用與不用不一樣

張志勇

【摘 要】發(fā)揮技術(shù)的數(shù)學(xué)教育價(jià)值，離不開技術(shù)與數(shù)學(xué)的深度融合。可以從情境創(chuàng)設(shè)、實(shí)驗(yàn)探究、流程再造三個(gè)方向探索融合途徑。在可視化中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中提升思維水平，在互動(dòng)環(huán)境中變革學(xué)習(xí)方式。導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)等教學(xué)案例告訴我們，用與不用不一樣，而HP Prime以其手持特點(diǎn)、符號(hào)計(jì)算優(yōu)勢、無線環(huán)境構(gòu)建等，恰可彰顯技術(shù)于數(shù)學(xué)教學(xué)的獨(dú)有價(jià)值，正成為學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題的強(qiáng)有力的工具。學(xué)生視角可探索在技術(shù)浸潤中自覺尋求技術(shù)幫助，教師層面則關(guān)注知識(shí)境脈、進(jìn)行活動(dòng)進(jìn)階設(shè)計(jì)，課程維度離不開技術(shù)潛力的挖掘和課程資源的開發(fā)。

【關(guān)鍵詞】技術(shù)融合；教學(xué)策略；HP Prime；CAS系統(tǒng)；探究實(shí)驗(yàn)

【中圖分類號(hào)】G434 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【論文編號(hào)】1671-7384（2016）01-0063-03

技術(shù)與數(shù)學(xué)融合的途徑與方向

數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的形式化抽象特征，如精深的數(shù)學(xué)概念、煩瑣的演算過程、復(fù)雜的數(shù)形關(guān)系和多變的幾何位置關(guān)系等，往往由于教與學(xué)手段的限制而令人“望而卻步”。引入學(xué)科軟件于數(shù)學(xué)教學(xué)，便是要變革傳統(tǒng)教學(xué)“重形式定義，輕意象表征”的弊端；進(jìn)一步地，從整合走向融合，需要實(shí)現(xiàn)圖形圖像、符號(hào)表達(dá)與數(shù)值處理間的多元表征聯(lián)系，需要嚴(yán)謹(jǐn)、精確和形式化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程描述，需要構(gòu)建與數(shù)學(xué)研究相適應(yīng)的、豐富的探索性認(rèn)知環(huán)境。

途徑1：情境創(chuàng)設(shè)——可視化中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)過于形式化的表達(dá)反而看不清數(shù)學(xué)知識(shí)的本來面貌，學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的內(nèi)部表征應(yīng)該以豐富、獨(dú)特、具體的形象而存在，因此理解是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。“說一個(gè)數(shù)學(xué)概念、方法或事實(shí)是徹底地理解了，是指它和現(xiàn)有的‘智力網(wǎng)絡(luò)’是由更強(qiáng)的或更多的聯(lián)系聯(lián)結(jié)著”。HP Prime集數(shù)、形、表于一屏，形成方程、圖形、數(shù)據(jù)、模型（函數(shù)）、算法等的多元關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)、算法等不同數(shù)學(xué)分支的真正融合。更重要的是，它能創(chuàng)設(shè)“多元聯(lián)系表征”的學(xué)習(xí)情境，在符號(hào)語言與表格、圖象間形成有效的理解通道，從而幫助學(xué)生洞察所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，尋找解決復(fù)雜問題的途徑。

案例——分段函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的可視化實(shí)現(xiàn)

對(duì)于分段函數(shù)，初學(xué)者往往為其形式所困擾，很難認(rèn)同“這是一個(gè)函數(shù)”。有了圖形計(jì)算器，可以讓學(xué)生自行繪制函數(shù)圖象，當(dāng)他們見到“廬山真面目”（圖1）后自然對(duì)“整體”有了切身感受，其后的單調(diào)性、值域也隨之“水落石出”。如果再借助HP的函數(shù)分析功能，必然可以演繹別樣的精彩。又如導(dǎo)函數(shù)的學(xué)習(xí)，如能創(chuàng)設(shè)圖2所示的可視化情境，通過原函數(shù) y=（x2-2x）ex與導(dǎo)函數(shù)圖象的對(duì)比觀察，可以清楚地發(fā)現(xiàn)原函數(shù)的零點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的學(xué)習(xí)效果顯然非傳統(tǒng)紙筆運(yùn)算所能比擬，可謂“用與不用不一樣”。

