數(shù)學(xué)方法論在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

陳茜

摘 要：文章從“高等數(shù)學(xué)”課程的性質(zhì)與地位出發(fā)，闡述了“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)改革的必要性，并提出了將數(shù)學(xué)方法論應(yīng)用于“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中的策略。

關(guān)鍵詞：“高等數(shù)學(xué)”；教學(xué)改革；數(shù)學(xué)方法論

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-4107（2016）11-0023-02

一、“高等數(shù)學(xué)”課程的性質(zhì)與地位

“高等數(shù)學(xué)”是眾多高等院校開設(shè)的一門基礎(chǔ)理論課程，其所提供的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，也是學(xué)生今后科研和工作中必備的重要手段和工具。“高等數(shù)學(xué)”嚴謹?shù)乃季S方式和解決問題的科學(xué)方法，是學(xué)生知識結(jié)構(gòu)中不可缺少的重要組成部分，更是學(xué)生適應(yīng)社會，提高自我發(fā)展?jié)摿?yīng)具備的基本能力之一。

另外，它也是一門高度抽象概括的學(xué)科，從教學(xué)范疇、層次到教學(xué)方式和課時等方面較初等數(shù)學(xué)都有較大的變化，這往往使大學(xué)一年級的新生學(xué)習(xí)起來感到困難。再加上同一班級學(xué)生的數(shù)學(xué)基本功良莠不齊，新生入學(xué)學(xué)校社團活動頻繁，受校園風氣及網(wǎng)絡(luò)、手機等因素的影響， 部分學(xué)生出現(xiàn)學(xué)習(xí)目的不明確，態(tài)度不端正等現(xiàn)象。

二、“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)改革的必要性

（一）引導(dǎo)大學(xué)生重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要

“高等數(shù)學(xué)”是為大學(xué)一年級新生開設(shè)的基礎(chǔ)課程。對初入大學(xué)的一年級新生而言，緊張的軍訓(xùn)生活、繁忙的學(xué)生社團活動、學(xué)院班級的集體活動、遠離父母和教師的時刻監(jiān)管等這些看似寬松無約束的大學(xué)生活往往能助長大學(xué)一年級新生的貪玩之心，從而輕視或無視學(xué)習(xí)是生活主旋律的硬道理。為此，在學(xué)習(xí)“高等數(shù)學(xué)”課程伊始，教師有必要上上課程緒論課，介紹課程的特點，強調(diào)它在整個大學(xué)學(xué)習(xí)中所具有的地位及它對學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的作用和影響。尤其在新教育形式下，對有考研志向的學(xué)生更需強調(diào)“高等數(shù)學(xué)”對考研及研究生學(xué)習(xí)階段的重要性。

教師通過深化課程的重要性，能使學(xué)生在學(xué)習(xí)之初重視“高等數(shù)學(xué)”課程的學(xué)習(xí)，端正良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，抵制外界不良風氣的影響。

（二）轉(zhuǎn)變理念，更新教學(xué)方法的要求

學(xué)習(xí)一門課程要考慮其后續(xù)延伸的作用。“高等數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)不應(yīng)只是淺顯地學(xué)習(xí)如何解題，還應(yīng)該努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和運用數(shù)學(xué)的能力，課堂教學(xué)要充分體現(xiàn)出邏輯思維、抽象思維、類比思維、歸納思維、發(fā)散思維等創(chuàng)造性思維。“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)要使學(xué)生遇到問題時，能主動嘗試用數(shù)學(xué)的理念、方法和手段來尋求解決的方案。

這就需要教育工作者們轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，重視對學(xué)生思維和數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練，研究教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想，了解所教知識產(chǎn)生的背景及其在其他學(xué)科中的應(yīng)用，重視教材中的數(shù)學(xué)知識的橫向聯(lián)系和縱向運用。在課堂教學(xué)中，要以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，通過數(shù)學(xué)思想方法精心訓(xùn)練學(xué)生觀察、思考、猜測、分析和歸納數(shù)學(xué)問題的能力，提高學(xué)生科學(xué)地思考、分析、表達和解決數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、數(shù)學(xué)方法論在“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)中的應(yīng)用策略

教育教學(xué)改革是影響人才培養(yǎng)質(zhì)量的根本性的問題，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更是大學(xué)人才培養(yǎng)的重要基礎(chǔ)，教學(xué)方法的創(chuàng)新研究和應(yīng)用使大學(xué)數(shù)學(xué)課程建設(shè)與教學(xué)改革的內(nèi)涵更加豐富多彩。

