從高考數學題探討數學不等式教學

胡芳府

摘 要：不等式是高中數學教材中的核心內容之一，在平常生活中也得到廣泛應用，因此頻繁地出現在歷年高考試卷中，且試題形式多樣。多年來，在高考的試題中，對于不等式的考查主要鍛煉和檢測高中學生的抽象邏輯思維能力以及觀察、分析、探索及歸納演繹能力，在難度上屬于中等偏上的水平，因此是高考考查的重點題型。本文在觀察分析近年來北師大版高考數學試題的基礎上，通過一系列深入的分析，對不等式的教學提出了一些學習建議，以供參考。

關鍵詞：數學高考；不等式教學；教學探討

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 B 【文章編號】 1671-8437（2016）01-0005-02

1 不等式在高中數學中的重要性及相關教學策略

1.1 不等式在高中數學中的重要性

高中不等式知識點是在高中數學課本（北師大版）必修5第3章，是在三角函數、平面向量等知識點的基礎上對不等式的進一步拓展，可以看到不等式應用的綜合性。

不等式與函數、方程、數列、三角函數、算法等都具有緊密的聯系，是解決以上問題的重要數學工具。比如在給定的條件下求函數的定義域值域問題時、在一定參數下求方程根的數量時、在一定條件下求根的存在性時、求數列有無最值的情況時等等，在求解這些問題時都需要應用到不等式。不等式是集合、函數、數列、三角、方程、解析幾何等知識點的交叉處，在整個高中數學中都有很多的應用。

在學習不等式的過程中，學生可以養成良好的數學素養，培養出良好的數學思想。不等式的學習涉及到數形結合思想、函數與方程的思想、歸納演繹思想、分類轉化思想等，在學習這些思想的同時能對其他數學知識點的學習有很大的幫助。

1.2 高中不等式教學的一般策略和方法

目前針對高中數學不等式教學策略的研究主要出現在一些碩士博士的畢業論文中，韓瑞在《高中數學新課程中<不等式選講>專題的有效教學策略研究》中提出“把握教學要求，抓住教學重點”以及“重視不等式幾何意義的教學，引導學生認識不等式本質”等方法，取得了不錯的教學效果；劉國平撰寫《高中數學不等式必修課程教學的實踐與探索》中也為不等式的教學提供了教學時間安排和大量的教學案例，并論證了知識點學習的先后問題。

2 高考中涉及不等式的試題分析

近幾年江蘇省、安徽省、陜西省等學習北師大版數學教材的考取中涉及不等式知識點考查的重點內容有：不等式的基本性質、含有絕對值的不等式的求解、不等式的證明（比較法、綜合法、分析法）算術-幾何平均不等式與柯西不等式、利用不等式求最大（小）值、運用數學歸納法證明不等式，我們以安徽省2015年高考理科數學試卷中涉及的不等式知識點為例，分析高考數學試卷中不等式知識點的考查特點。

例2（2015安徽卷-理15） 設x3+ax+b=0，其中a，b均為實數，下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是 （寫出所有正確條件的編號）

（1） a=-3，b=-3 （2） a=-3，b=2

（3） a=-3，b>2； （4） a=0，b=2；

（5） a=1，b=2

解：設函數f（x）=x3+ax+b，則f′（x）=3x2+a

當a≥0時，f′（x）≥0，函數f（x）單調遞增，則肯定有一個實根存在，（4）和（5）正確。

當a<0時，（1）（2）（3）選項中a=-3，此時，f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），函數f（x）的極值為f極大（x）=f（-1）=b+2， f極小（x）=f（1）=b-2，在僅有一個實根的情況下， f極大<0或f極小>0，此時，b<-2或b>2。

綜上，答案應選（1）（3）（4）（5）。

通過以上的高考數學真題，我們可以看到，高考試卷中對有關不等式知識點的考查一般不會單獨出題，都是和其它的知識點一起出現。在題型上，對不等式知識點的考查一般都會出現在選擇題、填空題和解答題上，難度適中，其中解答題的難度較大些。

3 針對高考的高中不等式教學策略分析

通過對高考數學考綱的解讀以及對近幾年高考數學真題中涉及不等式試題的分析，我們會發現，高考的考試內容越來越趨近于向解決生活中的實際問題的方向發展，知識點與生活的聯系越來越密切，為此我們應當在對學生的運算求解能力、抽象概括能力、空間想象能力、數據處理能力、推理論證能力培養的同時，針對不等式各部分的教學內容和考點，本文構建了如下的教學策略：

（1）注重生活中實際問題的解決。在教學過程中，設置大量生活中的實際例子來教授知識點，這樣既能激發同學學習興趣，又能培養他們解決問題的能力。

（2）注重各個知識點之間的聯系。以點帶線，以線帶面，把數學的各個知識點系統的總結在一起，以思維框圖的記憶模式在真正理解的基礎上記憶知識點，既能做到舉一反三，又能延伸其內涵。如在學習數列的知識點時，可以帶入不等式的知識點，求解數列的最值問題。

（3）注重培養學生的推理能力。在一層一層的推理過程中提高其計算能力和解題能力，在老師授課的過程中可以引導學生推導數學課本中的一些重要的不等式，如柯西不等式等；

4 結論

本文通過對不等式的重要性以及不等式的教學策略的研究，論述了不等式教學的重點和一般的教學策略及方法，然后進行實例的分析，最后論述了針對高考不等式出題特點的教學策略。不等式所具有的巨大實用性必定使不等式在以后的高考中占據越來越重要的地位，為此，教師在不等式教學的過程中需要不斷的調整教學的策略，以更好的適應高考教學的變化。

參考文獻：

[1] 李建華.波利亞的“問題解決”理論及其發展[J].數學通報，2009.

[2] 金彪.多元智能理論下的高中數學課堂教學[J].數理化學習，2011.