中美兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教材的比較研究——以“有理數(shù)”為例

☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院徐玉慶

☉甘肅省酒泉第四中學(xué)

中美兩國(guó)初中數(shù)學(xué)教材的比較研究——以“有理數(shù)”為例

☉西北師范大學(xué)教育學(xué)院徐玉慶

☉甘肅省酒泉第四中學(xué)

一、研究背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出，在數(shù)學(xué)課程中，要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和運(yùn)算能力，這也充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)初中生核心素養(yǎng)的要求.［1［2］所以，運(yùn)算能力是許多國(guó)家對(duì)中學(xué)生要求的最基本能力.

本文從美國(guó)和中國(guó)兩個(gè)國(guó)家選取三套初中數(shù)學(xué)教材，以“數(shù)與代數(shù)”中的“有理數(shù)”為研究對(duì)象，從課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“有理數(shù)”的要求、教材的目錄、核心概念、例題、習(xí)題、旁白，以及以圖形和表格為內(nèi)容的非文本形式進(jìn)行定量刻畫與定性描述.希望對(duì)教材統(tǒng)計(jì)內(nèi)容習(xí)題的編寫和完善提供一些思考和啟示.

二、研究設(shè)計(jì)

（一）教材的選取

選取中國(guó)和美國(guó)政府部門正式出版發(fā)行和使用范圍較廣的教科書，如表1所示：

表1樣本教材及其章節(jié)選取

（二）研究方法

采取定量刻畫與定性描述相結(jié)合的方法.

（三）比較維度

1.三套教材整體內(nèi)容的比較

美國(guó)加州教材Mathematics7第一章內(nèi)容為整數(shù)，第二章為有理數(shù)，這兩章完整地講解了有理數(shù)及有理數(shù)的運(yùn)算.我國(guó)人教版七年級(jí)上冊(cè)第一章“有理數(shù)”和北師大版七年級(jí)上冊(cè)第二章“有理數(shù)及其運(yùn)算”與美國(guó)加州教材的內(nèi)容相近，故這三套教材“有理數(shù)”的內(nèi)容存在可比性.現(xiàn)將上述三個(gè)版本的“有理數(shù)”所在的章節(jié)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，得到表2.

表2“有理數(shù)”及其運(yùn)算的主要內(nèi)容

主要內(nèi)容1.4有理數(shù)的乘除法觀察與猜想翻牌游戲中的數(shù)學(xué)道理1.5有理數(shù)的乘方數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)復(fù)習(xí)題1 8有理數(shù)的除法9有理數(shù)的乘方10科學(xué)記數(shù)法11有理數(shù)的混合運(yùn)算12用計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算回顧與思考復(fù)習(xí)題1-8整數(shù)在調(diào)查研究中的應(yīng)用1-9利用整數(shù)的加減法解方程1-10利用乘除法解方程評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)指導(dǎo)和回顧練習(xí)測(cè)試加利福尼亞標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試題2-8有理數(shù)在調(diào)查研究中的應(yīng)用2-9有理數(shù)的乘方2-10科學(xué)記數(shù)法評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)指導(dǎo)和回顧練習(xí)測(cè)試加利福尼亞標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試題

