淺談圓錐曲線最值處理策略

筅江蘇省徐州市第三中學　牛含冰

淺談圓錐曲線最值處理策略

筅江蘇省徐州市第三中學牛含冰

圓錐曲線的最值問題是高考常考題型，解答此類問題的途徑是利用平面幾何的幾何性質及坐標法、代入消元法、根與系數的關系等，將幾何問題代數化后，構造目標函數，再利用相關方法求函數的最值，下面通過引例加以說明.

引例設P，Q分別為圓x2＋（y-6）2＝2和橢圓＋y2＝1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是（%）.

解析：設圓心為點C，則圓x2＋（y-6）2＝2的圓心為C（0，6），半徑r＝.設點Q（x0，y0）是橢圓上任意一點，則

點評：本題解答中利用坐標法將幾何問題代數化后，構造出目標函數為二次型，進而利用二次函數配方法求最值.求解中注意橢圓中x，y的取舍范圍，即-a≤x≤a，-b≤y≤b.

除了二次函數配方法求最值外，還常涉及以下幾種方法.

一、利用三角函數的有界性

例1同引例.

點評：圓錐曲線的參數方程建立了其與三角之間的聯系.同理圓心在（x0，y0）半徑為r的圓的參數方程為參數θ為圓心角）；雙曲線=1的參數

同樣可求得D到直線AC的距離：d2≤

所以SABCD≤

點評：A、C兩點在橢圓上，A（5，0），C（0，4），欲求四邊形ABCD面積的最大值，可將四邊形分成兩個三角形，顯然A、C是定點，則|AC|為定值，因此四邊形應分成△ADC，△ABC，只要分別在AC兩側橢圓弧上求一點，使它到AC的距離最遠即可.本題最值求解中利用了函數f（x）=Asin（ωx+φ）的性質.

二、利用均值不等式法

（Ⅰ）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標原點）；

解析：（Ⅰ）證明：由題意可知，F的坐標是（-2，0），設T點的坐標為（-3，m），則直線TF的斜率

當m≠0時，直線PQ的斜率kPQ＝，直線PQ的方程是x＝my-2.

當m＝0時，直線PQ的方程是x＝-2，也符合x＝my-2的形式.

設P（x1，y1），Q（x2，y2），將直線PQ的方程與橢圓C的

點評：此類最值問題是高考重點.通過坐標法、代入消元法、判別式及根與系數的關系，所幾何問題代數化后構造出目標函數，再將目標函數轉化為適合均值不等式的類型.解題中若沒找到構造均值不等式的途徑，可先用換元法簡化函數式結構，如本題中在求出目標函數后，可假設m2+1=t，則目標函數可轉化為從而將均值不等式的形式顯現出來.

三、利用導數法

例3在平面直角坐標系xOy中，F是拋物線C：x2= 2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為

（Ⅰ）求拋物線C的方程.

（Ⅱ）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

解：（Ⅰ）x2=2y.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則有

點評：本題求解中利用點到直線的距離、圓的幾何性質結合坐標法、消元法、根與系數的關系以及弦長公式等，求得的目標函數為高次函數，可考慮用導數法求最值.上述解答中先通過換元，將目標函數降次，再利用導數求最值.Z