HPM視角下的“三角形的內角和”教學

廖飛 王進敬

摘要：文章運用復制式、順應式和重構式將數學史融入三角形內角和的教學，從提波特的旋轉法出發，讓學生經歷從繞三個頂點旋轉到繞一個頂點旋轉，再到繞一邊上的任意一點旋轉，最后到繞三角形所在平面上任一點旋轉的三角形內角和探究過程。

關鍵詞：HPM；三角形的內角和；教學設計；三維目標；反饋

“三角形的內角和”是滬教版《數學》七年級下冊的教學內容，之前學生已學習過平行線的性質、三角形相關概念等內容。三角形內角和定理是平面幾何學中最重要的三個定理之一。本節課的教學目標：通過旋轉法的實驗操作、歸納總結、說理論證，讓學生經歷三角形內角和的探究過程；體會直觀感知與理性思考之間的聯系和區別，感受數學思維的多樣性和靈活性，懂得直觀結論需要說理證實的意義；借助數學史，讓學生感受數學的悠久歷史和多元文化、感受三角形內角和定理背后的人文精神。教學重點及難點是掌握三角形內角和性質的發現與說理方法。

1 歷史材料的選擇與加工

1.1 提波特旋轉方法的歷史

古希臘七賢之一、著名哲學家泰勒斯（Thales，公元前6世紀）最早從拼圖實踐中發現了三角形內角和定理，但這種發現完全是經驗性的，泰勒斯并未給出嚴格的證明。之后，古希臘數學家畢達哥拉斯、歐幾里得、普羅克拉斯等相繼給出了基于平行線性質的不同的證明；法國數學家帕斯卡、克萊羅，德國數學家提波特等相繼給出不同的發現方案。

提波特（Thibaut，1775-1832）利用旋轉的方法發現了三角形內角和。如圖1所示，將BC所在直線XY繞點B沿逆時針方向旋轉∠B的度數，到AB所在的直線X'Y'；將X'Y'繞點A沿逆時針方向旋轉∠A的度數，到AC所在的直線X"Y"；最后，X"Y"繞點C沿逆時針方向旋轉∠C的度數，到直線BC所在直線，總共轉過180度。如果考慮順時針方向旋轉，即可證明三角形外角和定理。

19世紀西方平面幾何教材大多采用畢達哥拉斯或歐幾里得的方法來證明三角形內角和定理，但也有少數教材將畢氏和歐氏的方法推廣到一般情形：不在某一頂點處作某一邊的平行線，而在三角形內任一點處同時作三條邊的平行線，如圖2所示，可看作是將提波特的三點旋轉改成了一點旋轉。用這種方法易于證明三角形外角和定理，并可用于任意多邊形。

1.2 歷史材料的運用

以旋轉方法為主線，讓學生經歷從“繞三頂點旋轉”到“繞同一個頂點旋轉”，再到“繞某一邊上任一點旋轉”，最后到“繞三角形內任一點旋轉”的過程，逐一展現了歷史上畢達哥拉斯、歐幾里得、普羅克拉斯以及19世紀西方幾何教科書中的方法，以重構、復制和順應等方式融入數學史。

2 教學設計與實施

2.1 新課引入

教師演示幾何畫板，讓學生觀察三角形的形狀變化。問題1 隨著三角形形狀的變化，單個角的度數是否確定？內角和的度數是否改變？學生很容易地給出答案：單個角的度數不確定，內角和的度數是確定的，三角形的內角和等于180度。

教師拋出本節課的探究任務。問題2 根據已知△ABC，不添加其他條件，說明∠B+∠A+∠C=180？紫。你能解決這個問題嗎？學生們感到匪夷所思，認為只有添加條件才能解決問題。教師順理成章地引出德國數學家提波特的故事，通過幾何畫板演示了他的旋轉方法：將三角形某一邊所在直線分別繞三個頂點沿逆時針依次旋轉相應角度，驗證了“三角形內角和等于180度”。