事實(shí)上，HP內(nèi)置有18個(gè)應(yīng)用APP（如函數(shù)、高級(jí)繪圖、幾何學(xué)、參數(shù)等）和400多種操作命令，能夠很好地實(shí)現(xiàn)重要數(shù)學(xué)概念或活動(dòng)過程的符號(hào)（符號(hào)視圖Symb）、圖形（繪圖視圖Plot）和數(shù)值（數(shù)字視圖Num）的表征與關(guān)聯(lián)，促進(jìn)“頓悟”與理解。

途徑2：實(shí)驗(yàn)探究——數(shù)學(xué)活動(dòng)中提升思維水平

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的不僅是幫助學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是發(fā)現(xiàn)知識(shí)、探尋規(guī)律。而實(shí)驗(yàn)無疑是豐富學(xué)生體驗(yàn)的重要手段和路徑，在對(duì)實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化操作中產(chǎn)生歸納假設(shè)，在分析、修改、驗(yàn)證猜想中形成認(rèn)知體驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)在做（建構(gòu)）數(shù)學(xué)中學(xué)（理解）數(shù)學(xué)、用（解釋）數(shù)學(xué)。圖形計(jì)算器最大特點(diǎn)是“手持”，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究變得隨時(shí)隨地。

案例——復(fù)合函數(shù)的探究情境的構(gòu)建

復(fù)合函數(shù)是在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上以形式語言直接定義的。許多學(xué)生最初只在字面上靠背誦接受這個(gè)定義，在意象上認(rèn)為就是把兩個(gè)函數(shù)“套”起來，并沒有真正理解“復(fù)合”的意義。在HP的支持下，我們可以構(gòu)建圖3所示的“模塊化研究”的實(shí)驗(yàn)環(huán)境，其中F1（x）、F2（x）為基本函數(shù)，F(xiàn)1（F2（x））、F2（F1（x））則為相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)（圖例中，F(xiàn)1（F2）=sin3x 、F2（F1）=sin-（x3），它們的內(nèi)、外函數(shù)正好顛倒）。應(yīng)用時(shí)只要改變基本函數(shù)的輸入，便可看到基本函數(shù)的變化對(duì)復(fù)合函數(shù)圖象的影響。有了這樣的平臺(tái)，對(duì)學(xué)生而言復(fù)合函數(shù)不再不可觸摸，更可以從定義域、值域、單調(diào)性、周期性等角度全面考察內(nèi)函數(shù)、外函數(shù)對(duì)復(fù)合函數(shù)的影響。

技術(shù)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)可以提供演示、驗(yàn)證和探究三種水平的支持，HP圖形計(jì)算器充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)多元關(guān)聯(lián)、數(shù)形相融、動(dòng)態(tài)變化的特點(diǎn)，其教育價(jià)值不僅在演示，更利于驗(yàn)證和探究。通過對(duì)由靜到動(dòng)、微觀到宏觀的知識(shí)形成過程的觀察和思考，不僅看到數(shù)學(xué)外在形式的“美”，還感受到了內(nèi)在實(shí)質(zhì)的“真”； 獲得的不僅是知識(shí)本身，更有在探究發(fā)現(xiàn)過程中的情感體驗(yàn)；可謂“數(shù)山有路趣為徑，學(xué)海無涯美作舟”。

需要提及的是，HP Prime配以Connkit課堂管理系統(tǒng)、無線模塊，可以搭建課堂無線環(huán)境形成“e-數(shù)學(xué)”實(shí)驗(yàn)室，實(shí)現(xiàn)課堂動(dòng)態(tài)管理和師生的即時(shí)順暢互動(dòng)。

途徑3：流程再造——互動(dòng)環(huán)境中變革學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的絕非僅傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式；只有經(jīng)歷豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能積累足夠的原始經(jīng)驗(yàn)，于是實(shí)現(xiàn)“使用技術(shù)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)”很有必要。

HP Prime的突出特點(diǎn)是視覺化、操控化、瞬時(shí)化，可謂立竿見影、一觸即發(fā)，特別是它內(nèi)嵌有符號(hào)代數(shù)系統(tǒng)（Computer Algebra System，簡稱CAS系統(tǒng)），可以方便實(shí)現(xiàn)符號(hào)計(jì)算功能。將HP Prime交到學(xué)生手中，可以成為學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題的強(qiáng)有力的工具，保證“使用技術(shù)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)”成為可能。在真實(shí)體驗(yàn)指尖上的美妙數(shù)學(xué)和探究樂趣之余，超越傳統(tǒng)意義上紙筆學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的窠臼，實(shí)現(xiàn)“人人通過視覺化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”。

案例—— CAS系統(tǒng)中導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)

