類比分析方法在隨機信號分析課程教學中的實踐

夏平+龔國強+覃琴+孫水發

[收稿日期]20150926[基金項目]湖北省高校省級教學研究項目（2012232）；三峽大學教學研究委托項目（W201505）

[作者簡介]夏平（1967），男，湖北麻城人。教授，碩士，主要研究方向為計算機視覺、智能信息處理、多尺度幾何分析及應用。[摘要]《隨機信號分析》課程主要討論隨機信號的信號分析以及隨機信號經過線性時不變系統后系統對隨機信號的影響，即隨機信號的系統分析問題；《信號與系統》課程討論的是確知信號的系統分析問題。教學過程中采用類比分析的方法將這兩門課程內容進行比較，探討兩門課程研究對象與分析方法的異同，有助于學生正確理解和掌握《隨機信號分析》課程的基本概念、基本理論、及課程的體系結構，為后續專業基礎課《通信原理》的學習奠定扎實的基礎。

[關鍵詞]隨機信號分析；信號與系統；類比分析；教學實踐

[中圖分類號]G642；TN911[文獻標識碼]A[文章編號]10054634（2016）050083050引言

《隨機信號分析》課程是電子信息工程和通信工程等專業的一門非常重要的專業基礎課程。對隨機信號的信號分析、以及隨機信號（重點是平穩隨機信號）通過線性時不變系統后系統對隨機信號的影響分析是該課程的中心任務[13]。學生對該課程的掌握程度將對后續的《通信原理》《移動通信》等重要專業基礎課程和專業課程的學習產生直接影響。

《隨機信號分析》課程的教學中，較多學生對該課程的學習存在兩方面的問題[4]：（1）相當多的學生將該課程作為一門數學課程來學習，沒有理解概念所包含的物理含義；（2）學生認為這門課程內容太難。究其原因，沒有從整體上把握這門課程討論的主要問題是什么，與先修的《信號與系統》與《數字信號處理》等信號類課程的關系是什么。從本質上講，《信號與系統》課程討論確知信號的系統分析問題；《數字信號處理》探討確知信號的系統綜合問題[4]；而《隨機信號分析》則闡述隨機信號的系統分析問題。基于此，本文以類比分析思想探討《信號與系統》與《隨機信號分析》課程的研究對象、體系結構、分析方法的區別與聯系，幫助學生正確理解隨機信號的基本概念和基本分析方法。

1《隨機信號分析》課程體系結構

《隨機信號分析》課程從隨機信號分析與處理的角度，討論了隨機信號的基本信號分析方法以及隨機信號經過線性系統后系統對隨機信號產生的影響[5]。本課程重點考慮的是平穩隨機信號的信號分析，以及平穩隨機信號經過線性時不變系統后系統對信號的影響。

隨機信號是自然界和人類社會常見的一種信號形式，針對單次實驗而言，隨機信號似乎沒有規律，但隨機信號的規律性體現在大量重復試驗時的集體現象中，即統計規律性。因此，統計與概率的概念伴隨《隨機信號分析》課程的始終，也是隨機信號分析的出發點，隨機信號的表述方式以及推演方式都應以統計特性和規律為出發點，這是本課程一個最根本的特征，這與確知信號的信號分析有本質的區別。隨機信號的信號分析方法，類似于確知信號的信號分析方法，仍然從兩個方面描述：時域分析和頻域分析，在隨機信號的這兩種描述中，其研究對象都是針對隨機信號的隨機變量進行討論。

線性時不變系統對平穩隨機信號的影響亦從時域和頻域兩個角度進行分析。時域中主要探討零狀態響應的隨機信號的特性，包括響應隨機信號是否平穩，響應隨機信號與激勵平穩隨機信號的數學期望、自相關函數、互相關函數、以及系統沖激響應之間的關系等。頻域分析中主要探討零狀態響應隨機信號的功率譜密度與激勵隨機信號功率譜密度之間的關系，同時，建立了平穩隨機信號時域分析與頻域分析之間的聯系，即維納—辛欽定理，如圖1所示。

2類比分析方法在課程教學中的實踐

《隨機信號分析》課程作為電子信息類專業信號分析類課程之一，其課程的體系結構、分析思想和分析方法與信號類其它課程有許多相似的地方，特別是《信號與系統》課程。兩課程分別探討隨機信號的系統分析和確知信號的系統分析。因此，在學習過程中，采用類比分析方法有助于本課程的學習，講授過程中通過與《信號與系統》課程相關內容的比較，分析兩門課程內容的異同，便于強化學生對這兩門課程基本概念、基本思想的理解與掌握。

2.1課程體系類比

綜觀《信號與系統》課程，主要討論確知信號的兩大系統的系統分析問題，即：線性時不變連續時間系統和線性時不變離散時間系統的系統分析問題。系統分析就是要解決已知系統的結構及其參數，依據激勵探討系統對激勵的影響問題，如圖2所示。

