、歸納思維、發散思維等創造性思維。“高等數學”的教學要使學生遇到問題時，能主動嘗試用數學的理念、方法和手段來尋求解決的方案。

這就需要教育工作者們轉變教學理念，重視對學生思維和數學方法的訓練，研究教學內容中的數學思想，了解所教知識產生的背景及其在其他學科中的應用，重視教材中的數學知識的橫向聯系和縱向運用。在課堂教學中，要以教師為主導，以學生為主體，通過數學思想方法精心訓練學生觀察、思考、猜測、分析和歸納數學問題的能力，提高學生科學地思考、分析、表達和解決數學問題的能力，培養學生的創新意識，使學生形成良好的數學素養。

三、數學方法論在“高等數學”課程教學中的應用策略

教育教學改革是影響人才培養質量的根本性的問題，大學數學教學更是大學人才培養的重要基礎，教學方法的創新研究和應用使大學數學課程建設與教學改革的內涵更加豐富多彩。

（一）數學方法論的內涵

著名的德國數學家萊布尼茲曾經說過：“數學的本質不在于它的對象，而是它的方法。”學習數學必須講究思想方法。以思想方法的分析來帶動具體數學知識內容的學習，我們即可真正地做到把數學課“講活”，“講懂”和“講深”[1]。

在我國，徐利治教授最早提出了數學方法論的教學理念。數學方法論是以數學方法為對象的一門學問，即以人們進行數學活動的方式、手段為對象的一門學問。它涉及數學思想方法，數學中的發現、發明等問題，其目的是探索數學思想方法的一般原則，數學科學的發展規律以及數學中的發現、發明與創新的法則等[2]。數學方法是一種知識，它通常隱藏于數學知識產生和發展之中，但它又高于數學知識。數學思想是相應的數學方法的精髓和理論基礎，通常數學思想通過某種數學方法來實現，而具體的數學方法又反映出一定的數學思想。

常見的數學思想方法有數形結合法、類比歸納法、轉化法、構造法、化歸法、最優化法、數學美的思想方法等。

（二）數學方法論在“高等教學”中的應用策略

蘊藏在數學知識獲取過程中的數學思想方法對于數學素質的提高，實現從學會到會學的轉變，具有舉足輕重的作用，其價值遠遠超過解決數學問題的本身。可見，教師掌握數學方法論，幫助學生能用數學的觀點思考問題意義十分重大。而作為專門總結數學本身研究學問的數學方法論，自然對幫助教師掌握數學研究方法，

從方法論的高度去提高課堂教學效率有著不可或缺的作用[3]，由此可見在課堂教學中應貫徹數學方法論教學的思想方法。

1.在概念形成階段滲透數學思想方法。理解抽象的數學概念，引發學生學習的興趣是學好“高等數學”的基礎。文字敘述的數學概念中運用了大量的數學符號，使得概念理解起來較為抽象。揭示概念發生過程的講授，從直觀形象走向抽象一般化，能培養學生觀察、分析、類比和總結的思維能力，引發學生的學習興趣。為此在學習概念之處，應根據教材特點采用相應的數學思想方法展示概念的本質含義，培養學生數學的理解能力。

2.在數學理論形成階段突出數學方法論的教學，優化知識結構，提高學生的邏輯思維能力。所有認知和學習都是一個循序漸進的過程，“高等數學”也不例外。

前面知識的講授通常為后面知識的引入做鋪墊，二者通常異曲同工有本質上的內在關系，利用這種內在關系進行猜想、歸納、類比和總結，顯然對鞏固已學知識和接納新知識是很有幫助的。如講解多元函數偏導數時，在溫習一元函數導數知識的基礎上，提出當變元增多時，讓

學生猜想導數概念。當學習多元函數的偏導數后，引導學生把多元情形和一元情形進行歸納與總結，不難發現多元函數的偏導數與一元函數導數在基本概念、數學思想、幾何意義和結題技巧上都有很多的相似性。兩者的類比，可以讓學生嘗試總結兩者在變元數量、書寫符號等方面的諸多不同。

