結合“洛必達法則”巧解2016年全國新課標1卷壓軸題

李曉波

1前言

在全國高考試題中，與函數(shù)導數(shù)相關的難題，因為綜合性強常常作為壓軸題出現(xiàn)，求解此類問題時，一般需要確定函數(shù)的值域和參數(shù)的范圍.今年也不例外，其中全國新課標1卷理科壓軸題和文科壓軸題均需要確定參數(shù)的范圍.此題的傳統(tǒng)做法是構建函數(shù)然后運用分類討論，求導，分析單調(diào)性，過程復雜繁瑣，而且分類的情況比較多，學生討論的過程比較復雜，容易丟解或者漏解.筆者采用參變分離后結合“洛必達法則”解題，簡化解題過程，幫助學生快速解題.

2“洛必達法則”簡介

法則1若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→af（x）=0及l(fā)imx→ag（x）=0；（2）在點a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=l，那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=l.

法則2若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→∞f（x）=0及l(fā)imx→∞g（x）=0；

（2）A>0，f（x）和g（x）在（-∞，A）與（A，+∞）上可導，且g′（x）≠0；

（3）limx→∞f′（x）g′（x）=l，那么limx→∞f（x）g（x）=limx→∞f′（x）g′（x）=l.

法則3若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→af（x）=∞及l(fā)imx→ag（x）=∞；

（2）在點a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=l，

那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=l.

3試題與解法分析

（2016年全國1卷理21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.（1）求a的取值范圍；

我們只研究第一問.

解法一由已知得：f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

①若a=0，那么f（x）=0（x-2）ex=0x=2，f（x）只有唯一的零點x=2，不合題意；

②若a>0，那么ex+2a>ex>0，所以當x>1時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；當x<1時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減.故f（x）在（1，+∞）上至多一個零點，在（-∞，1）上至多一個零點.由于f（2）=a>0，f（1）=-e<0，則f（2）·f（1）<0，根據(jù)零點存在性定理，f（x）在（1，2）上有且僅有一個零點.而當x<1時，exe（x-2）+a（x-1）2=a（x-1）2+e（x-1）-e.

則f（x）=0的兩根x1=-e-e2+4ae2a+1，x2=-e+e2+4ae2a+1，x10，故當xx2時，a（x-1）2+e（x-1）-e>0，因此，當x<1且x0.

又f（1）=-e<0，根據(jù)零點存在性定理，f（x）在（-∞，1）上有且只有一個零點.此時，f（x）在R上有且只有兩個零點，滿足題意.

③若-e20，f（x）單調(diào)遞增；當ln（-2a）eln（-2a）+2a=0，即f′（x）=（x-1）（ex+2a）<0，f（x）單調(diào)遞減；當x>1時，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.而極大值f[ln（-2a）]=-2a[ln（-2a）-2]+a[ln（-2a）-1]2=a{[ln（-2a）-2]2+1}<0

故當x≤1時，f（x）在x=ln（-2a）處取到最大值f[ln（-2a）]，那么f（x）≤f[ln（-2a）]<0恒成立，即f（x）=0無解.而當x>1時，f（x）單調(diào)遞增，至多一個零點，此時f（x）在R上至多一個零點，不合題意.

④若a=-e2，那么ln（-2a）=1，當x<1=ln（-2a）時，x-1<0，ex+2a0，f（x）單調(diào)遞增；當x>1=ln（-2a）時，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，又f（x）在x=1處有意義，故f（x）在R上單調(diào)遞增，此時至多一個零點，不合題意.

⑤若a<-e2，則ln（-2a）>1，當x<1時，x-1<0，ex+2a0，f（x）單調(diào)遞增，當10，ex+2aln（-2a）時，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，x-1>ln（-2a）-1>0，，即f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，故當x≤ln（-2a）時，f（x）在x=1處取到最大值f（1）=-e，那么f（x）≤-e<0恒成立，即f（x）=0無解，當x>ln（-2a）時，f（x）單調(diào)遞增，至多一個零點.此時f（x）在R上至多一個零點，不合題意.

綜上所述，當且僅當a>0時符合題意，即a的取值范圍為（0，+∞）.

解法二（利用洛必達法則）：顯然x=1不是函數(shù)f（x）的零點.當x≠1時，方程f（x）=0等價于-a=x-2（x-1）2ex，設g（x）=x-2（x-1）2ex，則g′（x）=x2-4x+5（x-1）3ex，顯然x2-4x+5>0，所以g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.利用洛必達法則，

limx→-∞g（x）=limx→-∞x-2（x-1）2ex=limx→-∞（x-2）′[（x-1）2e-x]′=limx→-∞1e-x（-x2+4x-3）=0.

而limx→1-g（x）=limx→1-x-2（x-1）2ex=-∞，所以g（x）在（-∞，1）上的取值范圍是（-∞，0），同理g（x）在（1，+∞）上的取值范圍是（-∞，+∞）.g（x）圖象如右圖.

因此，當-a<0即a>0時，函數(shù)f（x）有兩個零點，所以a的取值范圍為（0，+∞）.

評注解法一分類的情況比較多，討論的過程比較復雜，容易丟解或者漏解，以致于花費大量時間還容易解錯.解法二在參數(shù)與變量分離后，轉化為求函數(shù)的最值（值域），此時，利用“洛必達法則”可輕松處理.

4結束語

高考是選拔考試，數(shù)學的區(qū)分度高，有利于高校選拔具有學習潛能的人才.從近年來全國各地高考試題來看，以高等數(shù)學為背景的“高觀點”中學數(shù)學問題“頻頻登場”，此類問題也可用初等方法求解，但是要么過程繁瑣，要么技巧性高，學生大都覺的高不可攀，望題興嘆，但是如果能運用“高觀點”居高臨下地分析和處理此類問題，往往簡單易行.

在初等數(shù)學教學中，向?qū)W生滲透極限等高等數(shù)學思想，對以后學好高等數(shù)學具有很大的實際意義.而在極限的理論中，“洛必達法則”發(fā)揮著重要的作用.

參考文獻

[1]劉玉璉.數(shù)學分析講義[M].高等教育出版社，2003.

[2]學而思.2016年高考新課標I卷理數(shù)試題解析[DB/OL].http：//gaokao.zxxk.com/AttachDetail.aspx？InfoID=5359357