一階微分方程的初等解法及應用

周靈睿

摘 要： 隨著常微分方程在實際生活中變得越來越重要，因此研究常微分方程的解題方法變得十分必要.本文主要介紹一階微分方程的初等解法及其某些實際應用，初等積分法是一階常微分方程最基本的解法，它主要在于把求解問題向積分問題轉化，求解的表達式由初等函數或者超越函數表示，而能用這種方法求解的微分方程稱為可積方程.本文就一般的可積方程進行歸納，由抽象到一般，總結出具體規律.

關鍵詞： 一階常微分方程 初等解法 教學應用

一階常微分方程是數學中常見而基礎的一類微分方程，通常寫成如下的形式：dy/dx+P（x）y=Q（x）（因為它對于未知函數及其導數均為一次的）.

如果Q（x）恒等于零，則方程稱為齊次的；

如果Q（x）不恒等于零，則方程稱為非齊次的.

一階微分方程的解法技巧性很強，下面我將介紹一些簡單的方法和其應用，如變量變換法，常數變易法，恰當微分方程的求法及一階隱式微分方程的參數表示法.

一、分離變量法

如果一個一階常微分方程能寫成如下形式：

五、伯努利方程

像+P（x）y=Q（x）y這樣的方程我們稱之為伯努利微分方程，令u=y，有du=（1-n）ydy，代入得到+（1-n）P（x）u=（1-n）Q（x），下面的解法就與齊次微分方程一樣了.

六、結語

一階常微分方程的解法就是把微分方程的求解問題轉化成為積分問題.然而對于給定的常微分方程，未必都恰好是本文所介紹過的幾種類型，因此，在解一階常微分方程時，不僅要準確判斷它屬于哪種類型，還需要注意解題技巧，再根據方程本身的特點，引出變換，將方程轉化為我們所能求的類型.

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