由于極限概念的缺失，現(xiàn)有教材對(duì)和差積商的導(dǎo)數(shù)法則只能采用“告訴”的方式，于是教學(xué)流程也很機(jī)械，只能是法則記憶+法則應(yīng)用。有了CAS系統(tǒng)，則可實(shí)現(xiàn)流程再造：具體事例→歸納法則→識(shí)記應(yīng)用，圖4為積的導(dǎo)數(shù)法則發(fā)現(xiàn)場景。因?yàn)橛芯唧w事例的支持和發(fā)現(xiàn)過程的展示，規(guī)則（f（x）·g（x））′=f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）更易于“深入人心”。

事實(shí)上，計(jì)算機(jī)計(jì)算包括數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算（即CAS系統(tǒng)）兩種，前者是近似計(jì)算，后者則是沒有舍入誤差的絕對(duì)精確的計(jì)算。從算法上講，符號(hào)計(jì)算才是真正的數(shù)學(xué)，無論是輸入、處理還是顯示，它能更好地與注重形式化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)學(xué)科相匹配，滿足在計(jì)算器上推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式的需求。如對(duì)表達(dá)式進(jìn)行因式分解、化簡、微分、積分、解代數(shù)方程、求解常微分方程等。圖5中的第3行實(shí)現(xiàn)的是因式合并，第4行為求解函數(shù)零點(diǎn)，第5行、第6行則是將解析式賦值給F1（x）、F2（x），繪制圖象后即可得到圖2；進(jìn)而滿足學(xué)生在更高抽象層次上的思考與探究，使形式化的符號(hào)也能成為學(xué)生高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)。換言之，帶CAS功能的圖形計(jì)算器本身就是數(shù)學(xué)，我們可以實(shí)現(xiàn)“向技術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”，從而做過去課堂中完全做不到的事情。

實(shí)現(xiàn)融合的教學(xué)策略和建議

應(yīng)用信息技術(shù)固然可以改進(jìn)我們的課堂，但教育技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)勢并不是天然就有的，因?yàn)榻逃夹g(shù)本身只是工具，實(shí)現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合、迎接數(shù)學(xué)教學(xué)革新的重要機(jī)遇，需要我們有開闊的數(shù)學(xué)視野，真正從促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的感悟出發(fā)去應(yīng)用技術(shù)。

策略1： 學(xué)生視角——技術(shù)浸潤，自覺尋求技術(shù)幫助

“工欲善其事，必先利其器”。只有讓學(xué)生接觸技術(shù)，形成對(duì)技術(shù)的親近感，知道技術(shù)能干什么，才能在需要時(shí)想得到“請技術(shù)幫助”；也唯有將技術(shù)交到學(xué)生手中，接受技術(shù)的真正浸潤，才能最大限度地發(fā)揮技術(shù)的作用，感受“技術(shù)不僅是工具，也是數(shù)學(xué)的一部分”。

隨時(shí)隨地“學(xué)”“做”“用”數(shù)學(xué)是HP的設(shè)計(jì)理念之一。以其為媒介可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供“應(yīng)用套件”，生動(dòng)地展示數(shù)學(xué)對(duì)象的動(dòng)態(tài)變化過程、實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)與靜態(tài)間的適時(shí)切換；更為學(xué)生創(chuàng)設(shè)可完全自主移動(dòng)學(xué)習(xí)的新環(huán)境。在這一無圍墻學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生自主地在“問題空間”里進(jìn)行探索，看他們以往只能“想象”的數(shù)學(xué)，“做”他們以往不能做的數(shù)學(xué)，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的形式和空間帶來了新的氣象和新的內(nèi)涵。

策略2：教師層面——關(guān)注知識(shí)境脈，設(shè)計(jì)活動(dòng)進(jìn)階

對(duì)于教師而言，首要的是用技術(shù)提高信息技術(shù)操作水平，否則就不知道在什么地方可以用，既要了解其在教學(xué)中的優(yōu)勢與缺陷，又要防止“功能固著”。但教師學(xué)會(huì)技術(shù)，并不意味著就會(huì)自然而然地把技術(shù)融入自己的教學(xué)，教師應(yīng)用技術(shù)進(jìn)行有效教學(xué)的前提是，教師對(duì)技術(shù)融入教學(xué)的境脈（Context）及復(fù)雜性保持敏感，深刻理解技術(shù)與學(xué)科教學(xué)之間相互作用的微妙關(guān)系，進(jìn)而創(chuàng)造性地理解和賦予技術(shù)在課堂教學(xué)中的功能和價(jià)值。

