解析幾何中的定點(diǎn)定值問題的策略與方法

筅江蘇省徐州高級(jí)中學(xué)　田淑華

解析幾何中的定點(diǎn)定值問題的策略與方法

筅江蘇省徐州高級(jí)中學(xué)田淑華

在近幾年的高考中，有關(guān)解析幾何的定點(diǎn)、定值問題頻頻出現(xiàn)，該類問題知識(shí)綜合性強(qiáng)，方法靈活，對(duì)運(yùn)算能力和推理能力要求較高，因而成為了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).定點(diǎn)、定值問題都是探求“變中有不變的量”.因此要用全面的、聯(lián)系的、發(fā)展的觀點(diǎn)看待并處理此類問題.從整體上把握問題給出的綜合信息，并注意挖掘問題中各個(gè)量之間的相互關(guān)系，恰當(dāng)適時(shí)地運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊到一般、相關(guān)點(diǎn)法、設(shè)而不求、換元、消元等基本思想方法.下面筆者通過具體的例子來說明這類問題的求解.

一、定點(diǎn)問題

定點(diǎn)問題一般借助橢圓或圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.

例1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記二次函數(shù)f（x）= x2+2x+b（x∈R）與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn).經(jīng)過三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.

（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）問：圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

解析：（1）（2）略.

（3）方法1（特殊一般法）：由（2）知，圓C的方程為x2+ y2+2x-（b+1）y+b=0.分別令b=0，-1，得方程組或

所以圓C過定點(diǎn)（0，1）和（-2，1）.證明如下：

將點(diǎn)（0，1）的坐標(biāo)代入方程，左邊=02+12+2×0-（b+1）+b=0，右邊=0，所以圓C過定點(diǎn)（0，1）.

同理可證圓C過定點(diǎn)（-2，1）.

方法2（參數(shù)無關(guān)法）：圓C必過定點(diǎn)，證明如下：

假設(shè)圓C過定點(diǎn)（x0，y0）（x0，y0不依賴于b），將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，得++2x-y+b（1-y）=0（*）.000

為使（*）式對(duì)所有滿足b<1（b≠0）的b都成立，必須有1-y0=0，結(jié)合（*）式得解得或

經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)（0，1）、（-2，1）均在圓C上，因此圓C過定點(diǎn).

評(píng)注：定點(diǎn)問題通常先求出動(dòng)曲線方程，而后求定點(diǎn)有兩種方法：方法1通過取特殊值找出定點(diǎn)，然后加以證明；方法2利用定點(diǎn)與參數(shù)無關(guān)，從而含參數(shù)的動(dòng)圓方程恒成立，利用系數(shù)關(guān)系求出定點(diǎn).

二、定值問題

在近幾年的高考和高考模擬試題中有很多解析幾何問題由于所給問題有很好的對(duì)稱和對(duì)等性，其運(yùn)算過程也具有很好的對(duì)偶性.如果能夠充分利用其內(nèi)在的美學(xué)因素，配合正確的解題策略，那么運(yùn)算就會(huì)更加自然流暢.

1.運(yùn)用設(shè)而不求的思想求解例2如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B、C是橢圓=1（a>b>0）上不同的三點(diǎn)，A2，B（-3， -3），點(diǎn)C在第三象限，線段BC的中點(diǎn)在直線OA上.

圖1　

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上（異于點(diǎn)A、B、C），且直線PB、PC分別交直線OA于M、N兩點(diǎn)，證明為定值并求出該定值.

解析：（1）（2）略.

設(shè)P（x0，y0），M（2y1，y1），N（2y2，y2）.

從而y1y2=

評(píng)注：本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法.第（3）問中設(shè)出點(diǎn)P、M、N的坐標(biāo)，建立等量關(guān)系求解，體現(xiàn)“設(shè)而不求”思想.

2.通過設(shè)坐標(biāo)求解

定值問題，先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并看作參數(shù)，再根據(jù)條件依次求出相關(guān)量，建立與參數(shù)的聯(lián)系，將橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓的方程這一基本條件代入消參.

圖2　

例3如圖2，M、P是圓O：x2+ y2=r2（r>0）上任意兩點(diǎn)，圓O上的點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，直線MP、NP分別與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求證：A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值.

證明：設(shè)M（x1，y）1，P（x2，y2），則N（x1，-y1），且

設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為xA，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為xB，由M、P、A三點(diǎn)共線得，于是

用-y1替換y1得x，所以xAxB=

綜上，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值r2.

三、定位問題

圖3　

例4如圖3，設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明：A、C、O三點(diǎn)共線.

證明：因?yàn)閽佄锞€y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+，代人拋物線方程得y2-2pmy-p2= 0.若記A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2=-p2.因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為故直線CO的斜率為k=即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.即證得A、C、O三點(diǎn)共線.

評(píng)注：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)、直線的方程和性質(zhì)，以及學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯推理能力.也可直接利用拋物線的幾何性質(zhì)結(jié)合平面幾何相似比例求解.它直觀簡(jiǎn)明，避免計(jì)算量大，是解答小題的首選方法，也是解答大題的重要方法.

四、最值與范圍問題

解析：設(shè)直線PQ的方程為x=c+my，P（x1，y1），Q（x2，y2），將直線方程代入橢圓方程得（b2m2+a2）y2+2b2cmy-b4= 0.故y1+y2=-

而△F1PQ的面積S=c|y1-y2|=c

令t=m2+1（t≥1），則S=2ab

評(píng)注：以上兩題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，并結(jié)合基本不等式求最值或范圍.

通過以上幾個(gè)典型例題的分析，我們可以得到解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題的方法：求出動(dòng)曲線的方程，根據(jù)方程可由特殊一般法或者運(yùn)用參數(shù)方程消參法確定定點(diǎn).而最值與范圍問題的方法通常是從函數(shù)、基本不等式及幾何意義這三個(gè)方面去考慮.

總之，定點(diǎn)、定值問題是解析幾何的一個(gè)難點(diǎn)，是多年來高考的一個(gè)熱點(diǎn).這類問題在高考中常以解答題的形式出現(xiàn)，又時(shí)常具有壓軸性質(zhì)，因此是眾多考生、教師、專家與學(xué)者關(guān)注的一個(gè)焦點(diǎn).定點(diǎn)的問題往往表現(xiàn)為“直線過定點(diǎn)”、“曲線過定點(diǎn)”、具有某種性質(zhì)的點(diǎn)為定點(diǎn)等，定點(diǎn)的坐標(biāo)為定值；定值的問題往往表現(xiàn)為求解或證明某個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式為定值.定點(diǎn)、定值問題都需要根據(jù)條件、定義、定理、性質(zhì)、結(jié)論等，經(jīng)過計(jì)算、推理、論證等確定某點(diǎn)的坐標(biāo)，或某個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式為常數(shù)，此常數(shù)與變量或參數(shù)無關(guān).只要我們?cè)谄綍r(shí)的解題實(shí)踐中多總結(jié)、多反思就能不斷地積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力.F