2.2 用旋轉法探究三角形內角和

2.2.1繞同一個頂點旋轉

教師首先復習舊知：說明∠B+∠A+∠C=180？紫，在已經學過的知識中，有哪些與180？紫有關？學生一起敘述出平角、鄰補角和同旁內角。

教師引導學生運用提波特的旋轉思想，將△ABC的某一邊所在直線繞其上某一頂點按逆時針旋轉一次，將∠B+∠A+∠C轉化為平角或同旁內角。通過師生互相交流，解決了如下問題：提波特的方法是將三角形的邊所在直線繞著幾個頂點按逆時針旋轉呢？能否將某條邊所在直線，繞著三角形的一個頂點，按逆時針方向旋轉，就可以將∠B+∠A+∠C轉化為平角或同旁內角？在前面方法的啟發下，請你在任務單上利用操作圖①動手完成該操作過程，看看會有什么發現。

通過幾何畫板演示，三名學生分別選擇了AB，AC和BC所在直線進行了旋轉（圖3）：1.將AB所在的直線繞著點B逆時針旋轉∠A的度數，EF∥AC，∠ABE=∠A，∠CBF=∠C，那么∠B+∠A+∠C是一個平角；2.將AC所在直線繞著點A沿逆時針方向旋轉∠C的度數，PQ∥BC，∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，那么∠B+∠A+∠C是一個平角；3.將BC所在的直線繞著點C逆時針旋轉∠B的度數，MN∥AB，得到的結果一樣。

師生發現了直線繞一個頂點旋轉的所有方法，因其選擇邊的不同而分成三類，為此選擇其中一種方法利用圖形進行說理。師生一起敘述，由教師板書畢達哥拉斯方法的嚴謹說理過程：如圖4所示，過三角形ABC的頂點B作AC的平行線，利用兩對內錯角相等，即得∠ABC+∠A+∠C=∠ABC+∠ABD+∠CBE=180？紫。教師闡述了這個方法是古希臘數學家畢達哥拉斯提出來的，通過探究，激勵學生也可以達到他的思維水平，在幾何上和他站在同一起跑線上。

通過上述操作還找到了古希臘數學家歐幾里得的方法，后期數學家稱這種方法宛若從天而降，既神秘又讓人佩服。師生共同敘述，由教師在黑板上板書歐幾里得方法的說理過程。歐幾里得的方法：如圖5所示，過點B作CA的平行線BD，則∠ABD=∠A，∠DBE=∠C，故得∠ABC+∠A+∠C為一平角。

教師和學生通過上述的操作一起發現，只要將△ABC的邊繞著頂點按逆時針旋轉一次就可以將∠B+∠A+∠C轉化為平角或同旁內角。并且無論旋轉哪條邊，本質是相同的。

2.2.2繞某一邊上任一點旋轉

接下來，教師引導學生在任務單上嘗試操作，繼續探討BC所在的直線繞著線段BC上任意一點按逆時針方向依次旋轉∠B、∠A的度數，將∠B+∠A+∠C轉化為平角。教師結合幾何畫板給學生演示說理過程（圖6），指出：19世紀末的美國幾何教材上已經出現了該方法。可見，通過探究，站在巨人肩膀上的我們也可以獨立得出先哲們曾經用過的證明方法。

師生共同敘述，由教師在黑板上書寫添線過程。隨后，教師提出課后思考題：繞三角形的邊所在直線BC上任意一點按逆時針方向依次旋轉兩次，可以得到結論嗎？要求學生課后在練習本上完成判斷并進行說理。

2.2.3繞三角形內任一點旋轉

然后，教師提出新的問題：如果將直線BC繞著平面上任意一點按逆時針分別旋轉∠B、∠A和∠C的度數，也可以得出三角形內角和等于180度的結論。如果旋轉中心選在△ABC的外部，是否可行？教師利用幾何畫板進行演示，并指出：這種方法已為19世紀西方平面幾何教科書所采用（圖2）。

