循序漸進，以APOS理論為指導建構小學生數學思維

祖廣金

摘 要：APOS理論是基于數學概念學習的教學模式，它強調學生的心理建構過程，這對于我們開展數學概念學習，發展學生實踐應用能力有著積極的推動作用。本文正是從這一理論出發，就如何以循序漸進的教學方式強化學生們的概念學習，提高學生們的思維能力，展開了如下探究，并從活動激趣、概念導入、練習鞏固三個角度，談了幾點教學淺見。

關鍵詞：小學數學；APOS教學理論；課堂教學；思維建構

APOS是由美國人杜賓斯等率先提出的數學概念學習理論，是近年來盛行的新型教學模式，對于數學概念的深入理解與外延拓展有著極強的指導意義，是我們開展概念學習的一盞明燈。它強調了教師引導學生主動建構并在知識體系框架梳理下形成多種數學思維。這一模式包括以下四個步驟：action（操作活動）、processes（建構過程）、object（對象階段）、schemes（圖式架構），四個步驟深入淺出，層層遞進，不僅有利于學生的概念學習，而且在學生形成數學思維的過程中缺一不可。活動階段，即讓學生在數學活動與實驗操作中對所學知識點建立初步的感性認知；建構階段，即由學生從活動結果中形成抽象思維，對數學概念有一定的概況與理解；對象階段，即學生可以憑借前述階段累積的理解進行獨立運算；最后一步的圖式架構，即是學生在腦海中對知識體系有了記憶框架。每一個步驟不僅可以作為教師教學設計的指南，更是從根本上顛覆了學生被動學習的局面，奠定了他們在課堂學習中的主導地位，進而提升課堂學習的成效。筆者嘗試從這一理論出發，以APOS指導我們日常的概念學習，并從活動激趣、概念導入、練習鞏固這三個角度提出了自己的幾點教學主張。希望借助APOS理論這股“東風”，化繁為簡，降低概念學習的難度，幫助學生們經歷概念建構的過程，有效培養他們的概念思維，強化他們理解、深化、應用概念知識的數學學習能力。

一、活動激趣，點燃學生思維火花

APOS理論的第一階段是指通過活動激起學生學習的興趣，這里“action”不僅是對教師教學設計活躍度的要求，也是對學生積極參與課堂話題構建與活動安排的步驟。我們往往將這一步驟運用于課前導入階段，充分吊足學生的胃口，利用他們強烈的好奇心在腦海中建立對新知的印象，進而產生求知的渴望，提高他們主動學習的積極性。以下我們以蘇教版小學數學五年級上冊第一單元《認識負數》之第一課《認識負數的意義》的課前導入教學設計為例，闡述如何利用“action”這一步驟活躍學生思維。

一上課，我詢問了學生當天本地的氣溫是幾度，學生已經熟練掌握自然數，說出并上臺書寫溫度是對舊知識的一個回顧。隨后，我利用多媒體設備展示了2015年12月哈爾濱的氣溫圖表，圖表上呈現的數字和學生當時寫在黑板上的溫度稍有不同，這時我向學生提了三個問題：1. 請大家觀察黑板上的數字和多媒體設備上的數字，它們的差別是什么？2. 哈爾濱12月的氣候是不是非常冷？3. 哈爾濱12月的溫度是用負數來表示的，那么大家想知道什么是負數嗎？當這三個問題拋出時，學生產生了更多的疑問，有學生提問：“是不是冷得下雪的溫度就是負數？”“負數比我們以前學的數字多了一個像減號一樣的符號，是不是這就是負數的標志？”……當思路完全打開后，學生將“寒冷、下雪”與“負數”聯想到一起，主動串聯以往學習的知識，并在課前情境創設中確定自己本堂課渴望解決的問題和想學習的知識方向，如此便完成了“action”的步驟，成功激發了學生求知的欲望。

二、概念導入，縷清學生思維脈絡

讓學生背誦一個數學概念并非難事，像前文提及的“負數”，讓學生知道它的定義就是比0小的數，這是非常簡單的，但是在APOS理論的第二階段，我們就是要通過一系列的教學設計深化數學概念，讓學生不僅知道概念，還能通過概念知道其意義所在，并在知識框架的搭建中逐漸建立對知識的理解體系。這一步驟一般運用于課堂呈現的環節，我們通常會花大部分時間在此夯實學生的知識建構。

