論數學的相似性教學

廖鏡海

數學的相似性，表現在數學的各個分支，如方程與不等式的相似、分數與分式的相似、平面幾何與立體幾何的相似，等等。將這些相似的內容，集中在一起統一教學方式，分析共同點和差異點，稱之為相似性的教學活動，通常會取得更加顯著的教學成果。怎樣才能夠更好地進行相似性教學活動？教師應主要從三個方面的知識結構進行分析。

一、相似的教學內容一定要分內容的先后順序，由簡單到復雜

張光鑒在他的《教育科學與相似論》中提出，人們大腦的思維依賴于其在學習與實踐活動中積累起來而貯存在大腦中的知識單元——相似塊，人們總是先從事物的形式相似入手，然后才去認識事物運動的相似、結構的相似、聯系的相似，進而認識到事物千變萬化中那些相對不變的本質，最終達到對事物客觀規律的認知。如學生學習一元一次不等式的時候，就會想到其和一元一次方程的相似點，從而學會解一元一次不等式。一元一次方程和一元一次不等式，從解答的角度來看，方程的解是單一的“x=a”形式，而不等式則是一個解集“xa）”的形式。所以在教學這兩個內容的時候，教師應首先講解一元一次方程，再進行一元一次不等式的分析，這樣就遵循了學生思維認知發展的規律，循序漸進。

相似性具有將學生已有知識和經驗、正在學習和將要學習的知識進行融會貫通的作用，因此就知識層次方面的關系而言，知識的學習應該遵循由簡單到復雜的過程。學生只有掌握簡單的基本方法，才能更好地學習后繼的內容，從而激活、遷移大腦中已有的相似塊與新的、具有大量相似性學習內容（經選擇、重組后的學習內容）進行相似激活、相似匹配、相似重組、相似創造，最終對自己參與學習的方法、效果、過程進行相似反饋、相似調節、相似評價。

二、相似性的教學內容，強化兩者之間的共同點

以一元一次方程和一元一次不等式為例。

可以看到，兩者的共同點去分母、去括號、移項合并，這三個步驟是一樣的，一定要強化這三個步驟，認識到一元一次方程和一元一次不等式的共同點。

共同點并不屬于學習上的遷移，具體來說是知識學習的重復化過程，在這一過程中起著重要作用的是學生已有經驗（知識結構）的概括性問題。將一元一次方程的三個步驟學好，當學習一元一次不等式的時候，也能運用自如。

相似內容的相似知識點，可以運用一樣的理念去解決問題的一部分，也突出了相似的概念。其知識結構，實質上就是學生大腦中已有的相似板塊。所以，在教學中不斷認識、遷移、組合、更新和豐富學生大腦中賴以思維的相似板塊，可以幫助、指導學生在最短時間內認清事物的本質，即在其大腦內部形成快速反應通道。在解決問題過程中，強化兩者之間的共同知識結構，能大幅度地提高學習效果。

三、相似性的教學內容，差異點的分析是解決問題的關鍵

差異點，就是指相似性內容的不同之處的知識結構。當解決了共同點之外，差異點就成為了問題的關鍵。

以一元一次方程和一元一次不等式的最后一步為例。

這就是一元一次方程和一元一次不等式的差異點，其核心知識區別為：方程的兩邊乘以或除以不為0的數，方程仍然成立；而不等式的兩邊乘以或除以不為0的正數，不等式的符號方向不改變，不等式的兩邊乘以或除以不為0的負數，不等式的符號方向改變。

差異點在整個解題的過程中，所表達的就是新的知識點，是相似性內容之外的東西，是一個獨立的知識結構，學生在學習的過程中，以對比的學習方式進行，更加體現出相似性內容的相似性，不相似性內容之間的聯系、區別。正是差異點的存在，和共同點組成了新的知識，共同點能夠幫助復習舊知識，而能否掌握差異點的核心知識，是新知識能否掌握的關鍵所在。

相似塊的教學策略的實質，就是要在教學實踐中，以知識和技能為中介，不斷培養學生應用相似原理，掌握識別、發現、利用事物間在形式、過程、結果、結構、功能等方面存在的相似性的方法與策略。這就使學生個體在遇到學習、生活問題時，能夠在大腦中迅速檢索到原先儲存著的一種相似板塊（長時記憶即舊知識體系），準確地識別新舊知識間在本質上存在著的相似性。

四、案例分析

從分數到分式：①猜迷語7/8（打一成語）。（七上八下）。說明分數是由分子、分母、分數線構成的，它表示的是兩個整數的比的形式。②請賦予7/8一個實際的意義（一個圓餅平均分成八份，取其中的七份）。問如果分成了x份、x+1份，取其中的七份應該如何表示？（學生回答：7/x、7/x+1）

用猜迷語的方法先引入分數，將分數的分母轉化為含有字母的代數式，讓學生能領會到兩者的相似點和差異點。分數與分式的區別在于一個是兩個整數的比而另一個是兩個整式的比，而整式與分式的區別在于一個的分母是數而另一個分母中含有字母。分數拓展了學生進一步理解分式的條件，拓寬運用數學相似方法解決問題的思維方式。

責任編輯 羅 峰