與圖1類比不難發現，《隨機信號分析》與《信號與系統》兩門課程在體系結構上相似。相同之處：都是探討信號經過已知線性時不變系統的系統分析問題；其分析思路都是從信號分析和系統分析兩個方面進行；并且，無論哪一方面都是從時域分析和頻域分析兩個角度展開；研究對象都是主要針對線性時不變系統。不同之處在于：研究的對象（信號）不同，《信號與系統》課程針對（連續、離散）確知信號，而《隨機信號分析》課程針對隨機信號。基于此，隨機信號的信號分析思想與確知信號的分析思想存在本質的不同，隨機信號的樣本顯示的隨機性以及每一紀錄在隨機信號中以一定的概率出現決定了其分析必須采用統計的方法進行。

通過兩門課程體系結構的類比，學生根據已有的知識能較快地把握《隨機信號分析》課程的主要研究問題，找出與先修《信號與系統》課程之間的聯系與差別，提高學習的針對性。

2.2研究對象與分析方法類比

兩門課程一個研究對象是確知信號，另一個是隨機信號，根據這兩類信號的特點，確知信號能建立具體的數學模型，能用精確的數學函數描述，因此其時域分析（包括信號的平移、反褶、尺度變換、多信號的和與積等）相對較簡單。當信號滿足狄里赫利條件時，其頻域分析用傅里葉變換進行。而隨機信號因每一樣本以一定的概率隨機變化，無法用確定的數學模型描述信號的變化規律，盡管某個記錄的出現是隨機的，但信號的每一記錄均是以一定的概率出現，服從統計分布規律。因此，隨機信號的時域分析應用統計的思想研究其變化規律。

同時，兩門課程討論的系統主要是線性時不變系統，因此，系統的線性、時不變性等性質在兩門課程的分析中都是一致的。換言之，《信號與系統》課程的線性時不變系統知識與分析方法在《隨機信號分析》的學習中可以直接應用。

3幾個基本概念討論

3.1隨機信號與隨機變量的理解

隨機信號與隨機變量概念是兩個最基本的概念，貫穿整個課程學習的始終。兩個概念實際上從先修的《概率論與數理統計》就有所接觸，盡管如此，在《隨機信號分析》的教學中發現，仍有相當的學生對這個概念缺乏認識，體現在研究隨機信號的基本特征時，不少學生總認為是用隨機信號進行分析，求統計平均時，不少學生對時間t進行積分等。事實上，隨機信號的信號分析是針對隨機信號的一個或幾個隨機變量進行研究，通過不同時刻隨機變量的基本特征反映該隨機信號的規律性。

隨機信號將確知信號的概念從實數與實數的對應關系推廣到實數與隨機變量的對應關系。對確知信號而言，t∈T時，總有一個確定的實數值與之對應；而隨機信號，t∈T時，與之對應的X（t）是某固定時刻t的一個隨機變量。

隨機信號是隨機變量概念的推廣，隨機變量是在固定時間t上試驗的結果，是一個數的集合；而隨機信號是在t∈T上試驗結果，是一個時間函數的集合，當t確定時，隨機信號就成為一個隨機變量。隨機變量的統計規律反映了隨機信號每一樣本在該時刻的變化規律。因此，隨機信號的分析中，統計平均的積分，所涉及的t應該理解為任意選取時刻t，一旦選定，t是一個固定值，是選取的時刻。

3.2基本特征的信號類型

隨機信號的基本特征主要涉及6個物理量：概率分布函數、概率密度函數、數學期望、方差、自相關函數、自協方差函數等，主要探討隨機信號的一個或幾個隨機變量的統計規律，所求得的這些物理量是確知信號，不再是隨機的，物理量中的t1、t2、t3、…反映的是隨機變量所在的時刻。

3.3統計獨立、不相關、正交

數學期望和方差反映了單一隨機變量各自的均值與偏離均值的程度，并沒能反映隨機變量間的關系，在隨機信號的分析中，經常需要考慮：（1）單個隨機信號兩個或多個隨機變量之間的關系；（2）判斷兩個或多個隨機信號之間的關系。因而，常涉及統計獨立、不相關、正交等基本概念。在（2）問題中，隨機信號之間的關系根據3.1節的討論可知，最終考查的仍然是兩個或多個隨機信號的隨機變量之間的關系。

從定義上講，統計獨立反映隨機現象的規律性相互獨立，具體地，指隨機信號n個隨機變量的n維分布函數或n維概率密度函數相互獨立，其聯合分布函數或概率密度函數等于這n個隨機變量各自一維分布函數或一維概率密度函數的乘積；一個或多個隨機信號的隨機變量間的“相關性”反映的是隨機變量的波動方式是否一致，不相關指隨機信號的隨機變量間的波動不存在一致性，常用互相關函數或互協方差函數來衡量，不相關的互相關函數等于這兩個時刻隨機變量各自數學期望的乘積，或互協方差函數為0。而兩隨機信號正交指隨機信號的互相關函數為零。

