簡解2016年高考山東卷理科壓軸題

馬艷

題目（2016年高考山東卷理科第21題）如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是32，拋物線E：x2=2y的焦點F是C的一個頂點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線l與C交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.

（ⅰ）求證：點M在定直線上；

（ⅱ）直線l與y軸交于點G，記△PFG的面積為S1，△PDM的面積為S2，求S1S2的最大值及取得最大值時點P的坐標.

解（Ⅰ）橢圓C的方程是x2+4y2=1（過程略）.

（Ⅱ）（ⅰ）可設P（2t，2t2）（t>0），可求得切線l的方程是y=2tx-2t2，再得G（0，-2t2）.

設A（x1，y1），B（x2，y2），可得

x21+4y21=1，x22+4y22=1，

把它們相減后分解因式（即點差法），可得

kl=kAB=y2-y1x2-x1=x2+x1-4（y2+y1）=xD-4yD=1-4kOD，

又kl=2t，所以kOD=kOM=-18t，得直線OM的方程是y=-18tx.

又xM=xP=2t，所以yM=-14，得點M在定直線y=-14上.

（ⅱ）由P（2t，2t2）（t>0），G（0，-2t2），F0，12，可得

S1=S△PFG=1212+2t2·2t.

如圖2所示，設點D到直線OG，PM的距離分別是d0，d2，則點O到直線PM的距離是d0+d2.

由△ODG∽△MDP，可得

OGPM=d0d2，PM+OGPM=d0+d2d2，d2=PMPM+OG（d0+d2），

所以

S2=S△PDM=12PMd2=PM2（d0+d2）2（PM+OG）.

可得PM=2t2+14，OG=2t2，d0+d2=2t，所以

S2=2t+142·2t22t2+14+2t2.

再得

S1S2=（16t2+1）（8t2+2）（8t2+1）2≤1（8t2+1）2（16t2+1）+（8t2+2）22=94.

進而可得：當且僅當16t2+1=8t2+2（t>0）即t=122，也即點P的坐標是22，14時，S1S2max=94.一般地，拋物線E：x2=2py上一動點P的切線，與橢圓C：x2[]a2[SX）]+y2[]b2[SX）]=1（a>b>0）交于不同的兩點A、B，線段中點為D，直線OD與過點P且垂直于x軸的直線交于點M，則點M在定直線y=-pb2[]a2[SX）]上，當且僅當a2=4b2時，S1S2的最大值為定值94.