追求數學課堂真善美的境界

【摘 要】美麗數學課堂應以促進學生核心素養的發展為基點，應體現數學的文化價值。課程形態的數學文化只有走進中小學課堂，滲入以學生為主體、教師為主導、問題為引領，學生主動積極參與的實際數學教學之中，成為教育形態的數學文化，才能真正發揮其功能與效應。以“極坐標系”的教學為例，展示引導學生領會數學的美學價值的過程，使學生明白數學不僅內容美，而且形式美；不僅思想美，而且方法美、技巧美。

【關鍵詞】美麗課堂；探究活動；數學文化；數學美

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）46-0016-03

【作者簡介】劉飚，江蘇省張家港市暨陽高級中學（江蘇張家港，215600）教師，高級教師，蘇州市學科帶頭人。

一、教學設計理念

數學課應以促進學生核心素養的發展為基點。教學中，筆者采用“自主、合作、探究”的教學方式，以學生為主體、教師為主導、問題為引領，力圖使學生主動積極參與到“極坐標系”的建立過程中。在教學過程中注重激發學生的數學學習熱情，培養數學抽象概括能力、推理能力，促進數學思維發展，養成程序化思考問題的習慣。通過豐富的實例引進“極坐標系”，讓學生感受坐標系的作用，感受曲線的美和數學的魅力。

坐標系是解析幾何的基礎。建立了坐標系，我們就可以把幾何圖形用代數式表示出來，為用代數方法解決幾何問題提供了基礎。本節課是蘇教版《高中數學》（選修4-4）中的內容，通過本節課的學習，學生了解在不同的坐標系中相同的幾何圖形有不同的表示形式，它為我們研究一些復雜的曲線（螺線、玫瑰線等）提供了工具。

二、教學片段

1.問題情境。

師：在我們的生活中到處都有一些優美的幾何圖形與曲線。如，植物葉子形狀與嫩芽藤尖，特別是嫩芽藤尖與我們學習過的一些曲線不同，我們稱它為“螺線”。

一動點沿一直線作等速移動，它的軌跡是什么？

生1：動點的軌跡是直線。

師：直線上一點繞另一點O作等角速度旋轉時動點的軌跡是什么？

生2：動點的軌跡是圓。

師：一動點沿一直線作等速移動的同時，該直線又繞線上一點O作等角速度旋轉時，動點的軌跡是什么？

生3：動點的軌跡是曲線。

（教學意圖：讓學生體會到生活中到處有數學，數學就在我們的身邊，數學蘊藏在生活中的每個角落。數學不僅是冷冰冰的數字、符號、法則、公式，數學還與歷史文化相勾連，讓我們看到數學的美。研究曲線從直線到圓，再到兩個運動的疊加，由簡單到復雜，從特殊到一般，逐步激發學生的學習興趣。）

2.學生活動。

師：大家想一想，以前我們是如何研究曲線的？

生4：建立坐標系后找到軌跡方程，可以通過方程研究曲線的性質。

師：很好！下面我們看一個具體的阿基米德螺線問題，動點沿一直線以2cm/s作等速移動的同時，該直線又繞線上一點O以1rad/s作等角速度旋轉，動點的軌跡方程是什么？

生5：首先，建立直角坐標系。

師：很好！下面請同學們分組建立直角坐標系求出具體的阿基米德螺線問題中動點的軌跡方程。

（教學意圖：引導學生了解直角坐標系的建立過程，理解建立直角坐標系的方法，為極坐標系建立做好準備。）

師：有沒有哪組同學能在直角坐標系中求出動點的軌跡方程？

（學生感到有困難）

師：在小組討論中我們發現直角坐標系里很難求出軌跡方程。通過研究發現坐標原點在O點時，t時刻動點到原點O的距離為多少？距離記作ρ。

生6：ρ=2t。

師：直線又繞原點O旋轉的角度為多少？角度記作θ。

生6：θ=t。

師：曲線上任意一點距離與角度的關系式是什么？

生6：ρ=2θ。

（教學意圖：設計這樣一個特殊的問題情境，讓學生體會用直角坐標系很難求出軌跡方程，從而思考有沒有其他的解決方案，引出曲線上任意一點還可用距離與方向表示。）

師：在生活中有這樣用一點的位置來表示的實例嗎？比如說，有人在校門口問你人民醫院怎么走？

生7：門口向西400米。

師：向西是角度，400米是距離。

師：大家想一想，在某些軍事題材的影視劇中狙擊手與觀察手是如何確定目標位置的？

生8：用幾點鐘方向加距離來表示位置。

（教學意圖：通過豐富的實例讓學生體會曲線上任意一點位置可用距離與方向表示，甚至有時候用距離與方向表示更簡潔，讓學生體會建立極坐標系的必要。）

3.概念建構。

師：類似于直角坐標系，我們用距離與方向也可以建立一個坐標系，稱為極坐標系。大家思考一下，如何建立極坐標系呢？

生9：類比直角坐標系的建立，要表示距離就必須在平面內取一個定點O。

師：定點記作O，叫作極點。

師：方向怎么表示呢？

生9：方向可以用角度表示，要有角度必須有初始位置，引一條射線。

師：射線記作Ox，叫作極軸。這樣極坐標系建好了嗎？

生10：再選定一個長度單位和角度單位以及它的正方向（通常取逆時針方向）。這樣就建立了一個極坐標系。

師：那極坐標系內一點的極坐標如何規定呢？

生11：對于平面上任意一點M，用 ρ表示線段OM的長度，用θ表示從Ox到OM的角度，有序數對（ρ，θ）就叫作點M的極坐標。

師：ρ叫作點M的極徑，θ叫作點M的極角。

（教學意圖：概念教學的核心是“概括”，要將凝結在數學概念中的數學家的思維活動打開。教師通過恰當的教學設計把概念中隱藏的自然性生態還原出來，引導學生分析各事例的屬性，抽象概括其共同的本質屬性，以及歸納得出數學概念。）

