基于過(guò)程教育的“二次函數(shù)”課例及分析

☉浙江省象山縣石浦中學(xué)蘆　靈　蓓

基于過(guò)程教育的“二次函數(shù)”課例及分析

☉浙江省象山縣石浦中學(xué)蘆靈蓓

一、背景介紹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2011年版）》）根據(jù)數(shù)學(xué)具有過(guò)程和結(jié)果的雙重性特征，倡導(dǎo)統(tǒng)籌兼顧過(guò)程與結(jié)果，以全面發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能.但在以浙教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第一章第1節(jié)“二次函數(shù)”為載體的“多人同課異構(gòu)”式的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍存在過(guò)程教育不到位的問(wèn)題，導(dǎo)致不能滿足學(xué)生發(fā)展能力與個(gè)性、感悟其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法及積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的需要.網(wǎng)上查閱同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似現(xiàn)象.鑒于此，筆者在重復(fù)式觀課與反思基礎(chǔ)上，在浙江省特級(jí)教師鄔云德先生的指導(dǎo)下，對(duì)該課的教學(xué)進(jìn)行重建與再實(shí)踐，改進(jìn)后的教學(xué)得到了同仁的認(rèn)可.現(xiàn)將其整理出來(lái)，以饗讀者.

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷產(chǎn)生并感悟二次函數(shù)的過(guò)程——明確研究問(wèn)題

師：我們知道，許多實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)、反比例函數(shù)問(wèn)題.一次函數(shù)、反比例函數(shù)夠用了嗎？請(qǐng)大家解決下列問(wèn)題.

問(wèn)題1：小王存入銀行500元，先存一個(gè)一年期，一年后將本息轉(zhuǎn)存為又一個(gè)一年期.設(shè)年利率均為x，兩年后小王共得本息y元.問(wèn)：當(dāng)x=0.02時(shí)，y=？其實(shí)際意義是什么？

（約3分鐘后）

師：在這個(gè)問(wèn)題中，哪些量是常量？哪些量是變量？

生1：存入本金數(shù)500元是常量，所存年數(shù)是常量，年利率x及本息和y元是變量.

師：不錯(cuò).y關(guān)于x的函數(shù)解析式是什么？

生2：y=500（1+x）2，即y=500x2+1000x+500.

師：好的.當(dāng)x=0.02時(shí)，y=？其實(shí)際意義是什么？

生3：當(dāng)x=0.02時(shí)，y=520.2.其實(shí)際意義是500元錢存2年可得本息和520.2元.

師：好的.解決這個(gè)問(wèn)題經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生4：審題→分析→列式→求解→作答.

師：不錯(cuò).這個(gè)函數(shù)是不是一次函數(shù)？是不是反比例函數(shù)？

生5：它既不是一次函數(shù)，也不是反比例函數(shù).

師：不錯(cuò).這說(shuō)明從實(shí)際問(wèn)題中還可以抽象出新形式的函數(shù).其實(shí)，這種函數(shù)有豐富的情景.例如，函數(shù)等都是從生活問(wèn)題中抽象出來(lái)的.

師：既然這類函數(shù)有豐富的現(xiàn)實(shí)情景，就有研究這類函數(shù)的必要.這類函數(shù)有何特征？有何性質(zhì)？有何用處？本章就來(lái)研究這些問(wèn)題.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：參與定義二次函數(shù)的活動(dòng)——形成二次函數(shù)的概念

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家依次思考下列問(wèn)題.

題1：（1）函數(shù)y=500x2+1000x+500與一次函數(shù)、反比例函數(shù)相比有何特點(diǎn)？

（2）函數(shù)“y=500x2+1000x+500，y=-x2+58x-112，y=有何共同特征？（提示：可從不同角度進(jìn)行觀察）

（3）能類比一次函數(shù)的本質(zhì)特征給出上述函數(shù)的本質(zhì)特征嗎？

（4）像定義一次函數(shù)一樣，怎樣定義上述類型的函數(shù)？

（約3分鐘后）

師：誰(shuí)來(lái)回答（1）？

生6：它的自變量x的最高次數(shù)是2次.

生7：右邊的代數(shù)式是整式（二次三項(xiàng)式）.師：不錯(cuò).誰(shuí)來(lái)回答（2）？

生8：它們都有兩個(gè)變量.

師：不錯(cuò).你是從變量的個(gè)數(shù)角度來(lái)歸納.

生9：它們表示變量的字母的最高次數(shù)都是2次.

師：好的.你是從表示變量的字母的次數(shù)角度來(lái)歸納.

生10：它們右邊的代數(shù)式都是整式.

師：不錯(cuò)！你是從代數(shù)式的類型角度來(lái)歸納.

生11：它們都不是方程.

師：有道理.你是用方程概念來(lái)歸納.

生12：它們都可以表示為y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的形式.

師：非常好！大家從不同角度發(fā)現(xiàn)了這類函數(shù)有許多特征.誰(shuí)來(lái)回答（3）？

生13：其本質(zhì)特征是“函數(shù)”、“二次”、“整式”.

