從特殊到一般：類比全等學(xué)相似——以“圖形的相似”教學(xué)為例

☉江蘇省灌南縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)韓賢

從特殊到一般：類比全等學(xué)相似——以“圖形的相似”教學(xué)為例

☉江蘇省灌南縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)韓賢

我們知道，平面幾何教學(xué)時(shí)，都是先學(xué)全等，然后在等腰三角形、平行四邊形等知識(shí)教學(xué)之后“隔了很久”才學(xué)習(xí)相似，而這兩個(gè)知識(shí)領(lǐng)域卻有著十分緊密的聯(lián)系，全等可以看成是相似的特例（相似比為1）.本文記錄新近筆者開設(shè)的一節(jié)公開課，基于從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生類比全等學(xué)習(xí)相似起始課，課后及時(shí)進(jìn)行了教后反思，一并梳理出來，提供分享.

一、“圖形的相似”教學(xué)流程

1.復(fù)習(xí)舊知，引入新課問題1：什么叫全等形？它們?cè)谛螤睢⒋笮∩嫌泻翁卣鳎繂栴}2：兩個(gè)全等的三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角有什么關(guān)系？

PPT出示圖片（如圖1）.

問題3：它們是全等形嗎？（不是）它們又有什么特點(diǎn)呢？（形狀相同）

板書：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

圖1

2.鞏固概念，識(shí)別相似

預(yù)設(shè)提問：

（1）你能舉出生活中一些相似圖形的例子嗎？

（2）我們知道從物體的輪廓中可以抽象出幾何圖形，你能舉出相似的幾何圖形的例子嗎？

（3）圖2中的三組圖形，是否相似？

（4）如果圖形A和圖形B相似，圖形B和圖形C相似，請(qǐng)問圖形A和圖形C相似嗎？為什么？（表明：相似具有傳遞性）

跟進(jìn)練習(xí)：圖5中哪些圖形和圖3相似？為什么？哪些圖形和圖4相似？

圖2

圖3

圖4

圖5

追問：通過這個(gè)練習(xí)，你對(duì)圖形的相似有哪些新的認(rèn)識(shí)？（只與圖形的形狀有關(guān)，而與位置的擺放沒有關(guān)系）

3.觀察猜想與思考

提問：如圖6，從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎？為什么？

追問：猜想一下，它們的對(duì)應(yīng)角有什么關(guān)系？對(duì)應(yīng)邊又有怎樣的關(guān)系呢？過渡：帶著你的猜想、疑問進(jìn)入下一階段的探索吧！觀察特例：

提問：請(qǐng)大家看圖7，△A1B1C1就是由正△ABC放大后得到的，你認(rèn)為它們的對(duì)應(yīng)角有什么關(guān)系？對(duì)應(yīng)邊的比有什么關(guān)系呢？

圖6

圖7

圖8

追問：圖8是兩個(gè)相似的正六邊形，你從中可得到什么結(jié)論？為什么？如果是兩個(gè)正五邊形呢？

通過剛才的研究，你能得出怎樣的結(jié)論？（相似正多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等）

4.例題講評(píng)

例1如圖9，六邊形ABCDEF與六邊形A′B′C′D′E′F′相似.

圖9

（1）求相似比.

（2）求∠A和∠B′的度數(shù).

（3）求邊CD，EF，A′F′，D′E′的長.

（3）由兩個(gè)六邊形相似，引導(dǎo)學(xué)生靈活選取對(duì)應(yīng)比成比例，比如由，所以所以，所以，所以CD=cm.

例2如圖10，在一矩形花壇ABCD的四周修筑小路，使得相對(duì)兩條小路的寬均相等.花壇AB=20m，AD= 30m.小馬同學(xué)認(rèn)為只要每條小路的寬都相等，所圍成的矩形A′B′C′D′與矩形ABCD就一定相似.你認(rèn)為小馬同學(xué)的判斷正確嗎？

預(yù)設(shè)追問：試問小路的寬x與y的比值為多少時(shí)，能使小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′與矩形ABCD相似？請(qǐng)說明理由.

預(yù)設(shè)講評(píng)：要使矩形A′B′C′D′與矩形ABCD相似，需對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；由矩形的四個(gè)角都是直角，可知這兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)角相等，所以，需對(duì)應(yīng)邊成比例，即，化簡得60y=40x，即x∶y=3∶2時(shí)，能使小路四周所圍成的矩形A′B′C′D′與矩形ABCD相似.

圖10

5.小結(jié)與作業(yè)（略）

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

圖形的相似起始課因?yàn)闆]有具體深入到相似三角形的學(xué)習(xí)，而且在各級(jí)考試中所考不多，至多是一道填空、選擇之類的送分題，所以往往得不到教學(xué)研究的重視，這方面的課例研究在相關(guān)期刊上也較為少見.以上給出的是筆者基于從特殊到一般的認(rèn)識(shí)，構(gòu)思出來的一節(jié)常態(tài)課，以下再圍繞教學(xué)立意給出進(jìn)一步的解讀.

1.引導(dǎo)學(xué)生辨析“特殊與一般”之間的關(guān)系

特殊與一般之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不斷出現(xiàn)的，或明或暗.比如代數(shù)概念或性質(zhì)的學(xué)習(xí)，往往是先特殊再一般，側(cè)重訓(xùn)練猜想、歸納、概括的推理思想；而幾何學(xué)習(xí)則是“從大到小”（史寧中教授語），先學(xué)習(xí)一般的數(shù)學(xué)對(duì)象（如四邊形），再逐漸深入到平行四邊形、特殊的平行四邊形的學(xué)習(xí).而在本課時(shí)中特殊與一般之間的關(guān)系較為復(fù)雜，首先是從全等到相似是特殊到一般的關(guān)系，然后是學(xué)習(xí)了相似圖形之后又將逐漸過渡到相似三角形的判定與性質(zhì).

2.通過例題及變式讓學(xué)生明辨“和而不同”

從上面課例中的例題及變式來看，主要意圖是通過例題及變式促進(jìn)學(xué)生感受全等與相似之間的“和而不同”，即全等有哪些相同的研究方法可以遷移、類比到相似的學(xué)習(xí)中去，而又有哪些不同點(diǎn)，特別是例2中兩個(gè)矩形的相似問題是很多學(xué)生容易受到直覺誤導(dǎo)的易錯(cuò)題，缺少精確的比例式化簡運(yùn)算，則不能有力地解釋兩個(gè)矩形為什么不相似，這就需要學(xué)生明辨相似圖形不僅只看各組內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等就可判定，還需要逐個(gè)計(jì)算各組邊之間的比值，這是需要引導(dǎo)學(xué)生明辨的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)之處.

三、結(jié)束語

從應(yīng)試角度功利地看，不少數(shù)學(xué)內(nèi)容確實(shí)在各級(jí)考試中難以設(shè)計(jì)大題，因而也缺少研究的跟進(jìn)，常常也在教學(xué)時(shí)被邊緣化，認(rèn)為這是一些可有可無的教學(xué)內(nèi)容，有些年輕教師也覺得可講可不講，輕松滑過這些教學(xué)內(nèi)容，但是從數(shù)學(xué)整體觀來看，像圖形的相似這樣的教學(xué)內(nèi)容卻是學(xué)生辨析“特殊與一般”之間深刻關(guān)系的優(yōu)秀素材，值得我們認(rèn)真重視，精心預(yù)設(shè)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，這在倡導(dǎo)重視“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的現(xiàn)實(shí)背景下，也許有著更為重要的作用吧.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.H