師：那極點坐標如何表示呢？大家可以想一想，在數學學習中有沒有遇到過類似的問題？是如何解決的？

生12：零向量。極點坐標（0，θ），θ是任意角。

師：如果極徑為負值，例如H（-2，■），則H（-2，■）的位置在哪里呢？

生12：向量前面加負號表示相反方向。這里也可以作類似處理。

師：如果OM的長度為2，那么極角θ=■的點有沒有其他表示方法？

生眾：（2，2kπ+■），（k∈Z）或（-2，2kπ+π+■），（k∈Z）。

師：這些極角有何關系？

生13：這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說，它們是終邊相同的角。

師：在極坐標系下點與它的極坐標的對應情況是怎樣的？為什么？

生14：給定（ρ，θ），就可以在極坐標平面內確定唯一的一點M。但是，給定平面上一點M，卻有無數個極坐標與之對應。這主要是因為極角有無數個。

師：一般地，若（ρ，θ）是某點的極坐標，那么有沒有其他的表示方法？

生15：一般地，若（ρ，θ）是某點的極坐標，則（ρ，θ+2kπ）或（-ρ，θ+π+2kπ）都可以作為它的極坐標。

師：如何規定才可以使平面內的點和它的極坐標一一對應呢？

生16：如果限定ρ>0，0≤θ<2π或-π<θ≤π，那么除極點外，平面內的點和極坐標就可以一一對應了。

（教學意圖：通過設問，與以前學過的相關知識進行聯想、類比來解決問題，逐步完善極坐標的概念，從而加深學生對概念的理解。）

4.課后閱讀。

相關數學史：（1）貝努利于1691年在《教師學報》上最先發表了有關極坐標系的理論；（2）關于極坐標系的建立，牛頓完成于1671年，于1736年發表論著，把極坐標看成是確定平面上點的位置的方法，并與其他坐標進行互相轉化；（3）介紹在極坐標系下的一些曲線圖形，如螺線、心形線、玫瑰線等。

（教學意圖：在數學課堂上傳授的知識是具有開放性的。除了強調學習書本里的知識以外，還應重視生活知識和社會知識，要求在擴展學生書本知識的基礎上提高數學的應用技能，體會數學的文化價值。）

三、教學感悟

1.體現數學的文化價值。

《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱“標準”）強調：“數學是人類文化的重要組成部分。數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀。”標準還要求，“通過在高中階段數學文化的學習，學生將初步了解數學科學與人類社會發展之間的相互作用，體會數學的科學價值、應用價值、人文價值，開闊視野，尋求數學進步的歷史軌跡，激發對于數學創新原動力的認識，受到優秀文化的熏陶，領會數學的美學價值，從而提高自身的文化素養和創新意識”。但是，課程形態的數學文化只有走進中小學課堂，滲入實際數學教學之中，成為教育形態的數學文化，才能真正發揮其功能與效應。

那么，如何才能更有效地體現數學的文化魅力呢？筆者認為，對于學生數學思維品質與思考能力的培養，以及由于思考而帶來的智力愉悅，恰恰體現了更為本質的數學文化的魅力，因為數學最內在的文化感受應該是數學本身，即數學思維、數學思考的靈動。如果數學課堂使得學生真正感受到了思維的快樂，并且思考的方式方法與思維的能力得到提升，那么數學文化的張力也就得到了真正的實現。

2.在教學行為層面上開展探究活動。

標準指出：“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造’過程。”在上述教學中，筆者引導學生經歷數學知識的發生與發展過程，體會知識的結構化，從而構建學生自己的數學知識體系。例如，讓學生通過回憶直角坐標系的相關知識來理解極坐標系的建立過程，進而探索在極坐標系內的點的極坐標的規定方法。這既能鞏固直角坐標系這一重要的幾何知識，同時也能讓學生體會建立極坐標系的必要性。進一步地，教師還注重培養學生的“應用數學意識”，使學生充分了解數學在實際生活中的廣泛應用，從而提高學生對數學學習的興趣，形成在生活和工作中應用數學的良好習慣。例如，教師讓學生扮演狙擊手和觀察手，以游戲的方式引導學生發現極坐標系在平面定位中的作用。這充分體現了新課程標準對數學學習的指向與要求。

3.感受數學美的簡潔性和奇異性。

數學美具有科學美的一切特性。數學不僅內容美，而且形式美；不僅思想美，而且方法美、技巧美，簡潔、勻稱、奇異到處可見。要領悟數學美，就要善于捕捉數學美的因素，領悟數學美的內涵。在上述教學過程中，筆者著重從數學美的簡潔性和奇異性入手，發展學生的數學思維。例如，通過在直角坐標系中研究阿基米德螺線問題中動點的軌跡方程，引導學生發現極坐標系在描述某些曲線圖形時的簡潔和實用；同時，在觀察極坐標系下點與極坐標的對應情況時，教師引導學生發現其與在直角坐標系中的情況完全不一樣，幫助學生理解這種變化產生的原因，由此培養學生在數學活動中的創造性。

數學課堂的眼界，從純粹的數與形以及狹義的概念與定理提升到追求數學的真善美，數學便不再是枯燥抽象的，而是很有用。我們更應該通過聚焦數學學科的核心素養的教學，實現“追求美麗課堂”這一理想境界。