生14：其本質(zhì)特征是具有“y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）”的形式.

師：有道理.誰(shuí)來(lái)回答（4）？

生15：形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫作二次函數(shù).

師：好的.這里的a叫作二次項(xiàng)系數(shù)，b叫作一次項(xiàng)系數(shù)，c叫作常數(shù)項(xiàng).

師：二次函數(shù)y=-x2+58x-112的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是什么？

生16：a=-1，b=58，c=-112.

師：不錯(cuò).二次函數(shù)y=πx2呢？

生17：a=π，b=0，c=0.

師：好的.在y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）中，為什么要規(guī)定a≠0？為什么不規(guī)定b和c也必須不為零？

生18：若a=0，則它不是二次函數(shù).當(dāng)a≠0時(shí)，b=0或c= 0，它是二次函數(shù).

師：好的.獲得二次函數(shù)概念經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生19：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出研究對(duì)象→觀察對(duì)象的個(gè)體特征→歸納對(duì)象的共同特征→抽象對(duì)象的本質(zhì)特征→用文字和符號(hào)定義與表示二次函數(shù).

師：好的.在這個(gè)過(guò)程中體現(xiàn)了抽象思想、歸納思想、符號(hào)表示思想等.

師：二次函數(shù)與一元二次方程有何區(qū)別與聯(lián)系？

生20：二次函數(shù)刻畫的是變量之間的變化關(guān)系；一元二次方程刻畫的是常量之間的相等關(guān)系.二次函數(shù)的一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0），而一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）.

師：非常好.它們都是描述現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.

環(huán)節(jié)3：參與嘗試概念應(yīng)用的活動(dòng)——合作解答有代表性問(wèn)題

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家合作解答下列問(wèn)題.

題2：如圖1，一張正方形紙板的邊長(zhǎng)為2cm，將它剪去4個(gè)全等的直角三角形（圖中陰影部分）.設(shè)AE=BF=CG=DH=x（cm），四邊形EFGH的面積為y（cm2）.問(wèn)：（1）y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍分別是什么？（2）當(dāng)x分別為0.25，0.5，1，1.5，1.75時(shí)，對(duì)應(yīng)四邊形EFGH的面積分別是多少？（建議小組成員分工合作）

（約5分鐘后）

師：誰(shuí)來(lái)解答（1）？

圖1　

師：不錯(cuò).這就是說(shuō)所求函數(shù)是y=2x2-4x+4（0

師：確定實(shí)際問(wèn)題自變量取值范圍有何經(jīng)驗(yàn)？

生22：既要考慮使函數(shù)關(guān)系式有意義，還要注意問(wèn)題的實(shí)際意義.

師：不錯(cuò).誰(shuí)來(lái)回答（2）？

生23：計(jì)算結(jié)果如表1：

表1　

師：好的.請(qǐng)大家課后思考：表1中的數(shù)據(jù)有何特點(diǎn)？

師：解決這個(gè)問(wèn)題經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生24：分析→列式→求值.

師：不錯(cuò).下面請(qǐng)大家再解答下列問(wèn)題.

題3：已知二次函數(shù)y=x2+bx+c，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值是4；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值是-5.問(wèn)：（1）這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是什么？（2）當(dāng)x=-3時(shí)，y=？

（約3分鐘后）

師：誰(shuí)來(lái)解答（1）？

生25：把x=1，y=4；x=2，y=-5分別代入函數(shù)式y(tǒng)=x2+ bx+c，得方程組解這個(gè)方程組，得所求二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x2-12x+15.

師：好的.誰(shuí)來(lái)解答（2）？

生26：當(dāng)x=-3時(shí)，y=60.

師：好的.求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式的策略與方法分別是什么？

生27：策略：把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題.方法：待定系數(shù)法.

師：好的.函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題的策略和用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的方法以后會(huì)經(jīng)常用到.確定二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的a，b，c需要幾個(gè)條件？

生28：需要3個(gè)條件.

師：不錯(cuò).由于本題a=1是已知條件，所以只要2個(gè)條件就夠了.

師：?jiǎn)栴}（2）求函數(shù)表達(dá)式與問(wèn)題（3）求函數(shù)表達(dá)式有何不同？

生29：?jiǎn)栴}（2）函數(shù)類型未知，需要根據(jù)題目的條件列函數(shù)關(guān)系式.問(wèn)題（3）函數(shù)類型已知，可用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式.

師：好的.這兩種題型以后會(huì)經(jīng)常遇到.下面請(qǐng)大家完成課本中的練習(xí)題.

（待學(xué)生完成任務(wù)后，教師組織學(xué)生交互反饋與評(píng)價(jià)）

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

首先，教師出示下列“問(wèn)題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問(wèn)題清單”進(jìn)行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

（2）何謂二次函數(shù)？定義二次函數(shù)經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

（3）二次函數(shù)與一元二次方程有何區(qū)別？

（4）求二次函數(shù)表達(dá)式有何經(jīng)驗(yàn)？

（5）你在學(xué)習(xí)過(guò)程中有何感觸？你認(rèn)為還應(yīng)該研究什么？

其次，教師組織學(xué)生進(jìn)行合作交流，同時(shí)教師邊傾聽(tīng)、邊評(píng)價(jià).