美國(guó)加州教材將“有理數(shù)”的內(nèi)容分為兩章，第一章重點(diǎn)講解了整數(shù)及其運(yùn)算，第二章重點(diǎn)講解了有限小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算.美國(guó)加州教材對(duì)于有理數(shù)的教材設(shè)計(jì)更加符合初中生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了自然數(shù)和整數(shù)，在七年級(jí)引入“-”號(hào)，拓展了學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，第一章在學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)的基礎(chǔ)上引入負(fù)數(shù)，讓學(xué)生理解負(fù)數(shù)產(chǎn)生的必要性，同時(shí)在整數(shù)集合內(nèi)的運(yùn)算也有利于學(xué)生理解整數(shù)運(yùn)算的算理.這樣為學(xué)習(xí)第二章的內(nèi)容奠定了基礎(chǔ).人教版和北師大版教材都將有理數(shù)及其運(yùn)算放在了一章，產(chǎn)生這種教材設(shè)計(jì)的原因與中美兩國(guó)教材對(duì)于有理數(shù)的定義有關(guān)系，人教版和北師大版直接給出了整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)的定義，美國(guó)教材對(duì)有理數(shù)的定義是：Numbers that can be written as fractions are called rational numbers（只要能夠表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)稱為有理數(shù)），Since：-7可以表示為，2可以表示為，它們都是（rational numbers）有理數(shù)，所有的（integers）整數(shù)、（fraction）分?jǐn)?shù)和（mixed numbers）帶分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).由于對(duì)有理數(shù)定義的不同，人教版和北師大版教材將整數(shù)和分?jǐn)?shù)放在了同一章，在教學(xué)中許多老師對(duì)有理數(shù)做了進(jìn)一步的定義，既有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，產(chǎn)生這一問題的重要原因如下：在北師大版教材第二章第一節(jié)隨堂練習(xí)中出現(xiàn)了如：3.5、-0.125、5.6這樣的數(shù)，很多學(xué)生無法判斷它們是否為有理數(shù)，如果以北師大版對(duì)有理數(shù)的定義出發(fā)判斷，則學(xué)生沒有辦法把這些數(shù)歸為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，那么它們?yōu)槭裁词怯欣頂?shù)？所以在教學(xué)中，教師又進(jìn)一步講解如何把一個(gè)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，然后在利用有理數(shù)的定義將它們歸在有理數(shù)的范圍內(nèi)，這樣對(duì)學(xué)生理解水平要求很高，這也為以后學(xué)習(xí)無理數(shù)造成了一定的干擾.人教版教材中從第一節(jié)到最后一節(jié)，無論在例題、探究活動(dòng)、習(xí)題、小結(jié)和復(fù)習(xí)題中都沒有出現(xiàn)無限循環(huán)小數(shù)，對(duì)于學(xué)生理解有理數(shù)及其運(yùn)算和今后無理數(shù)的學(xué)習(xí)埋下了“隱患”.

美國(guó)教材在第一章系統(tǒng)地講解了整數(shù)及其運(yùn)算之后，在第二章第一節(jié)給出了有理數(shù)的定義：只要能夠表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)稱為有理數(shù)，然后給出了大量例題和實(shí)例講解了如何將一個(gè)分?jǐn)?shù)化為小數(shù)、如何將一個(gè)有限小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，并附有大量的練習(xí)題，這為學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)及對(duì)有理數(shù)的判斷掃清了障礙，如：3.5、-0.125、0.3這樣的數(shù)，學(xué)生已經(jīng)做了大量的訓(xùn)練，他們知道這些數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，能夠精確地判斷它們是有理數(shù)，從而避免了人教版和北師大版出現(xiàn)的問題.

美國(guó)教材在第一章和第二章中設(shè)計(jì)了有關(guān)一元一次方程的求解，主要是利用有理數(shù)的運(yùn)算法則求解方程，這不僅是對(duì)有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，同時(shí)也是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元一次方程打下基礎(chǔ)，同時(shí)美國(guó)教材在每一章中設(shè)計(jì)了對(duì)于前面內(nèi)容的測(cè)試題，在章末不僅設(shè)計(jì)了本章的測(cè)試題，同時(shí)增加了對(duì)于本章內(nèi)容的評(píng)價(jià)測(cè)試題，有部分題目是歷年的PISSA測(cè)試題，注重知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.人教版教材在每一章末都設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)活動(dòng)，活動(dòng)內(nèi)容都和現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系，這也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，體現(xiàn)了讓每一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué).同時(shí)也說明了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)不僅來源于教材，也來源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn).