（一）數(shù)學(xué)方法論的內(nèi)涵

著名的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它的對象，而是它的方法。”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須講究思想方法。以思想方法的分析來帶動具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們即可真正地做到把數(shù)學(xué)課“講活”，“講懂”和“講深”[1]。

在我國，徐利治教授最早提出了數(shù)學(xué)方法論的教學(xué)理念。數(shù)學(xué)方法論是以數(shù)學(xué)方法為對象的一門學(xué)問，即以人們進行數(shù)學(xué)活動的方式、手段為對象的一門學(xué)問。它涉及數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明等問題，其目的是探索數(shù)學(xué)思想方法的一般原則，數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展規(guī)律以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新的法則等[2]。數(shù)學(xué)方法是一種知識，它通常隱藏于數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展之中，但它又高于數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)思想是相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法的精髓和理論基礎(chǔ)，通常數(shù)學(xué)思想通過某種數(shù)學(xué)方法來實現(xiàn)，而具體的數(shù)學(xué)方法又反映出一定的數(shù)學(xué)思想。

常見的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合法、類比歸納法、轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、化歸法、最優(yōu)化法、數(shù)學(xué)美的思想方法等。

（二）數(shù)學(xué)方法論在“高等教學(xué)”中的應(yīng)用策略

蘊藏在數(shù)學(xué)知識獲取過程中的數(shù)學(xué)思想方法對于數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，實現(xiàn)從學(xué)會到會學(xué)的轉(zhuǎn)變，具有舉足輕重的作用，其價值遠遠超過解決數(shù)學(xué)問題的本身。可見，教師掌握數(shù)學(xué)方法論，幫助學(xué)生能用數(shù)學(xué)的觀點思考問題意義十分重大。而作為專門總結(jié)數(shù)學(xué)本身研究學(xué)問的數(shù)學(xué)方法論，自然對幫助教師掌握數(shù)學(xué)研究方法，

從方法論的高度去提高課堂教學(xué)效率有著不可或缺的作用[3]，由此可見在課堂教學(xué)中應(yīng)貫徹數(shù)學(xué)方法論教學(xué)的思想方法。

1.在概念形成階段滲透數(shù)學(xué)思想方法。理解抽象的數(shù)學(xué)概念，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣是學(xué)好“高等數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)。文字敘述的數(shù)學(xué)概念中運用了大量的數(shù)學(xué)符號，使得概念理解起來較為抽象。揭示概念發(fā)生過程的講授，從直觀形象走向抽象一般化，能培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比和總結(jié)的思維能力，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為此在學(xué)習(xí)概念之處，應(yīng)根據(jù)教材特點采用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法展示概念的本質(zhì)含義，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的理解能力。

2.在數(shù)學(xué)理論形成階段突出數(shù)學(xué)方法論的教學(xué)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的邏輯思維能力。所有認知和學(xué)習(xí)都是一個循序漸進的過程，“高等數(shù)學(xué)”也不例外。

前面知識的講授通常為后面知識的引入做鋪墊，二者通常異曲同工有本質(zhì)上的內(nèi)在關(guān)系，利用這種內(nèi)在關(guān)系進行猜想、歸納、類比和總結(jié)，顯然對鞏固已學(xué)知識和接納新知識是很有幫助的。如講解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時，在溫習(xí)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識的基礎(chǔ)上，提出當變元增多時，讓

學(xué)生猜想導(dǎo)數(shù)概念。當學(xué)習(xí)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)后，引導(dǎo)學(xué)生把多元情形和一元情形進行歸納與總結(jié)，不難發(fā)現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)在基本概念、數(shù)學(xué)思想、幾何意義和結(jié)題技巧上都有很多的相似性。兩者的類比，可以讓學(xué)生嘗試總結(jié)兩者在變元數(shù)量、書寫符號等方面的諸多不同。

在數(shù)學(xué)知識理論形成階段不斷運用數(shù)學(xué)思想方法，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，能避免教師在課程講授過程中將內(nèi)容生搬硬套，導(dǎo)致學(xué)生僅僅停留在按葫蘆畫瓢的模仿性結(jié)題水平上，進而導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)對數(shù)學(xué)理論實質(zhì)不求甚解的學(xué)習(xí)態(tài)度。反之，突出數(shù)學(xué)方法論思想教學(xué)能使學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲取良好的數(shù)學(xué)感受，培養(yǎng)學(xué)生的研究意識，激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力。