我們知道，信息技術(shù)的應(yīng)用是一個(gè)劣構(gòu)問題，因此更好地理解數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)，要求關(guān)注“技術(shù)一教學(xué)一內(nèi)容”三類知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，而它們交疊部分TPACK（融合技術(shù)的學(xué)科教學(xué)知識(shí)）正是應(yīng)用技術(shù)時(shí)應(yīng)當(dāng)指向的核心。一方面，需要關(guān)注知識(shí)境脈的整體性，充分考慮具體內(nèi)容的教學(xué)及課堂情境，始終圍繞技術(shù)知識(shí)與學(xué)科教學(xué)知識(shí)的復(fù)雜互動(dòng)，來設(shè)計(jì)開放式的、靈活的任務(wù)，以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、促進(jìn)學(xué)生高水平思維參與。另一方面，需要關(guān)注活動(dòng)設(shè)計(jì)的進(jìn)階性，通過豐富多樣、層層遞進(jìn)的活動(dòng)設(shè)計(jì)幫助學(xué)生積累足夠的原初經(jīng)驗(yàn)，提供即時(shí)驗(yàn)證、反饋環(huán)境，在增進(jìn)理解、強(qiáng)化應(yīng)用和培養(yǎng)創(chuàng)新能力上下功夫。我們不能止步于學(xué)生的淺層學(xué)習(xí)和機(jī)械學(xué)習(xí)，而要適應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生高階思維的教學(xué)需求，保持學(xué)生應(yīng)有的數(shù)學(xué)思考水平和強(qiáng)度，在促進(jìn)知識(shí)水平的垂直增長上下功夫。

策略3：課程維度——挖掘技術(shù)潛力，開發(fā)課程資源

發(fā)揮技術(shù)的教育價(jià)值、實(shí)現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學(xué)的真正融合，需要我們從具體教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，研究學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)和技術(shù)優(yōu)勢，進(jìn)而設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)架、設(shè)橋梁以啟發(fā)思維，或理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，或探索、發(fā)現(xiàn)和解決問題；需要明晰技術(shù)具體用在哪里、如何使用、為什么要使用。顯然并沒有多少固定程式和現(xiàn)成資源可直接應(yīng)用，需要我們自己來挖掘技術(shù)、開發(fā)資源，如前面提及的復(fù)合函數(shù)的“模塊化研究”、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的教學(xué)流程再造等，便是對(duì)技術(shù)在課堂教學(xué)中的功能和價(jià)值的一種理解和賦予。

借助Connkit課堂管理系統(tǒng)、無線模塊所搭建的HP e-數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室環(huán)境，教師可以預(yù)設(shè)實(shí)驗(yàn)素材（圖6為三角函數(shù)圖象生成實(shí)驗(yàn)，圖7為橢圓的中點(diǎn)弦軌跡探究實(shí)驗(yàn)）即時(shí)發(fā)送學(xué)生，支持學(xué)生開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，在“創(chuàng)設(shè)情境─活動(dòng)與實(shí)驗(yàn)─討論與交流─歸納與猜想─驗(yàn)證與數(shù)學(xué)化”中理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)知識(shí)。

圖6 圖7

交互式、多樣化實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)環(huán)境的構(gòu)建，離不開教師的精心設(shè)計(jì)和斟酌思考，而實(shí)現(xiàn)用“火熱的思考”融化“冰冷的美麗”的教學(xué)任務(wù)，也離不開對(duì)“技術(shù)”“設(shè)計(jì)”和“學(xué)習(xí)”的意義的不斷追問和深刻理解：技術(shù)不是機(jī)械刻板的工具，而是極具可塑性的“社會(huì)的行動(dòng)者”；學(xué)習(xí)不是“一錘子買賣”和簡單接受的過程，而是個(gè)體發(fā)展轉(zhuǎn)換性思維的過程。

技術(shù)融入教學(xué)，要求在教育和技術(shù)之間自由穿梭，真正把信息技術(shù)看成與黑板和粉筆一樣的教與學(xué)工具，切實(shí)改進(jìn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足；要求實(shí)現(xiàn)技術(shù)與課程的流暢互動(dòng)，真正促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念和數(shù)學(xué)問題的整體理解，幫助其洞察內(nèi)容本質(zhì)，尋找解決復(fù)雜問題的途徑。

項(xiàng)目資助：江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度重點(diǎn)課題《高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)的實(shí)踐研究》，編號(hào)B-a/2015/02/010。

（作者單位：江蘇常州市第五中學(xué)）