數學文化：貫穿高職微積分有效教學的必由之路

成偉君

摘 要數學文化是具有內涵和外延的系統概念，由于數學文化是高職微積分有效教學的重要前提，同時也是促進教師有效教學和學生高效學習的源泉，因此數學文化在理論和教學實踐中都是貫穿高職微積分有效教學的必由之路。

【關鍵詞】數學文化；高職微積分；有效教學

數學文化是國內外研究的熱點課題，也是目前教育界積極探索實踐的問題。它的內涵在于數學作為文化的一種類型，具有普遍性和特殊性，其特殊性也是作為數學所獨有的，如數學思想的高度抽象性、數學精神的深度概括性、數學語言的完美簡潔性、數學方法的獨特靈活性。它的外延在于數學作為文化同時與經濟、科技、人文、歷史、美學等各個領域緊密聯系，而這種聯系都促進人類文明的進步與發展。

1 數學文化是貫穿高職微積分有效教學的必由之路

1.1 數學文化是高職微積分有效教學的重要前提

有效教學的理論源于20世紀上半葉西方教學科學化運動。通常有效教學指“教師遵循教學活動的客觀規律，以盡可能少的時間、精力和物力投入，取得盡可能多的教學效果，從而實現特定的教學目標，滿足社會和個人的教育價值需要。”同時筆者認為所謂有效教學是教師有效的教學與學生高效的學習的完美結合，即教師的“教”與學生的“學”都達到事半功倍的效果。數學文化是微積分進行有效教學的重要前提條件，因為數學文化滲透高職微積分的各個方面。

數學文化貫穿于微積分發展歷史中。雖然微積分做為正式學科產生于近代，但是微積分的思想卻始于古代。古希臘阿基米德的《圓的測量》與春秋莊子“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”等都體現了微積分的思想。17世紀偉大科學家牛頓和萊布尼茲創設了微積分的系統理論，并廣泛的應用于天文學、物理學等領域，但其中的過程細節存在邏輯矛盾，由此產生了第二次數學危機。19世紀柯西等數學家從理論上解決“無窮小量”問題，從而結束了長達兩個世紀的第二次數學危機。目前微積分的應用則更加廣泛。

數學文化貫穿于微積分的思想方法中。微積分的學習不僅是知識的學習，也不僅是培養邏輯思維能力、綜合計算能力、創新發展能力，更要從思想方法的高度來正確把握微積分，理解微積分思想中蘊涵的辯證法思想、美學思想、科學哲學思想、人類思維發展的艱辛曲折過程。微積分思想的理解不是依靠做題目解答出來的，而是必須依托數學文化的詮釋和解讀。

1.2 數學文化是促進教師對微積分有效教學的助推劑

數學文化幫助教師更有效的使學生理解微積分。在具體的高職微積分教學實踐中，高職學生對極限、微積分的概念和符號（如“lim”、“df（x）”、“∫”）若僅從教科書來解讀，往往不理解，甚至死記硬背都記不下。而如果在教學中從數學文化的角度來解讀，則可以極大幫助學生理解微積分。如極限可以從微積分發展歷史來加以介紹；積分的概念可以適當解讀為最早為解決不規則圖形的面積（如同學們熟知的圓面積公式來源）進而解決體積、質量等問題；“∫”則是“Sum”首字母的拉長體現了數學符號的簡潔概括美。

數學文化幫助教師更有效的組織教學。通過數學文化貫穿高職微積分有效教學中，可以使教師在教學手段、教學形式、教學方法等方面都有新的突破，從而更有效的組織教學。在教學手段方面，可以在傳統教學中適當穿插介紹微積分發展史的多媒體資料、通過多媒體動畫效果展示極限的“無限接近”過程、適當運用Matlab軟件計算微積分等。在教學形式方面，在班級授課的基礎上可以圍繞極限、微積分在日常生活中的應用進行分組討論，然后將每組的結果予全班同學分享，從而提高教學的趣味性。在教學方法方面，高職微積分教學如果僅僅使用講授法教學，其結果必然不佳。由于數學文化的博大精深，更由于數學文化與微積分的緊密聯系，數學文化給予高職微積分教學提供了多種教學方法的選擇，如討論法可以應用在求極限的幾種方法，探究法可以應用在從數學文化的角度探索出積分的概念。