3.精講多練，善用數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)概括。數(shù)學(xué)不練題，只是隨堂聽聽課，達不到良好的學(xué)習(xí)效果。若過多地進行課堂練筆，必然會占用授課時段，又由于高等數(shù)學(xué)課程普遍存在課時縮減情況，因此教師在授課時應(yīng)在課前充分備課，精煉教學(xué)內(nèi)容，在整個知識框架中要提綱挈領(lǐng)地介紹數(shù)學(xué)思想方法，指導(dǎo)學(xué)生自主探索在解題過程中運用的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生學(xué)會融會貫通，進而使其能對題目舉一反三。這對于提高課堂效率，發(fā)揮學(xué)生的主體作用大有裨益。

如在講解完重要極限后[4]，一旦遇到求的題目時，學(xué)生往往把原題目湊成重要極限的形式來結(jié)題。這時教師不妨用類比的方法讓學(xué)生探討一下：當變量變化時，兩個極限式中函數(shù)的變化趨勢是否相同？有何不同？導(dǎo)致這種不同的原因是什么？在經(jīng)過觀察和分析后，究其原因?qū)W生不難發(fā)現(xiàn)變量的變化是導(dǎo)致函數(shù)變化不同的重要因素。此時教師再歸納性地概括出：變量變化不同使得函數(shù)的變化不同，就有可能使得極限不同。最后給出習(xí)題讓學(xué)生鞏固練習(xí)。這樣不僅使學(xué)生掌握了做極限題目的技巧，還訓(xùn)練了學(xué)生分析問題的能力，提高了學(xué)習(xí)效率。

三、數(shù)學(xué)方法論在“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中應(yīng)用的意義

傳統(tǒng)的“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)往往是按照定義—定理—推論—習(xí)題的邏輯順序展開，課堂上只講“是什么”，很少講“為什么”。重理論知識講解，輕化知識來源和實際生活背景，忽略思想方法訓(xùn)練的教學(xué)現(xiàn)象普遍存在。而對于數(shù)學(xué)問題多半亦是技能訓(xùn)練性的，通過題海戰(zhàn)術(shù)，欲使學(xué)生掌握題目類型和解題技巧。在課堂教學(xué)中，教師若能從數(shù)學(xué)方法論的高度揭示概念、定理、結(jié)論等的本質(zhì)，發(fā)掘知識點之間的聯(lián)系，那么便有利于學(xué)生形成完整、有效的知識框架結(jié)構(gòu)。

從表層到深層的學(xué)習(xí)是人類認知的一般規(guī)律。對數(shù)學(xué)而言表層的認知包括概念、定理、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，深層認知是指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。表層知識是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，深層的數(shù)學(xué)思想方法基于數(shù)學(xué)知識表層但又是高于數(shù)學(xué)知識表層的一種隱性數(shù)學(xué)知識，它是數(shù)學(xué)的精髓所在。教師在課堂教學(xué)中不斷滲透、突出運用這些思想方法，才能真正地做到把數(shù)學(xué)課講解透徹，使抽象的數(shù)學(xué)知識簡單明朗，便于學(xué)生理解與領(lǐng)悟，這樣才能有助于學(xué)生由表層認知中的概念、定理等的學(xué)習(xí)逐漸遷移到深層認知中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高上，才能使學(xué)生的表層認知實現(xiàn)“質(zhì)”的飛躍。

學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)方法論中的數(shù)學(xué)思想，并將之靈活運用到課程教學(xué)過程中對教師及學(xué)生二者皆是有益的。一方面，數(shù)學(xué)方法論啟示教師在教學(xué)中如果想全面準確把握運用數(shù)學(xué)思想方法，那么教師就要對授課提出新的要求，也必然能促進教學(xué)質(zhì)量的提升。另一面，數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生的實踐教學(xué)，為學(xué)生研究和解決問題提供了指導(dǎo)思想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。而教師對數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)、思維方式、研究方法的領(lǐng)悟也必然能使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使其受益終生。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論：第2版[M].南寧：廣西教育出版社， 2001：9.

[2]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社， 1983：1.

[3]陳凌.數(shù)學(xué)方法論對提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的指導(dǎo)作用 ——從幾個低效率教學(xué)實例引發(fā)的思考[J].黃岡師范 學(xué)院學(xué)報，2009，（6）.

[4]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：第六版[M].北京：高等教育 出版社，2008：47.