逆向思考巧解題

劉平

眾所周知，由已知條件到結論的定向思維是常見的思考方法。但有些問題按照這種思考方法去尋找解題途徑卻往往比較困難，甚至無從下手。遇到這種情況就應從辯證思維的觀點出發，打破思維定勢，從相反的方向去思考問題，這就是所謂的逆向思維。平常人們所說的：“反過來想一想”，便是逆向思維的運用。從心理學上講，學生的思維從一個方向轉向其相反方向有一定的困難，然而，學生能夠迅速而自由地從正向思維轉到逆向思維，正是思維靈活性的一種具體表現。此外，逆向思維也是創造性思維方法之一。因此，在數學教學中有意識地加強逆向思維的訓練，是非常必要的。

一、逆用定義解題

互逆關系，是數學科基本關系之一。例如，原函數與反函數的關系、對數與指數的關系、乘除運算關系等就是互逆關系。在數學教學中，依托數學上的互逆關系，運用逆向思路研究數學問題，是一種重要而常用的方法。在具體解題中，對概念而言，表現為定義的逆用。

例1：設f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=2x2-x，則= f（1）= 。

本題主要考查函數的奇偶性和函數的解析式。

解析：∵f（-1）=3∴f（1）=-f（-1）=

-3。

評析：在解題過程中，逆用了奇函數的定義，省去了求函數解析式的煩惱，簡潔明了，解法巧妙。正如恩格斯所指出的：“從一個形式到另一個相反的形式的轉變……它是數學科學的最有力的杠桿之一。”

二、逆用、變用公式解題

我們知道，數學公式有：從左到右用、從右到左用、變形后再用這三種功能。學生只有掌握公式的逆用和變形用，才能真正活用公式，才能加深對公式的理解和認識。教學數學公式時應加強訓練。

例2：sin20°cos10°-cos160°sin10°=

。

本小題考查了三角函數的誘導公式和兩角和的正弦公式。

評析：以上解法可謂十分巧妙，若不用反例來進行推斷，將是十分困難的。針對選項，靈活選取反例來判斷真假，是解選擇題的一個重要方法，利用它，不但可提高解題速度，還可通過口算解選擇題。

反例不但用于解題，數學教學中常常用來深化概念、糾正錯解、強調條件等。

現代數學教學理論認為：數學教學實質上是數學思維活動的教學。因此，教學中抓好思維訓練，就抓住了教學過程的關鍵和核心。從上面例子可看出，逆向思維是數學中一種重要的思維方法，它不僅可探測某些問題的解題方向，找到解題途徑，還可加深對概念、原理的理解，發現新的規律。也就是說，加強逆向思維解題的訓練，不但能開拓學生的解題思路，提高分析問題和解決問題的能力，而且從思維品質角度來說，還可提高思維的靈活性和批判性，培養逆向思維能力和發明創造能力。

（作者單位：湖南省華容縣懷鄉中學）