例談相遇問題在初中數學中的應用

沈衛軍

摘 要：在蘇科版七年級數學上第四章第3節“用一元一次方程解決問題”中，有一類關于行程問題的應用題中，相遇問題是常見的一類題目，它貫穿于整個初中數學階段，在不等式、函數中都出現了它的身影，而且方程、不等式、函數之間有著很密切的關系。就通過幾個例題來談一談相遇問題在初中數學中的應用。

關鍵詞：相遇；時間；速度；路程

有關相遇問題的題目從七年級上的一元一次方程中首次出現，一直到九年級中的函數也有相關問題，在中考中也是常見的一種題型，因此，本文就通過幾個例題，由淺入深，來談談相遇問題在初中數學中的應用。

【例1】甲、乙兩輛汽車分別從相距270千米的A、B兩地同時相向而行，已知甲車的速度為每小時行40千米，乙車的速度為每小時行50千米，問出發后多長時間兩車相遇？

解析：此題中關鍵是抓住相遇問題中甲、乙兩輛汽車行駛時間相等，甲乙兩輛汽車行駛的路程之和等于A、B之間的路程即可，如果能畫出線段圖（如下圖），那么問題就能迎刃而解：設出發后x小時相遇，可得方程40x+50x=270，解之得x=3，即出發后3小時兩車相遇。

這是最基礎的相遇問題，解決這類應用題，關鍵是能畫出線段示意圖，特別是一些稍復雜的題目，分析出整段行駛的過程，理清時間、速度、路程之間的關系，這一類相遇的問題便能迎刃而解。

【例2】小明和爸爸同時從距離20千米的兩地相向而行，爸爸每小時走6千米，小明每小時走4千米，小明帶著只狗，狗每小時跑10千米，這只狗和小明同時出發，碰到爸爸的時候，馬上掉頭朝小明這邊跑，碰到小明的時候又掉頭朝爸爸方向跑去，直到小明和爸爸相遇，問這只狗一共跑了多少千米？

解析：此題是多次相遇的問題，但本題中并不需要知道相遇了幾次，求狗一共跑了多少千米，因為狗的速度已知了，所以只要知道狗跑的時間就可以了，而狗跑的時間和小明、爸爸跑的時間是相同的，而這個時間就是小明和爸爸相遇所需的時間，從而又轉化到例題1中的相遇問題了。

解：設小明和爸爸相遇的時間為x小時。

由題意得：6x+4x=20

x=2

即狗跑了2小時，所以狗一共跑了2×10=20千米

但有些題目中并不是同時出發，或者說他們行駛的時間是不相等的，那這一類相遇的行程問題又該如何解決呢？那我們就通過下面的例題來看看。

【例3】甲、乙兩輛汽車分別從相距270千米的A、B兩地同時相向而行，已知甲車的速度為每小時行40千米，乙車的速度為每小時行50千米，甲車剛出發就因汽車拋錨而耽擱了半小時，問乙車出發多少小時后兩車相距20千米？

此題中甲車中途停留了半小時，所以這半小時，甲車沒前進，所以在計算路程時應當注意，但不管是停留還是有些題目中誰先出發，我們都應該抓住甲乙兩車行駛的路程等于整段路程這一等量關系，本題還應注意兩車相距20千米有兩種情況，第一種情況（如下圖1）：兩車還沒相遇之前相距20千米，根據“甲車行駛的路程+乙車行駛的路程=A、B之間的距離-20千米”這一等量關系，設出發x小時之后，兩車在相遇前相距20千米，得方程：50x+40（x-0.5）=270-20，解得x=3，第二種情況（如下圖2）：兩車相遇之后繼續往前走，相距20千米，根據“甲車行駛的路程+乙車行駛的路程=AB之間的距離+20千米”這一等量關系，設出發后y小時兩車相遇后相距20千米，得方程：50y+40（y-0.5）=270+20，解得y=31/9，因此乙車出發后3小時或31/9小時后兩車相距20千米。

對于這種不管是中間停留還是誰先出發的題型，同樣我們應該通過畫線段圖，找出他們路程之間的關系，只不過行駛的時間現在不相等了，這些都是相遇問題在方程中的應用，在其他章節中同樣也出現過相遇問題，下面我們就繼續來看看。

【例4】A、B兩地相距270千米，兩地之間有個C站，甲車由A地駛往C站，乙車由B地駛往C站，兩車同時出發，本來約定3個小時能同時到達C站，但因甲車剛出發半小時，因汽車拋錨而花了半小時修車，已知甲車原來的速度為40千米/小時，問甲車為了能趕在B車到達C站之前到達C站，甲車修好車之后的速度應不低于多少？

此題中乙車的路程不變，速度不變，到達C站的時間也不變，所以關鍵是甲車修好車之后行駛的那一段路程，甲車出發半小時，修車半小時，也就是說修好車之后趕去C站的時間最多2小時，路程不變，由此才會有問題中甲車速度應不低于多少，此題可由“約定3小時同時到達C站”，求出AC之間的距離為40×3=120千米，則修好車之后甲車距C站還有120-40×0.5=100千米，設甲車的速度應不低于x千米/小時，可得不等式x/100≤2，解得x≥50，即甲車的速度應不低于50千米/小時。

這個是相遇問題在不等式中的應用，我們現在應該重點抓住他們在行駛過程中路程、速度或者時間之間的不等關系來列出不等式，從而解決問題。下面我們通過最后一個例題來看一看相遇問題在其他方面的應用。

【例5】如下圖1所示，在A，B兩地之間有汽車站C站，客車由A地駛往C站，貨車由B地駛往A地.兩車同時出發，勻速行駛.圖2是客車、貨車離C站的路程y1，y2（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數關系圖象。

（1）填空：A，B兩地相距_____千米；

（2）求兩小時后，貨車離C站的路程y2與行駛時間x之間的函數關系式；

（3）客、貨兩車何時相遇？

解析：（1）由題意可知：B、C之間的距離為60千米，A、C之間的距離為360千米，A，B兩地相距360+60=420千米；

（2）根據貨車兩小時到達C站，求得貨車的速度，進一步求得到達A站的時間，進一步設y2與行駛時間x之間的函數關系式可以設x小時到達C站，列出關系式，代入點求得函數解析式為y2=30x-60即可；

（3）兩輛車相遇在函數圖象中就是兩函數的圖象相交，求得y1的函數解析式，與（2）中的函數解析式聯立方程，解決問題。

關鍵我們來看看第（3）小題，這就是相遇問題在函數中的應用，兩車相遇在函數圖象中就是兩直線相交，從而我們可以通過列方程組來求兩直線的交點，從而求得相遇的時間。

函數是初中數學中的一個重點和難點，也是中考中的一個熱點考題之一，綜合性比較強，解題的關鍵是根據題意結合圖象說出其圖象表示的實際意義，這樣便于理解題意及正確解題。

以上就是我通過幾個例題來看看相遇問題在初中數學中的應用，我們應該理清它們之間的內在聯系，在平時的教學過程中，特別是初三復習中要加強訓練，知識點與知識點之間加強聯系，做到一題多變。以上就是我自己的一些觀點，如有不足之處，希望各位專家和同仁指教。

編輯 謝尾合