最后，教師讓學(xué)生欣賞二次函數(shù)的自述.（略）

三、教學(xué)分析

過(guò)程教育不是偏面強(qiáng)調(diào)過(guò)程，而是根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)果的地位與作用，以及獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的過(guò)程和所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的價(jià)值適度關(guān)注過(guò)程，以全面發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能.“二次函數(shù)”是系統(tǒng)研究函數(shù)的繼續(xù)——從函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)到二次函數(shù).它也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量變化關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，研究二次函數(shù)的思想方法具有普適性.從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出二次函數(shù)的過(guò)程和所蘊(yùn)含的生活常識(shí)、抽象思想等；定義二次函數(shù)的過(guò)程和所蘊(yùn)含的歸納思想、符號(hào)表示思想等；用二次函數(shù)解答有代表性問(wèn)題的過(guò)程和所蘊(yùn)含的解題策略、方法和技巧等.這些對(duì)發(fā)展學(xué)生智力、能力和個(gè)性有積極影響.目前在該課的教學(xué)中普遍存在獲得概念的認(rèn)知過(guò)程短暫和獲得概念及解決問(wèn)題之后反思過(guò)程缺失的問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的認(rèn)識(shí)沒(méi)有達(dá)到一定的“深度”和“寬度”，也不能滿足學(xué)生感悟思想、積累經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展能力和個(gè)性的需要.

本課例根據(jù)“二次函數(shù)”的地位與作用及其蘊(yùn)含的教育價(jià)值，將其教學(xué)立意于過(guò)程教育，并以有代表性的問(wèn)題為載體，從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，運(yùn)用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過(guò)程.在“產(chǎn)生具體二次函數(shù)”的教學(xué)中，既有回顧與提出問(wèn)題的過(guò)程，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又有“審題→分析→列式→解答”的過(guò)程，以產(chǎn)生具體二次函數(shù)，也有解決問(wèn)題之后的反思，以及回顧利用函數(shù)解決問(wèn)題的思維過(guò)程和感悟二次函數(shù)有豐富情景.盡管產(chǎn)生二次函數(shù)有多種方法，但教材采用的是從生活實(shí)例中抽象出二次函數(shù)的方法.事實(shí)上，這種方法更有利于學(xué)生體會(huì)二次函數(shù)的意義.在“定義二次函數(shù)”的教學(xué)中，既有“觀察→歸納→抽象→定義與表示”的過(guò)程，以獲得二次函數(shù)概念，又有獲得概念之后的反思，以加深認(rèn)識(shí)二次函數(shù)，感悟其蘊(yùn)含的思維和思想及二次函數(shù)與一元二次方程的區(qū)別與聯(lián)系.在“解決有代表問(wèn)題”的教學(xué)中，既有“分析→列式→求解”的過(guò)程，以解決給定的求函數(shù)表達(dá)式問(wèn)題，又有解決問(wèn)題之后的反思，以明確求二次函數(shù)表達(dá)式有兩種題型.

參與研修的教師普遍認(rèn)為，本課例雖沒(méi)有高深別致的題型，也沒(méi)有跌宕起伏的情節(jié)，更沒(méi)有熱鬧非凡的場(chǎng)面，但通過(guò)“設(shè)疑、解疑、質(zhì)疑”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)質(zhì)性思維過(guò)程，體現(xiàn)了統(tǒng)籌兼顧過(guò)程與結(jié)果的理念.因此，一般地，處于歸納層次的概念教學(xué)要經(jīng)歷“用適當(dāng)?shù)姆椒ㄌ岢鰡?wèn)題→用適當(dāng)?shù)姆椒óa(chǎn)生對(duì)象→觀察對(duì)象的個(gè)體特征→歸納對(duì)象的共同特征→抽象對(duì)象的本質(zhì)特征→定義與表示對(duì)象→反思其蘊(yùn)含的思維與思想→解決有代表性問(wèn)題”的過(guò)程，并在認(rèn)知過(guò)程中要留給學(xué)生自主思考與實(shí)踐的時(shí)間和合作交流的機(jī)會(huì)，以體現(xiàn)過(guò)程教育和以學(xué)為中心思想，促使學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)達(dá)到一定的“深度”和“寬度”，促使學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)提出問(wèn)題，獨(dú)立思考問(wèn)題，合作探究問(wèn)題，以及養(yǎng)成敢于質(zhì)疑、善于表達(dá)、認(rèn)真傾聽(tīng)、勇于評(píng)價(jià)和不斷反思的良好品質(zhì)和習(xí)慣.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.范良火.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（九年級(jí)上冊(cè)）［M］.杭州：浙江教育出版社，2014.