分類討論在初中數學學習中的應用

徐文紅

摘 要：分類思想是初中數學中一種非常重要而且常見的思想。在近幾年的中考試題中，常常利用分類討論來加大試卷的區分度。因此，從分類討論的不同類型和考點題型入手，闡述在初中數學解題中運用分類討論思想的方法。

關鍵詞：初中數學；分類討論；新課程

分類討論思想是初中數學中一種非常重要而且常見的思想。在每年的中考試題中，常常利用分類討論來加大試卷的區分度。而且分類討論思想與新課程改革中提出的培養學生的創新精神與探索精神是一致的。因此使學生形成分類討論思想，并掌握一定的分類技巧以及常見題型的分類方法，形成一定的分類體系非常必要。

在數學中，把問題劃分為若干情況，然后逐一求解的過程叫作分類討論，也稱分情況討論。解答分類討論問題的步驟是：首先，確定討論對象以及所討論的對象的全體范圍；其次，確定分類標準，正確進行合理分類，再對所分情況進行求解，獲取階段性結果；最后，進行歸納小結，綜合得出結論。

現在，把初中數學教學中分類討論的類型歸納如下：

一、由問題中分類定義的概念和性質而引起的分類討論

例1.若a，b為非零實數，代數式++的所有可能的值有（ ）

A.2個 B.3個 C.4個 D.無數個

解析：根據題意，按a，b的符號，分4種情況討論；每種情況下，利用絕對值的性質去掉絕對值，求出代數式的值；然后綜合幾個結果，得出結論。

解：根據題意，按a，b的符號，分4種情況討論：

①a>0，b>0時，原式++=1+1+1=3；②a>0，b<0時，原式=++=1-1-1=-1；③a<0，b>0時，原式=++=-1+1-1=-1；④a<0，b<0時，原式=++=-1-1+1=-1；綜上所述，共兩種結果，故選A。

二、由問題中參數的不同取值引起的分類討論

例2.已知關于x的方程（k2-1）x2-2（k+1）x+1=0有實數根，求k的取值范圍。

解析：因為k出現了二次項系數，所以當k2-1=0時，-2（k+1）≠0此方程為一元一次方程，一定有實數根。當k2-1≠0時，此方程是一元二次方程，方程有實數根，根據根的判別式Δ≥0求k的取值范圍，因此分兩種情況進行討論。

解：（1）k2-1=0，-2（k+1）≠0即k=1時，為一元一次方程，一定有實數根；

（2）k2-1≠0，即k≠±1時，此方程為一元二次方程；Δ=[-2（k+1）]2-4（k2-1）≥0，解得k≥-1。綜上可得k>-1。

三、由于問題中不確定的圖形位置或形狀，不確定對應關系的全等或相似引起的分類討論

例3.在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，則這個三角形的外接圓直徑是（ ）

A.5 B.10 C.5或4 D.10或8

解析：這個三角形的外接圓直徑是斜邊長有兩種情況：斜邊是BC，或斜邊是AC。

解：根據題意得：（1）斜邊是BC，即外接圓的直徑是8；（2）斜邊是AC，即外接圓的直徑是=10。綜上所述，三角形的外接圓直徑為8和10。故選D。

總之，初中數學中的分類討論是一種重要的數學思想，有利于增強學生思維的條理性、縝密性和科學性。教師在教學中結合教材，創設情境，強化需要區分情況進行討論的問題，啟發學生積極思維，從而培養學生自覺應用分類討論的意識。通過在教學中著重滲透數學思想方法的學習，相信學生在認知層次上會得到極大地提高，從而收到事半功倍的效果。

編輯 李建軍