1.3 數學文化是促進高職學生對微積分高效學習的發動機

數學文化激發學生學習高職微積分的興趣。學生學習興趣對于高效學習的實現起著重要的作用。筆者經過調查發現，大部分高職學生并非初始就對微積分缺乏興趣，而是認為微積分課程缺少生動有趣。數學文化貫穿高職微積分有效教學中可以使原本感覺乏味的課程變得生動有趣，因為學生從微積分中的數學史感受人類發展道路的曲折，學生從微積分中的數學美學會欣賞自然的和諧美，學生從微積分中的數學思想領悟思想方法的重要性，學生從微積分中的人文價值理解學習數學的目標。

數學文化激發學生學習高職微積分的學習動機。學習動機是引起和維持個體的學習行為以滿足學習需要的心理傾向。在目前激烈社會競爭情況下，高職學生有著強烈的專業發展動機，渴望升學成為他們最直接的目的。因此，高效學習微積分、高效學好微積分成為大部分高職學生的迫切需要。若僅僅通過題目練習，則往往在一知半解的情況下并不能達到良好的效果。高職微積分中蘊涵的數學文化，它的豐富的內涵和外延往往能夠滿足學生學好微積分的需要。因為它能夠從辯證法的高度揭示微積分概念的本質，它能夠從歷史美學的方向把握微積分課程的總體脈絡，它能夠從思想方法的角度啟發解決微積分問題的思路。

2 數學文化貫穿高職微積分有效教學的實踐策略

2.1 數學史貫穿高職微積分有效教學

數學史是數學理論的建構發展史，同時也是人類理性思維的探索歷程史。教師通過數學史的解讀可以讓學生理解微積分是不斷進步的生動有趣的課程。首先，通過數學史創設的情境讓學生感受數學的魅力。教師可以介紹微積分概念的起源和發展、數學家的趣聞逸事、古今數學思想方法的比較等。具體如：函數教學時介紹康托、集合論引起的悖論以及第三次數學危機，極限連續教學時介紹柯西、古代極限思想，導數微分教學時介紹符號的演變、第二次數學危機等。其次，數學歷史故事、事件、過程培養學生創新意識和探索精神。如可以介紹瑞士數學家歐拉，在其雙目完全失明的情況下，他憑借驚人的毅力和記憶對微積分研究達17年之久，期間還口述了幾本書和幾百篇論文，使微積分有了里程碑式的發展。

2.2 數學美貫穿高職微積分有效教學

數學美具有美的特性，教師通過數學美的詮釋使學生學會感受美、欣賞美。因為數學美更體現在具有簡潔、對稱、和諧的特性。首先，微積分符號體現數學美的簡潔性。微積分符號的簡潔性增進思維敏捷度，將相對復雜的含義簡單的表示出來，促進微積分的發展。如：函數的導數只需使用f（x）即可，但若沿用極限來表示，則顯得復雜并難以理解。其次，微積分解題應用體現數學美的對稱體性。微積分中數形對稱頗為常見，這也常常能給理解記憶和解題帶來幫助。如：導數的積的公式（uv）=uv+uv，分部積分公式∫udv = uv-∫vdu可變形為：∫udv +∫vdu=uv+C。再次，微積分公式體現數學美的和諧性。和諧性貫穿于微積分之中。微積分基本定理中微分的局部性質與積分的整體性質是統一的。如：由于微分與積分互為逆運算，從基本導數公式可以直接推出基本積分公式；又如：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理之間密切聯系體現了微分中值定理的統一與和諧。

2.3 聯系實際貫穿高職微積分有效教學

微積分是高等數學的基礎，同時也是解決其他自然科學的基礎。教師通過將聯系實際貫穿微積分使學生充分認識到其解決實際問題的價值和意義。微積分聯系實際的應用，可以通過對物理（特別是運動與力學）、幾何、經濟、生物中數量變化關系的分析，建立簡單的數學模型并通過微積分計算加以解決，從而豐富教學內容、調動學生積極性、拓寬學生思路，逐步將學生引導到微積分的學習中來。

2.4 強調過程貫穿高職微積分有效教學

筆者認為高職微積分有效教學必須強調過程教學，必須強調微積分知識發生、發展的過程。教師通過強調過程貫穿高職微積分，從而促使學生充分理解微積分的概念。如：導數教學中，若教師使用常規講授法，即先直接講導數的定義，而后給出基本導數公式，最后通過習題給學生練習鞏固。則學生只能是機械的記憶公式然后解題，并未真正理解導數。因此，強調過程的有效教學應該是先例舉如自由落體瞬時速度問題，讓學生帶著這個問題去主動探尋答案，而后通過極限計算簡單函數的導數，再給出導數的定義，教師例舉較復雜函數的導數計算，再給出基本導數公式，最后進行鞏固練習。

參考文獻

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作者單位

無錫城市職業技術學院 江蘇省無錫市 214153