從陀螺儀進動與章動分析討論看大學物理剛體教學

伊厚會，姚延立

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從陀螺儀進動與章動分析討論看大學物理剛體教學

伊厚會，姚延立

（濱州學院 航空工程學院 應用物理研究中心，山東 濱州 256603）

從剛體轉動力學知識出發，以陀螺儀為例研究了剛體的定點轉動．利用角動量定理和簡諧振動的處理方法，通過研究向心力、自轉角速度、進動角速度和章動角速度等，分析了陀螺儀的進動與章動現象，并討論了影響其進動和章動的因素．總結了定點轉動和定軸轉動的區別和聯系，對大學物理剛體部分教學以及對理解和應用陀螺儀的性能提供一定的參考．

陀螺儀；進動；章動；定軸轉動；定點轉動

剛體的定軸轉動是指在轉動中，剛體的轉軸固定不動．定軸轉動是分析剛體轉動的基礎，是大學物理教學的重要內容．通過剛體定軸轉動的教學，學生可以解決飛輪、圓盤和桿等定軸旋轉問題．除定軸轉動外，定點轉動（即剛體繞一固定點轉動）也是現實生活中常見的運動現象．陀螺儀、回轉羅盤和航行器等都可看作定點轉動的實例．定點轉動中的進動和章動是工程技術和天文學中常見的現象，進動（亦稱旋進）是指一個自轉物體的自轉軸繞另一軸旋轉的現象；章動是指在進動的基礎上，自轉軸伴有上、下周期性運動．

陀螺儀在科學、技術和軍事等各個領域有著廣泛的應用[1-2]．陀螺儀既能繞自轉軸高速旋轉，又能繞其它軸旋轉，其進動與章動運動分析是各類陀螺儀表設計的理論基礎．由于對陀螺儀的動力學分析是一種較為高深的問題，嚴格的數學處理相當復雜，多數研究均從簡化陀螺儀動力學模型出發[3-8]．

本文從剛體的定點轉動模型出發，利用角動量定理和簡諧振動處理方法，通過研究向心力、自轉角速度、進動角速度和章動角速度等，分析了陀螺儀的旋轉問題，討論了影響陀螺儀進動與章動的因素．在大學物理教學中，針對機械設計制造等專業的學生結合陀螺儀實例拓展了該部分教學內容，并對感興趣的學生進行了理論分析和實際應用指導，增強了學生的學習興趣和分析解決問題的能力．

1 陀螺的進動分析

圖1 陀螺旋轉運動示意圖

圖2 陀螺自轉軸垂直軸時，陀螺角動量增量和重力矩沖量關系示意圖

陀螺進動時質心作圓周運動，需要外界提供向心力，分析各參數對向心力和陀螺運動的影響：（1）陀螺進動向心力與成正比，陀螺的質心到轉動點的距離越小，陀螺越容易平穩旋轉，即陀螺的重心越低越容易旋轉；（2）陀螺進動向心力與成正比，陀螺的進動與其質量和轉動慣量均有關，越小，陀螺越容易平穩旋轉；（3）陀螺進動向心力與成反比，陀螺自轉角速度越大，進動時需要的向心力越小，陀螺旋轉越平穩；（4）陀螺進動向心力與成正比．陀螺自轉軸與軸夾角越小，陀螺旋轉越平穩，但陀螺自轉軸與軸夾角對陀螺進動的角速度沒有影響．

2 陀螺的章動分析

公式（3）為考慮章動時，陀螺的動力學方程表達形式．公式（3）中的第1項為重力矩，其主要作用是引起陀螺的進動．陀螺章動分析時，可以把公式（3）中的第1項舍去，得

通過分析，根據大學物理課程中剛體定軸轉動的知識，剛體的定軸轉動和定點轉動的區別和聯系主要有：（1）無論定軸轉動還是定點轉動，剛體轉動的角動量總是沿自轉軸方向，剛體的自轉角速度的變化由平行于自轉軸的合外力矩引起．（2）對于定軸轉動，垂直于自轉軸的合外力矩始終為零，剛體的自轉軸始終固定；對于定點轉動，剛體的進動和垂直于自轉軸的合外力矩有關．當定點轉動的剛體在垂直于進動方向有微小偏離時，剛體在進動的同時會伴有類似簡諧振動的章動．

3 結語

本文從剛體力學知識出發，以陀螺儀為例分析了剛體的定點轉動．研究了陀螺儀的進動與章動現象，并討論了影響其進動和章動的力學因素．在此基礎上，分析總結了剛體定軸轉動和定點轉動的區別和聯系．在大學物理課程教學中，對機械設計制造等專業的學生拓展了該內容，并對部分感興趣的學生進行了理論分析指導和實際應用．結合陀螺儀實例講授剛體的定點轉動，不僅有助于學生對大學物理剛體部分的理解，還有助于增強學生的學習興趣和分析解決問題的能力，并能為應用陀螺儀的性能提供一定的參考．

參考文獻：

[1] 黃德鳴．陀螺儀的應用與發展[J]．海陸空天慣性世界，2003（12）：39-39

[2] 宋桂云．陀螺儀的應用及發展[J]．有色金屬工程，2002，54（4）：106-110

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[8] 朱二輝．微機械陀螺的動力學特性研究[J]．機械強度，2007，29（2）：228-232

College physics teaching of the rigid body via the analysis and discussion of gyrostat precession and nutation

YI Hou-hui，YAO Yan-li

（Research Center of Applied Physics，School of Aeronautical Engineering，Binzhou University，Binzhou 256603，China）

Studies the rotation around a fixed point based on the knowledge of dynamics of rigid body by taking gyrostat as an example．Using the theorem of angular momentum and the method on processing simple harmonic vibration，the phenomenon of gyrostat precession and nutation and the affecting factors are analyzed and discussed by studying of the centripetal force，self-rotation angular velocity，procession angular velocity and nutation angular velocity．The relations and differences between the rotation around a fixed-axis and the rotation around a fixed point are summarized，which provide some references in teaching the rigid body part in college physics and in understanding the gyrostat property when using it．

gyrostat；precession；nutation；fixed-axis rotation；rotation around a fixed point

1007-9831（2016）10-0043-04

O313

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.012

2016-07-20

濱州學院教學研究項目（BYJYZD201306）

伊厚會（1976-），男，山東費縣人，副教授，博士，從事量子力學和計算物理學等方面的研究．E-mail: houhuily@163.com