人教版教材在章末的小結(jié)中總結(jié)了有理數(shù)的運(yùn)算，有利于一元一次方程的求解，同時(shí)說明由于整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)，因此有理數(shù)可以表示為（p，q是整數(shù)，q≠0）的形式，這進(jìn)一步拓展了對(duì)有理數(shù)概念，有利于學(xué)生對(duì)于有理數(shù)的形式理解，這和美國(guó)教材的設(shè)計(jì)內(nèi)容相吻合，如圖1所示.

圖1美國(guó)加州教材有理數(shù)的定義

北師大版教材在章末設(shè)計(jì)了回顧與思考，提出了具體的讓學(xué)生完成的內(nèi)容，但是并沒有明確地提出具體的做法和要求，例如，回顧與思考的7：梳理本章內(nèi)容，用適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)全章知識(shí)結(jié)構(gòu)，并與同伴進(jìn)行交流.在實(shí)際的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)教師和學(xué)生并沒有重視這部分內(nèi)容，從而使得回顧與思考流于形式.人教版在利用現(xiàn)在的概念導(dǎo)圖梳理了本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生模仿這種方法并理清知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系.

2.數(shù)學(xué)問題情境水平分析

2016年陳志輝在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》中發(fā)表了《中美兩國(guó)初中數(shù)學(xué)課程的問題情境水平比較研究》，文中對(duì)Stigler（1986），YepingLi（2000）等人對(duì)于教科書數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的三個(gè)維度分析框架進(jìn)行了改進(jìn)，［3］如表3所示.

表3數(shù)學(xué)問題情境水平分析框架

例如，北師大版七年級(jí)上冊(cè)第一章第六節(jié)中一道題目：下面是流花河水文資料（單位：m），河流的警戒水位作為0點(diǎn)，那么圖（圖略）中的其他數(shù)據(jù)可以分別記作什么？表4是小明記錄的今年雨季流花河一周內(nèi)的水位變化情況（上周日的水位達(dá)到警戒水位33.4米）.

表4流花河一周水位變化表

（1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？

（2）與上周末相比，本周末河流水位是上升了還是下降了？

（3）每天水位位于警戒水位之上還是之下？與警戒水位的距離分別是多少米？

（4）以警戒水位為0點(diǎn)，用折線統(tǒng)計(jì)圖表示本周的水位情況.

依據(jù)上述分析框架，對(duì)該問題進(jìn)行編碼如下：首先，對(duì)情境進(jìn)行判別，由于問題設(shè)計(jì)河流水位的變化，因此將該情境編碼為公共情境（CL）.然后，對(duì)問題情境的三個(gè)維度進(jìn)行判別：數(shù)學(xué)特征水平方面，整個(gè)問題設(shè)計(jì)有理數(shù)的加減運(yùn)算，而且都屬于一步運(yùn)算，因此確定為水平2（OC-2）；表征特征水平方面，由于問題表述為故事情境加圖表說明，因此確定其表征特征為水平4（SC-4）；任務(wù)特征水平方面，由于該情境為問題解決，所以確定其任務(wù)特征為水平3（PS-3）.

（1）數(shù)學(xué)問題情境類型比較.

兩個(gè)版本中加州教材的題例（992）遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于人教版教材（344）和北師大版教材（274），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表5所示.

表5兩國(guó)“有理數(shù)”問題情境類統(tǒng)計(jì)

由表5發(fā)現(xiàn)，美國(guó)加州教材的習(xí)題量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于人教版教材和北師大版教材的習(xí)題數(shù)量，人教版無情境的題目所占比例最高，達(dá)到94%，美國(guó)加州無情境題目所占比例最低，達(dá)到60%，北師大版教材中無情境題目所占比例為85%，說明美國(guó)加州教材在題目設(shè)計(jì)時(shí)，關(guān)注題目的背景和現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系，將教材中的內(nèi)容嵌入現(xiàn)實(shí)生活的各個(gè)方面.新課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出讓每一位學(xué)生學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，注重學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，中美教材在五個(gè)情境中的題目都有涉及，但是相比之下，人教版和北師大版在這五個(gè)情境中的題目涉及相對(duì)很少，在統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)人教版和北師大版教材的題目大部分都是沒有背景因素的純文本的題目，而美國(guó)教材更加注重題目的現(xiàn)實(shí)背景.