同樣也以蘇教版小學數學五年級上冊第一單元《認識負數》為例，在課前導入階段學生已經對學習負數有了一定的期盼，那么在這一階段，我們主要解決以下三個問題：1. 負數存在的意義是什么？2. 負數和正數的區別和關系是什么？3. 負數在生活中主要運用到哪些地方？如果學生能在后續的學習中回答出這三個問題的答案，便可以確保他們對負數這一知識點的概念已經有了一定的框架搭建。

首先，為了加深學生對負數存在意義的感受，我們再次播放了天氣預報，盡管這是第二次出現，但學生的熱情依然不減，他們很好奇-3℃應該怎么讀，好奇到底是-3℃還是-13℃比較冷……他們產生疑問，說明他們已經融入了求知情境，也在不知不覺中感受到，當我們在表示寒冷的天氣時，負數的出現能準確地表達“冷”的含義；然后，當我們再一次將2015年12月哈爾濱的氣溫圖表與2015年12月海南的氣溫圖表同時放在一起時，學生通過自己的生活常識進行了判斷：正數是“熱”，負數是“冷”。盡管這樣的理解有些片面，但我們通過對北京1℃與哈爾濱-13℃的對比，學生逐漸分清正數與負數的關系，即它們是相反的量。最后一個步驟也是鞏固學生對概念理解的一個重要環節，即對負數在生活中的運用進行舉例。一開始學生只能想到溫度和海拔，后來，當我們不斷強化“正數和負數是相反的量”這一概念時，學生列舉出收入與支出、樓上和樓下、向左和向右、向前和向后等一系列相反的概念，并嘗試用正、負數進行表示，譬如以一樓為基準，上到二樓就是+1，下到地下室就是-1。學生舉的例子完全超乎我的想象，這就是他們內化概念的過程，同時也在知識的梳理中再次強化對概念的理解與運用。

三、練習鞏固，夯實學生思想基石

第三個步驟是object（對象階段），第四個步驟是schemes（圖式架構），我們之所以放在一起講，并不是否認了它們各自的重要性，而是因為它們聯系緊密、不可分割。對象階段是“學而時習之”的過程，新課標并不代表否定練習題與課后作業的意義，它們的存在同樣決定了學生對知識的鞏固程度，當然我們也應當豐富練習的方式，而不僅限于機械地抄寫與識記。最后的步驟是指學生對本課知識結構的建設，進而將知識轉化為常識，避免了課后即刻遺忘。在概念的學習與建構中，我們不僅要在“教”的呈現上奪人眼球，先發制人，還要在學生的理解與內化上加以探究，通過豐富而有效的練習，幫助學生在具體的“做”中鞏固概念，消化概念，把抽象化的概念知識轉化為更加具體形象的知識應用。

前文我們提到了進行action和processes對課堂知識進行導入和呈現，大部分學生已經成功地在這兩個步驟中對“負數”有了明確的認知，也清楚它與正數的關系及其在生活中的運用。那么在第三個環節中，我們在課堂上進行了一個小游戲，在游戲中做練習。首先，我讓學生各自用一張紙寫上一個數字，可以是-10至10以內的整數，當我喊出“比0大的數字”時，寫的是正數的學生全部舉起雙手，寫負數的同時蹲下，如果有人出錯便被淘汰。游戲看似簡單，但隨著概念的不斷變化與速度的加快，逐漸有學生出局，學生們在錯誤中發現了自己認識的不足，也在概念的不斷重復中進一步加深了印象。

圖式架構我們通常放在課堂的回顧環節，也就是練習之后，這樣我與學生有個交流的時間，可以談談今天學到了什么，什么難題還需要老師的幫助……同時，我們會根據第三個步驟——練習中出現的問題進行自評、互評和師評，讓每一個學生都能在自由開放的氛圍下完善自己的知識體系，而不因任何一個環節的缺漏而出現知識的斷層。

總之，概念學習并不是一只“猛虎野獸”，在實際教學中，我們要善于化抽象為具體，消除學生們的學習負擔，讓學生在經歷知識形成的過程中正確認識概念、理解概念、應用概念，這也是我們導入APOS理論的教學初衷。此外，我們在利用APOS理論指導教學時還應避免一個誤區——APOS理論并不是所有數學課都適用，可一旦我們在課程中貫穿了四個步驟，就要按照思路進行靈活調整，充分發揮學生的積極性，不拘泥于順序與條框。