在數學知識理論形成階段不斷運用數學思想方法，優化知識結構，能避免教師在課程講授過程中將內容生搬硬套，導致學生僅僅停留在按葫蘆畫瓢的模仿性結題水平上，進而導致學生出現對數學理論實質不求甚解的學習態度。反之，突出數學方法論思想教學能使學生在學習中獲取良好的數學感受，培養學生的研究意識，激發學生的想象力和創造力，提高學生的數學邏輯思維能力。

3.精講多練，善用數學思想方法總結概括。數學不練題，只是隨堂聽聽課，達不到良好的學習效果。若過多地進行課堂練筆，必然會占用授課時段，又由于高等數學課程普遍存在課時縮減情況，因此教師在授課時應在課前充分備課，精煉教學內容，在整個知識框架中要提綱挈領地介紹數學思想方法，指導學生自主探索在解題過程中運用的數學思想方法，使學生學會融會貫通，進而使其能對題目舉一反三。這對于提高課堂效率，發揮學生的主體作用大有裨益。

如在講解完重要極限后[4]，一旦遇到求的題目時，學生往往把原題目湊成重要極限的形式來結題。這時教師不妨用類比的方法讓學生探討一下：當變量變化時，兩個極限式中函數的變化趨勢是否相同？有何不同？導致這種不同的原因是什么？在經過觀察和分析后，究其原因學生不難發現變量的變化是導致函數變化不同的重要因素。此時教師再歸納性地概括出：變量變化不同使得函數的變化不同，就有可能使得極限不同。最后給出習題讓學生鞏固練習。這樣不僅使學生掌握了做極限題目的技巧，還訓練了學生分析問題的能力，提高了學習效率。

三、數學方法論在“高等數學”教學中應用的意義

傳統的“高等數學”教學往往是按照定義—定理—推論—習題的邏輯順序展開，課堂上只講“是什么”，很少講“為什么”。重理論知識講解，輕化知識來源和實際生活背景，忽略思想方法訓練的教學現象普遍存在。而對于數學問題多半亦是技能訓練性的，通過題海戰術，欲使學生掌握題目類型和解題技巧。在課堂教學中，教師若能從數學方法論的高度揭示概念、定理、結論等的本質，發掘知識點之間的聯系，那么便有利于學生形成完整、有效的知識框架結構。

從表層到深層的學習是人類認知的一般規律。對數學而言表層的認知包括概念、定理、公式、性質等數學的基本知識和基本技能，深層認知是指數學思想和數學方法。表層知識是學習的基礎，深層的數學思想方法基于數學知識表層但又是高于數學知識表層的一種隱性數學知識，它是數學的精髓所在。教師在課堂教學中不斷滲透、突出運用這些思想方法，才能真正地做到把數學課講解透徹，使抽象的數學知識簡單明朗，便于學生理解與領悟，這樣才能有助于學生由表層認知中的概念、定理等的學習逐漸遷移到深層認知中的數學學習能力的提高上，才能使學生的表層認知實現“質”的飛躍。

學習、研究數學方法論中的數學思想，并將之靈活運用到課程教學過程中對教師及學生二者皆是有益的。一方面，數學方法論啟示教師在教學中如果想全面準確把握運用數學思想方法，那么教師就要對授課提出新的要求，也必然能促進教學質量的提升。另一面，數學思想方法對學生的實踐教學，為學生研究和解決問題提供了指導思想，有助于培養學生的創新能力和應用數學的能力。而教師對數學的精神實質、思維方式、研究方法的領悟也必然能使學生形成良好的數學素養，使其受益終生。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數學方法論：第2版[M].南寧：廣西教育出版社， 2001：9.

[2]徐利治.數學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社， 1983：1.

[3]陳凌.數學方法論對提高數學課堂教學效率的指導作用 ——從幾個低效率教學實例引發的思考[J].黃岡師范 學院學報，2009，（6）.

[4]同濟大學數學系.高等數學：第六版[M].北京：高等教育 出版社，2008：47.