多角度“對應”：函數的教學追求*——李庾南老師“方程組圖像解法”課例賞析

☉江蘇省南通市通州區育才中學　仲立中

多角度“對應”：函數的教學追求*——李庾南老師“方程組圖像解法”課例賞析

☉江蘇省南通市通州區育才中學仲立中

近兩年來，《中學數學》（下）刊載了多篇著名特級教師李庾南老師的課例研究文章，筆者受益其中，特別是李老師“學材再建構”的教學理念，深深影響著筆者的備課理念.筆者嘗試從“教教材”走向“自己理解教材而去教”的專業追求.最近，有機會找來李老師執教的“二元一次方程組的圖像解法”的教學錄像，認真研習之余，整理成文，供更多同行學習.

一、“二元一次方程組的圖像解法”教學概述

（一）教學目標

（1）創設情境，激發學生自主運用已有知識經驗建立一次函數與二元一次方程兩者之間的對應關系.

（2）引導學生從“數”的角度和“形”的角度來認識一次函數與解二元一次方程組的聯系，會用圖像法解二元一次方程組.

（3）引導學生通過實踐活動，“數”“形”結合，概括二元一次方程組的解的情況（三種）.

（二）教學過程

教學環節（一）：開課階段，探索一次函數與二元一次方程（組）兩者之間的對應關系.

教學活動：先由學生獨立思考，再安排全班交流討論.教師側重從不同角度引導學生理解.

方法1：從“形”的角度考慮，一次函數的圖像是直線，一次函數y=kx+b又叫作直線y=kx+b.過點（0，-1）和）作直線y=2x-1，過點）和）作直線如圖1，兩直線交于點P（1，1），則x=1時，兩函數的值相等，函數值為1.

圖1　

方法2：從“數”的角度考慮，兩個一次函數的解析式就是兩個關于x和y的二元一次方程，解由這兩個方程組成的方程組

則當x=1時，兩個一次函數的值相等，函數值為1.

教學環節（二）：講解“對應”背后的原理.

教師互動式講解.

（1）一次函數的解析式y=kx+b可以寫成二元一次方程kx-y+b=0的形式，反過來，任何一個二元一次方程kxy+b=0也可以寫成一次函數y=kx+b的形式.（邊總結，邊形成如下的板書）

一次函數與二元一次方程存在對應關系

（2）一次函數圖像的點的坐標都反映兩個變量之間的對應關系，即適合函數的解析式，因此也是對應的二元一次方程的解.

（3）一次函數對應一條直線，所以一個二元一次方程就對應一條直線，兩個二元一次方程就對應兩個一次函數，因此也就對應兩條直線.兩條直線的交點坐標滿足兩個函數的解析式，也就是滿足兩個二元一次方程，即為由這兩個二元一次方程組成的方程組的解.

（4）根據一次函數與二元一次方程組之間的這種聯系，可用一次函數的圖像解二元一次方程組——二元一次方程組的圖像解法.

教學環節（三）：例講示范，利用一次函數的圖像解二元一次方程組.

圖2　

兩直線的交點為M（-3，-3）.

跟進練習：用圖像法解方程組.（題目略）

教學環節（四）：從“數”和“形”的角度討論二元一次方程組解的情況.

一個交點…………………………………一解

圖3　

無交點……………………………………無解

圖4　

重合………………………………………無數解

教師總結：同一平面直角坐標系中，兩個一次函數的圖像位置關系有三種，對應的二元一次方程組的解有三種情況；二元一次方程組的解與對應項系數有關.

教學環節（五）：師生合作，通過課堂總結加深對本課內容的深刻理解.

圖像法求二元一次方程組解的特點.

由b和k很快確定二元一次方程解的情況.

由交點位置可判斷解的符號，但解為非整數時，不易寫出精確值.

二、課例賞析

熟悉李老師數學課例的同行應該知道，近年來李老師基于“學材再建構”的教學思想，往往以數學味極濃的數學現實引入新課，本課例也是這樣，李老師基于一次函數值相等與直線之間的對應關系引入新課.以下就圍繞“對應”的視角進一步給出四點賞析.

“對應”角度之一：兩個函數值相等與兩條直線交點坐標之間的關系

開課階段，李老師提出兩個一次函數的函數值相等問題，引導學生獨立思考后全班交流討論，然后李老師側重從不同角度引導學生理解函數值相等與直線交點坐標之間的關系.特別是從“形”的角度，通過函數圖像交點坐標與自變量、函數值之間的對應，讓學生既有直觀感知，又有數學上的精確運算相對應.

“對應”角度之二：一元一次函數與二元一次方程之間的對應關系

在學生從數、形的角度感知之后，李老師進行互動式講解，重點講授了一次函數與二元一次方程之間的對應關系，特別是精心設計的板書，通過箭頭示意，讓學生感受到二元一次方程與一次函數表達式之間的正反變形關系.感受到它們在本質上是一致的、和諧的.

“對應”角度之三：方程組的消元解法與一次函數圖像解法之間的對應關系

在例題示范教學階段，李老師親自板書示范了二元一次方程組圖像解法的規范格式，而不是用PPT快速翻過.學生可以在這個過程中，感受到此前已會的方程組消元解法是從運算的角度求解，而現在又多了“形”的方法，即圖像解法.雖然圖像解法對于這類二元一次方程組的求解并不一定是最優化的方法，但是追求問題的殊途同歸是數學教學上需要滲透的，也是讓學生感受同一問題在不同數學概念、工具、模型下的不同解法路徑，都可以獲得解決，感受數學不同知識領域的相融、和諧與一致.

“對應”角度之四：方程組解的情況與兩直線交點的對應關系

我們知道教材上一般都沒有給出二元一次方程組的一般形式，也就沒有展開對二元一次方程組的解的情況的討論.而在李老師這節課中，我們看到在“教學環節（四）”中，李老師不但從二元一次方程各項系數的角度分三種情況進行討論，并將這三種情況所對應的兩條直線在同一坐標系下的位置關系進行了對應，促進了學生對數形結合思想的理解.更重要的是，這樣處理，使學生在學習研究二次函數圖像（拋物線）與x軸的交點情況時，可以對應到一元二次方程的根的判別式（Δ）的取值.這種追求前后一致、滲透研究套路的教學，對于高層次學生是十分有益的.我們常常說的教學深度，由專家教師的這些教學細節中也可見一斑.

1.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺［J］.基礎教育課程（上），2014（2）.

3.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.

4.李庾南，陳育彬.中學數學新課程教學設計30例——學力是這樣發展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.Z

*本文系南通市教育科學“十一五”規劃重點課題“基于悟學理念的初中理科‘高效作業’實施策略研究”的階段性成果.