（2）數(shù)學(xué)問題情境整體比較.

首先對(duì)三套教材的題目進(jìn)行編號(hào)，然后根據(jù)表3中的數(shù)學(xué)問題情境水平分析框架開始打評(píng)分，在評(píng)分過程中反復(fù)通過論證對(duì)存在爭(zhēng)議的題目進(jìn)行再評(píng)分，保證對(duì)問題的數(shù)學(xué)特征、表征特征和任務(wù)特征所處的水平進(jìn)行可靠的描述.［4］統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表6所示.

表6三套教材“有理數(shù)”內(nèi)容的數(shù)學(xué)問題情境三維特征水平

表6所示，在數(shù)學(xué)特征方面人教版教材最高，其特征值為2.6744，北師大版的特征值為2.4124，美國(guó)加州教材的特征值最低，其特征值為1.8589.在表征特征方面美國(guó)加州教材特征值最高為2.0706，北師大版表征特征值為1.7044，人教版教材的表征特征值最低1.5988.任務(wù)特征方面人教版教材的特征值最高2.6453，北師大版的任務(wù)特征值為2.3978，美國(guó)加州教材的任務(wù)特征值最低為1.7349.

從橫向角度比較，在數(shù)學(xué)特征方面，加州教材無運(yùn)算的題目所占比例較高（59%），多步運(yùn)算的題目相對(duì)較少，相反人教版和北師大教材三步運(yùn)算和四步運(yùn)算所占比例相對(duì)較高，分別占30%和26%，美國(guó)加州教材占了14%.在統(tǒng)計(jì)過程中發(fā)現(xiàn)美國(guó)教材對(duì)于問題設(shè)計(jì)比較細(xì)致，對(duì)于不同數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)運(yùn)算的處理非常精巧，將教材內(nèi)容細(xì)化為較小的知識(shí)點(diǎn)，針對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)相應(yīng)的題目，在學(xué)生完成這一部分練習(xí)之后，教材中又設(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的提升練習(xí)，所以對(duì)于有理數(shù)的運(yùn)算方面，大部分題目是一步運(yùn)算和兩步運(yùn)算，多步運(yùn)算相對(duì)較少.人教版和北師大版教材都注重對(duì)于問題的綜合處理，例如，在有理數(shù)的混合運(yùn)算和乘方運(yùn)算中，所設(shè)計(jì)的題目都是多步運(yùn)算，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求相對(duì)較高，充分體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于學(xué)生在運(yùn)算能力方面的要求.

在表征特征方面，美國(guó)教材在圖形和圖表結(jié)合的水平非常高，占了39%，而人教版和北師大版只占了4%和11%，在統(tǒng)計(jì)過程中，發(fā)現(xiàn)人教版和北師大版教材中習(xí)題的呈現(xiàn)方式主要是以純數(shù)字和短語的形式，大部分題目沒有實(shí)際的背景和相應(yīng)的圖片或圖表說明.2012年RaeYoungKim對(duì)三種初中年級(jí)的美國(guó)教材和韓國(guó)進(jìn)行了比較，主要關(guān)注的教材中非文本因素（圖案、圖片、表格等）的質(zhì)量在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中發(fā)揮作用，研究發(fā)現(xiàn)，教材內(nèi)容中非文本因素這種可視化的表征方式，如果以恰當(dāng)?shù)姆绞胶徒滩膬?nèi)容相結(jié)合，有利于學(xué)生對(duì)于概念的理解和問題的解決.［5］美國(guó)教材注重問題設(shè)計(jì)的背景因素，這也導(dǎo)致了題目呈現(xiàn)的方式不同，充分說明美國(guó)學(xué)生利用可視化表征方面的能力較高.