教師結合幾何畫板，介紹了三角形內角和定理的歷史，指出：旋轉的次數越多，對旋轉中心的要求越低，并強調了旋轉角度與旋轉方向的重要性，再次強調現階段的學習中，平行線是證明三角形內角和定理的重要工具。最后師生一起歸納了四種方法的共同特征：通過平行線對三角形的內角進行轉化，分別將∠B、∠A和∠C轉化成具有公共頂點的三個角。

2.3 拓展與總結

教師給出問題：已知AD∥BE，說明∠DAC + ∠EBC =∠C。反之是否成立。首先喚起學生對圖7的記憶，問：“如果連接AB，已知AD∥BE，你能說明∠ABC +∠BAC + ∠ACB = 180？紫嗎？”教師引導學生通過構造三角形，拓展了平行線性質的應用，得到了古希臘評注家普羅克拉斯的證明方法（圖8）：設BD和CE是BC的兩條垂線，讓BD和CE分別繞點B和點C旋轉，使得端點D和點E重合于點A，構成△ABC。原來的兩個直角點B和點C所減少的部分相加恰為頂角∠A的大小，即∠ABD +∠ACE =∠A。因此，∠A+∠ABC+∠BCA為兩直角之和。

教師以一句話鼓勵學生“太陽底下沒有新鮮事”，指出三角形內角和定理的證明也是如此，古今中外的數學家們給出了豐富多彩的證明方法，希望有興趣的同學課后進一步查閱資料、探究新的方法。拓展環節呼應提波特的旋轉方法，激發學生感恩意識，鍛煉學生語言表達能力，讓他們感受、理解和欣賞數學思想之美，體會數學背后火熱的思考。

3 學生反饋

課后，對全班35名學生進行了隨堂問卷調查。關于“我對老師教學中關于三角形內角和等于180度的啟發、引導和發現過程理解得很好”，100%的學生都選擇了“同意”或“非常同意”。關于“我愿意了解與教學內容有關的數學歷史知識，特別是數學家對問題的思考過程”，97%的同學都選擇了“同意”或“非常同意”。關于“這堂課給我提供了一些表達自己想法和展示自己能力的機會”，92%的學生選擇了“同意”或“非常同意”。

最后一道開放問題“你還有其他方法嗎？有多少寫多少”。我們對學生的答案進行了統計分析，1名同學寫出4種方法，4名同學寫出2種方法，19名同學寫出1種方法，11名同學沒有想出其他方法。學生的答案分為三角形的內角和性質發現和說理兩類方法：（1）直觀的發現方法——折紙、撕紙、旋轉、測量、三角板，圖9～11分別是三名學生各自給出的解答；（2）嚴謹的說理方法——添加輔助線，利用平行線的性質構造新圖形，找到聯系已知與未知的橋梁，圖12是一名學生給出的解答。

從學生們課堂學習表現和課后問卷反饋可以歸納出學生對這節課的印象有5個方面：新的數學知識；悠久的數學歷史；智慧的數學家；巧妙的實驗操作；嚴謹的說理方法。

4 結語

本節課以旋轉方法為主線，通過旋轉中心的改變展開教學，整體上說是對歷史的重構。教學過程中，同時又復制了畢達哥拉斯、歐幾里得和普羅克拉斯的說理方法。基于課堂觀察和學生反饋的結果，數學史知識給學生留下了深刻印象，學生看到“旋轉”之美，領略方法之妙，拓寬數學思維，感受多元文化。培養學生的幾何直觀與想象、推理能力等數學素養。由于數學史的融入，經歷旋轉法實驗發現三角形的內角和性質，添加輔助線進行說理，了解幾何學的價值，拉近學生與古代數學家之間的“心理距離”，體會數學的悠久歷史與人類文明的密切關系，使數學課堂充滿親和力，培養學生對數學的好奇心和求知欲，提高學生合作交流的能力，創造學生的學習動機，激發學生對數學的興趣。對教師的訪談和對學生的問卷調查都表明，本節課完成了“知識與技能”“過程與方法”“情感、態度與價值觀”的三維教學目標，達到了理想的效果，取得了較大的成功，受到了一致的認可。

參考文獻：

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