研究生隨機微分方程課程的教學探索

楊曉麗++張麗

【摘要】研究生教育處于整個教育鏈的最頂端，如何做好研究生教學工作對教育強國具有至關重要的作用。鑒于此，本文對研究生課程隨機微分方程穩定性的教學方法和教學目的進行分析探索，提出研究生教學工作既要傳授本學科堅實的基礎理論和系統的專業知識、又要培養學生的科學研究能力和創新精神。

【關鍵詞】隨機微分方程 隨機穩定性 教學探索

【中圖分類號】O211.63 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）09-0112-02

系統隨著時間的演化規律可以用微分方程來描述。隨機噪聲無處不在，它廣泛存在自然科學、社會科學及工程領域。科學發展驅動微分方程和隨機過程相結合而形成一個新的數學分支——隨機微分方程。隨機微分方程的穩定性分析不僅有著深刻的理論意義，還具有潛在應用價值，它廣泛應用于經濟金融、非線性科學、航空航天、控制科學、物理學、生物學、網絡科學等領域。關于隨機微分方程的穩定性已經有一些成熟的理論和方法，感興趣的讀者可以參考專著[1]。常見的隨機微分方程的穩定性定義有隨機穩定性及隨機漸近穩定性、P階矩穩定性及P階矩漸近穩定性、P階矩指數穩定性及P階矩全局指數穩定性、幾乎必然穩定性等。

在隨機微分方程的教學過程中，教師不僅傳授給本學科的背景、堅實的基礎理論和系統的專業知識，更要結合所從事的研究領域，更要引導學生，如何利用專業基礎知識，逐步開展創新性的科研工作。接下來說明如何結合隨機微分方程穩定性的相關理論知識，展開復雜網絡同步動力學領域的科學研究工作。事實上，隨著網絡科學的興起，復雜網絡正在成為描述、研究復雜體系的最合適模型。同步是復雜網絡集群動力學的一種表現形式，它可以是系統輸出軌道的步調一致，也可以是系統之間相位的鎖定。復雜網絡的動力學演化規律可以由高維的隨機微分方程控制，從而隨機微分方程零解的穩定性分析在復雜網絡的同步研究中具有重要的應用。具體地，我們闡述隨機時滯微分方程的LaSalle型不變性定理在耦合網絡同步研究中的應用。

首先系統講解LaSalle型不變性定理的相關理論知識和該定理使用條件。

對于n維泛函隨機微分方程：

dx（t）=f（x（t），x（t-■），t）dt+g（x（t），x（t-■），t）dw（t）. （1）

其中f：Rn×Rn×R+→Rn，g：Rn×Rn×R+→Rnxm，f和g滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件，w（t）=（w1（t），w2（t），…，wm（t））T∈Rm是標準布朗運動，則給定初值{x（？茲）：-■≤？茲≤0}=ξ∈■（[-■，0]；Rn），系統（1）在t≥-■上存在唯一的連續解，且對于任意給定的p>0，有E■<∞對任意T>0成立。

引理[2]（隨機時滯微分方程LaSalle型不變性定理） 假設系統（1）滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件，且存在函數V∈■2，1（Rn×R+；R+），？酌∈？詛1（R+；R+）以及ω1，ω2∈■（Rn；R+）滿足：（i）對任意的（x，y，t）∈Rn×Rn×R+，成立？詛V（x，y，t）≤？酌（t）-ω1（x）+ω2（y）.

則對任意初值？孜∈■（[-■，0]；Rn），系統（1）的零解為幾乎必然漸近穩定的，即■x（t；？孜）=0。

進一步引入耦合網絡模型，并闡述耦合網絡的演化方程與隨機微分方程、耦合網絡同步與隨機微分方程零解穩定性之間的內在聯系，引導學生利用專業理論知識進行科學研究。

Ui（t）∈Rn（i=1，2，…，N）是待定的控制函數。耦合網絡（2）在合適的控制函數作用下，將達到完全同步，具體如下：

定理 對于耦合網絡模型，如果采用下面的控制器和更新規則

Ui（t）=-ki（t）ei（t）-g（yi（t））+f（xi（t））-G（yi（t））■+F（xi（t））■+■（cij-dij）Qxj（t-■（t））. （2）

其中ki（t）是反饋強度，更新增益？姿為任意正常數，■和■是分別是未知參數？琢和？茁的估計，r1、r2>0，則耦合網絡在幾乎必然漸近穩定性意義可以達到同步。

若定義誤差狀態變量ei（t）=yi（t）-xi（t），i=1，2，…，N，

則誤差系統可以表示為

dei（t）=[-ki（t）ei（t）-F（xi（t））（？琢-■）+G（yi（t））（？茁-■）+■dijQej（t-■（t））]dt+Hidw（t），i=1，2，…，N， （3）

顯然，該誤差系統是形如方程（1）隨機時滯微分方程，根據隨機時滯微分方程LaSalle型不變性定理，可以證明誤差方程（3）的零解是幾乎必然漸近穩定的，從而耦合網絡在幾乎必然漸近穩定性意義下達到完全同步。鑒于篇幅，具體過程略。

本文以隨機時滯微分方程的LaSalle型不變性定理在耦合網絡同步研究中的應用為案例，說明隨機微分方程教學中不僅要講授專業的理論基礎知識，更要引導學生，如何利用專業基礎知識，逐步開展創新性的科研工作，這為研究生利用本學科的專業知識進行科學研究和創新起到拋磚引玉的作用。

參考文獻：

[1]胡適耕，黃乘明，吳付科.隨機微分方程. 北京： 科學出版社， 2008.

[2]X.R.Mao.A note on the LaSalle-type theorems for stochastic differential delay equation. J. Math. Appl.， 2002， 268 （1）： 125-142.

作者簡介：

楊曉麗（1979-），女，漢族，博士，陜西師范大學數學與信息科學學院副教授，研究方向：隨機動力系統。