淺析二次函數與幾何綜合類存在性問題

林東升

摘 要：二次函數與三角形、四邊形常常綜合在一起運用，解決這類問題需要用到數形結合思想，把“數”與“形”結合起來，互相滲透。解答這類題型貴在分析，理清解題思路與方法，條件與結論如何有機地綜合在一起考慮解答。這種存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數學現象是否存在，某個結論是否出現的問題。

關鍵詞：二次函數；存在性；數形結合

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）16-081-02

二次函數與三角形、四邊形常常綜合在一起運用，解決這類問題需要用到數形結合思想，把“數”與“形”結合起來，互相滲透。存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數學現象是否存在，某個結論是否出現的問題。解決這類問題的一般思路是先假設結論的某一方面存在，然后在這個假設下進行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設；若推出合理結論，則可肯定假設。

探究一、二次函數與三角形的結合

例1、如圖，對稱軸為直線x=-1的拋物線 與x軸的交點為A、B兩點，其中點A的坐標為（-3，0）.

（1）求點B的坐標；

（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點.

①若點P在拋物線上，且 ，求點P的坐標；

②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值.

分析：

（1）拋物線的解析式未知，不能通過解方程的方法確定點B的坐標，根據二次函數的對稱性，能求出B點的坐標嗎？ （2）要求拋物線解析式應具備哪些條件？ 由a=1，A（-3，0），B（1，0）三個條件試一試； （3）根據 列出關于x的方程，解方程求出x的值； （4）如何用待定系數法求出直線AC的解析式？ （5）D點的坐標怎么用x來表示？ （6）QD怎樣用含x的代數式來表示？ （7）QD與x的函數關系如何？是二次函數嗎？如何求出最大值？ 解：（1）由題意知：點A與點B關于直線x=-1對稱，A（-3，0），∴B（1，0）.

（2）①當a=1時，則b=2，把A（-3，0）代入 中得c=-3，

∴該拋物線解析式為 ，

∵ ，∴ ，

又 ，∴ ，∴ ，

當 時， ；

當 時， ；

∴點P的坐標為（4，21）或（-4，5）.

②∵A（-3，0），C（0，-3），則直線AC的解析式為y=-x-3.

設點Q為（a，-a-3），點D為（ ， ），

∴

當 時，QD有最大值，其最大值為 。

探究二、二次函數與四邊形的結合

例2、如圖，在平面直角坐標系中，二次函數 的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3），點P是直線BC下方拋物線上的一動點。

（1）求這個二次函數的解析式.

（2）連接PO、PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使得四邊形POP′C為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

分析：

（1）圖中已知拋物線上幾個點？ 將B、C的坐標代入求拋物線的解析式； （2）畫出四邊形POP′C，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，由此能求出P點坐標嗎？ （3）由于△ABC的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面積，即求△BPC的最大面積.

解：（1）將B、C兩點的坐標代入 ，得 ，解得

∴這個二次函數的解析式為 。

（2）假設拋物線上存在點P（x， ），使得四邊形POP′C為菱形，連接PP′交CO于點E，∵四邊形POP′C為菱形，∴PC=PO，PE⊥CO，∴OE=EC=32，∴P點的縱坐標為 ，即 ，解得 ， （不合題意，舍去）。∴存在點P（ ， ），使得四邊形POP′C為菱形。

（3）過點P作y軸的平行線交BC于點Q，交OB于點F，設P（x， ），由 得點A的坐標為（-1，0），∵B點的坐標為（3，0），C點的坐標為（0，-3），∴直線BC的解析式為：y=x-3，∴Q點的坐標為（x，x-3），

∴AB=4，CO=3，BO=3， ，

∴當x=32時，四邊形ABPC的面積最大.，此時P點的坐標為（ ，四邊形ABPPC的最大面積為 。

求四邊形面積的函數關系式，一般是利用割補法把四邊形面積轉化為三角形面積的和或差。