逆向思考探新知，殊途同歸求簡化——以“平行四邊形的判定”教學為例

☉江蘇省淮安市開明中學韓建

逆向思考探新知，殊途同歸求簡化——以“平行四邊形的判定”教學為例

☉江蘇省淮安市開明中學韓建

平行四邊形的性質與判定可以看成是條件與結論轉換后的互逆命題（互逆定理），開展平行四邊形的判定的教學研討可以認真分析知識生長點，即引導學生將平行四邊形的性質“逆過來”思考，逐一得出平行四邊形的判定，這樣的知識生成是自然的，本文記錄近期筆者執教該課時的教學簡錄，并給出教后反思，提供研討.

一、“平行四邊形的判定”教學簡錄

1.復習舊知，引入新課

師：上節課我們學習了平行四邊形，怎樣的四邊形稱為平行四邊形呢？

生：兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形.

師：這句話可以作為定義，還可以作為什么呢？

生：它不僅是定義，還是一條性質，還可以作為判定.

師：平行四邊形還有哪些其他性質？（在學生回答的基礎上在黑板上列出下表）

平行四邊形的性質平行四邊形的對角相等平行四邊形的鄰角互補對角線平行四邊形的對角線互相平分平行四邊形的對邊平行平行四邊形的對邊相等角邊

師：今天我們來學習平行四邊形的判定.（課題）

2.數學實驗，探究新知

師：每位同學桌上已經準備了兩根牙簽和兩根棉簽.你能在平面內將它們首尾順次相接，組成一個平行四邊形嗎？同學們動手試試看.請生1到臺前來操作.

師：請你告訴大家，你是如何拼接的？

生1：把兩根牙簽和兩根棉簽分別作為四邊形的對邊.

師：也就是說，你認為如果一個四邊形有兩組對邊分別相等，那么這個四邊形是平行四邊形？

師：我們得到了這樣一個命題：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.這是一個真命題嗎？

生眾：是的.

師：怎么才能說明這是個真命題呢？

師：證明之前，我們要做些什么準備工作？

生2：根據命題畫出圖形，寫出已知和求證.

師：已知和求證如何來寫？

生3：已知：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD= BC.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

A D B C

師：現在，我們有沒有方法來證明這是一個平行四邊形呢？

生4：可以根據定義來證明.

師：很好.請說說你的證明思路？

生4：連接AC，證明△ABC≌△CDA.

師：好，下面請大家寫出證明過程.

師：這樣我們就得到了第二個判定平行四邊形的方法，作為判定定理1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言描述：因為AB=CD，AD=BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形.

填表：

師：它們之間有什么樣的關系？

生5：它們是互逆的.

師：你還能猜想出其他的判別方法嗎？

生6：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.生7：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.師：非常好！要說明它們能否作為平行四邊形的判定方法，我們就要一一驗證.

我們先看生6提出的“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”.

命題：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.已知：如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

師：這樣，我們就得到了第三種判定方法，作為判定定理2：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言描述：因為∠A=∠C，∠B=∠D，所以四邊形ABCD是平行四邊形.

師：到目前為止，我們已經學了幾種判定平行四邊形的方法？

生8：三種.……

填表：性質判定平行四邊形的對邊平行；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的對邊相等；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的對角相等；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.平行四邊形的對角線互相平分.我們再看生7提出的“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”.

命題：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

已知：如圖3，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，OA=OC，OB=OD.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

師：現在，我們得到了第四個判定方法，作為判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

符號語言描述：因為OA=OC，OB=OD，所以四邊形ABCD是平行四邊形.

填表：

圖2

圖3

性質判定平行四邊形的對邊平行兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形平行四邊形的對邊相等兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形平行四邊形的對角相等兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形平行四邊形的對角線互相平分對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

師：現在，我們已經學會了4種方法來判定一個四邊形是平行四邊形.

從邊：“兩組對邊分別平行”；“兩組對邊分別相等”.從角：“兩組對角分別相等”.

從對角線：“對角線互相平分”，一共四種方法可以證明四邊形是平行四邊形.

（為了檢驗學生掌握的情況，給出一組練習）

練習1：判斷下列四邊形（圖4～圖6）是否為平行四邊形？并說出你的依據.

圖4

圖5

圖6

圖7

練習2：如圖7，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，圖中有哪些互相平行的線段？

3.例題講評，跟進練習

例1如圖8，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F是AC上的兩點，并且AE=CF.

圖8

求證：四邊形BFDE是平行四邊形.

預設互動：根據教學經驗，不少學生都試圖走全等三角形的證法證出兩組對邊分別相等或兩組對邊分別平行，這里還可以啟發學生發現證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

跟進練習：如圖9，在平行四邊形ABCD中，已知AE、CF分別是∠DAB、∠BCD的角平分線，試說明四邊形AFCE是平行四邊形.

圖9

預設點評：由于該題的證明路徑不唯一，比如：①兩組對角相等；②兩組對邊分別平行；③兩組對邊分別相等.在學生獲得一種證明路徑之后，鼓勵其他學生分享自己的不同證法.

4.課堂小結，布置作業（略）

二、教后反思

上面簡錄了該課的教學實錄，以下再從新知探究的方式和例題教學的對話視角給出兩點反思.

1.“互逆命題”啟發，生成新知，滲透研究套路

初中數學很多知識都具有互逆的特點，比如：代數中的運算（加與減、乘與除、乘方與開方）、整式乘法與因式分解等；幾何中平行線的性質與判定、等腰三角形的性質與判定（“等邊對等角”、“等角對等邊”）、勾股定理與逆定理等，這些數學內容的研究經驗啟示學生在新學平行四邊形的判定時，可以受到平行四邊形性質的啟發，將平行四邊形性質中的條件與結論互換，研究它們的逆命題是否為真命題.正是基于互逆命題的啟發下，我們在新知探究過程中，逐一逆向思考，探究出平行四邊形的判定方法.更為重要的是，在這一探究過程中，學生知道了這些新的判定方法“源于何處”，也積累了數學研究的方法與經驗.

2.追問不同證法，殊途同歸，優化證明步驟

在上面課例中的例習題訓練環節，我們沒有滿足于一例一解，習題簡單核對答案式的習題講評方式，而是在學生獨立思考、貫通思路之后，追問有沒有不同證法，讓不同學生展示自己的思路，并追問這些思路對應著本課新學的哪一條判定方法，一方面，有效復習了新學內容，另一方面，也讓更多學生看到其他學生的不同思路，感受證明思路的殊途同歸.當然，教師起著必要的引導作用，在這里應該發揮“善于優化”（鄭毓信教授語）的導向作用，即面對學生不同的證明方法，要引導學生本著“求簡”思維，讓自己的思路趨向更合理、更優化、更深刻的方向.

1.鄭毓信.多元表征理論與概念教學［J］.小學數學教育，2011（10）.

2.李袆.高水平數學教學到底該教什么［J］.數學教育學報，2014（6）.

3.鄭毓信.多元表征理論與概念教學（續）［J］.中學數學教學參考（上），2011（6）.

4.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數學通報，2013（6）.H