隨機信號分析中，常探討多維隨機變量的線性相關性問題，除從定義的角度說明相關性外，借助隨機變量的相關系數理解隨機變量間的相關程度更加直接[6]。為此，將問題簡化，探討兩個隨機變量X，Y是否滿足線性關系：Y=mX+n；m，n為常數。為此，探討如何選擇m，n可使mX+n與Y最接近？

由式（4），ρXY表征了隨機變量X、Y之間線性關系緊密程度，當|ρXY|較大時，X、Y之間的線性相關程度較好；當|ρXY|較小時，X、Y之間的線性相關程度較差；當|ρXY|=0，X、Y之間不相關。

隨機變量的線性相關關系是一種概率意義下的關系，主要是由于隨機變量任意時刻取值是隨機的，每一個值是隨機變量集內以一定概率出現的值，因此，在XOY平面內，由隨機變量X、Y所對應的點應為一個隨機點（X，Y）[7]。基于此，隨機變量X、Y之間線性關系實質是隨機點（X，Y）在平面XOY內的散點分布在直線Y=mX+n附近。從分布的趨勢看，它們與直線Y=mX+n形狀相似，相似程度由ρXY確定。

由上述討論，不相關的充要條件：（1）|ρXY|=0；（2）Cov（X、Y）=0；（3）E（X、Y）=E（X）E（Y）。

以上3個條件等價，隨機變量間不相關并不意味它們正交，只是它們沒有線性關系，但很可能存在其它函數關系。

統計獨立、不相關、正交三者之間的關系：（1）隨機信號若統計獨立則一定不相關，但不相關不一定統計獨立，當且僅當高斯隨機信號時，統計獨立與不相關等價。從統計角度看，保持統計獨立的條件要比不相關還要嚴格；（2）隨機信號的不相關與正交之間無必然聯系。不相關的隨機信號，至少其中有一個隨機變量的期望為0時，隨機變量才互相正交。反之，正交的隨機信號，當且僅當至少其中之一隨機變量的期望為0時，才不相關，見圖3。

3.4功率譜密度函數的認識

隨機信號的功率譜密度主要是由于隨機信號是功率信號，其平均功率是一有限值。因此，功率譜密度是針對隨機信號的隨機變量而言，對于平穩隨機信號而言，隨機信號的自相關函數與其功率譜密度之間是一對傅里葉變換對的關系，因而，隨機信號的功率譜密度是其自相關函數的頻譜。

4結束語

本文結合先修課程《信號與系統》，類比了《隨機信號分析》與《信號與系統》課程的體系結構、分析方法，從兩個不同角度討論了兩門課程中信號的系統分析方法與思想。由于兩門課程研究對象不一樣，因此，信號分析中兩門課程采用不同的分析方法。同時，線性、時不變性的系統的分析思想在這兩門課程中是一致的。文章最后對課程中幾個基本概念進行了討論。通過類比分析，便于學生盡快掌握《隨機信號分析》課程的體系結構和主要研究內容，有助于學生對本課程的基本概念和基本理論理解和掌握，為后續課程的學習打下扎實的基礎。

參考文獻

[1] 李曉峰，周寧，傅志中，等.隨機信號分析（第4版）[M].北京：電子工業出版社，2011.

[2] 王永德，王軍.隨機信號分析基礎（第3版）[M].北京：電子工業出版社，2009.

[3] 張文明，羅鵬飛，謝曉霞，等.“隨機信號分析與處理”案例式教學研究[J].電氣電子教學學報，2013，35（5）：6365.

[4] 夏平，向學軍，吉培榮.基于MATLAB的信號與系統、數字信號處理實驗體系教學實踐[J].電氣電子教學學報，2004，26（5）：7374+99.

[5] 周寧，李曉峰，傅志中. “隨機信號分析”課程研究型教學[J].電氣電子教學學報，2014，36（2）：6063.

[6] 霍凱凰.多維隨機變量線性相關性分析[J].太原師范學院學報（自然科學版），2010，9（1）：5457.

[7] 李鋒，仲偉波.《隨機信號分析與處理》課程案例式教學實踐探索[J].教育教學論壇，2012（17）：148149.Teaching practice of Random Signal Analysis course

based on analogy method

Xia Ping，Gong Guoqiang，Qin Qin，Sun Shuifa

（College of Computer and Information Technology，Three Gorges University，Yichang，Hubei443002，China）

AbstractRandom signal analysis course mainly focuses on the signal analysis of random signal，and the influence of the random signal after through the linear time invariant system （LTI）.The course of signal and system is discussed in the system analysis of the known signals.In the process of teaching，comparing the contents of these two courses by analogy analysis，exploring the similarities and differences between the two courses research object and the analysis method ，which is conductive to enhance the students′ abilities to correctly understand and master the basic concepts，theory，and architecture of the course.Simultaneously，it helps students to lay a solid foundation for the study of the communication principle course.

Key wordsrandom signal analysis；signals and systems；analogy method；teaching practice