在任務(wù)特征方面，人教版教材在“問題解決”和“問題探究”的水平最高，分別占了45%和20%，北師大版在這兩個(gè)方面的水平分別為34%和15%，美國(guó)教材在這兩個(gè)方面的水平最低，只占了10%和3%，美國(guó)教材習(xí)題的設(shè)計(jì)主要考查學(xué)生對(duì)于教材中概念的理解，所以在“概念性理解”的水平最高，占了44%，而人教版和北師版在“概念性理解”的水平則較低，分別占了15%和28%.在統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)美國(guó)教材在課后習(xí)題中明確標(biāo)明這道題目所涉及的數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算法則，在教材旁白中也明確標(biāo)明題目所對(duì)應(yīng)的章節(jié)和概念，在章節(jié)的開頭和末尾都將本章出現(xiàn)的新的數(shù)學(xué)名詞加以強(qiáng)調(diào)和解釋，有的概念采用不同的方式進(jìn)行闡釋，例如：有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù).而人教版和北師大版則更加注重有理數(shù)相關(guān)概念的理解和法則的應(yīng)用，這也體現(xiàn)了我國(guó)對(duì)于中學(xué)生解決問題能力方面的要求，反映了兩國(guó)課程不同的要求.

三、結(jié)論與啟示

在“有理數(shù)”內(nèi)容的編排方面，美國(guó)加州教材將“有理數(shù)”部分分為兩章，第一章專門講解了整數(shù)及其運(yùn)算，第二章主要講解有理數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等概念和運(yùn)算.人教版和北師大版則將“有理數(shù)”設(shè)計(jì)為一章，但是在具體內(nèi)容的編排上也是先呈現(xiàn)整數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，然后是分?jǐn)?shù)和小數(shù)的運(yùn)算，這也符合學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理水平；在有理數(shù)這個(gè)核心概念的表述方面，兩國(guó)教材也存在很大差異，人教版和北師大版的表述是一致的，既整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，而美國(guó)加州教材的表述是：只要能夠表示為分?jǐn)?shù)的數(shù)稱為有理數(shù)，相比之下，美國(guó)加州教材對(duì)于有理數(shù)定義的表述更加科學(xué)合理；在比較中發(fā)現(xiàn)美國(guó)加州教材對(duì)于基本概念闡述非常清楚，例如，教材中專門對(duì)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、有理數(shù)等新的概念做了詳細(xì)的定義和解釋，對(duì)于每個(gè)知識(shí)點(diǎn)講解非常詳細(xì)，而且每節(jié)內(nèi)容所包含的信息量非常大，題目設(shè)計(jì)豐富多彩，題目的個(gè)數(shù)也非常之多.而人教版和北師大版對(duì)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、有理數(shù)等基本概念并沒有過多的解釋，只是舉了幾個(gè)具體的例子，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生并不能很好地理解這些看似簡(jiǎn)單的概念.在教材旁白方面，美國(guó)教材每節(jié)課都在教材的左側(cè)空白出呈現(xiàn)出學(xué)完本節(jié)課要達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo)，同時(shí)附有這節(jié)課學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)資源，對(duì)于本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容都有學(xué)習(xí)的提示和建議（studytip），便于學(xué)生模仿和參考.而人教版和北師大版在教材旁白方面則做的比較少，很少有某個(gè)具體問題的解釋和補(bǔ)充.

在問題情境水平的比較，三套教材各具特色.在數(shù)學(xué)特征方面，人教版和北師大版注重學(xué)生的多步運(yùn)算能力，數(shù)學(xué)問題的難度相對(duì)較高.相比之下，美國(guó)加州教材則更注重基本運(yùn)算能力，問題相對(duì)小而精，便于學(xué)生運(yùn)算，所以問題也非常之多.在表征特征方面，加州教材更加注重非文本內(nèi)容和文本內(nèi)容結(jié)合的呈現(xiàn)方式，題目設(shè)計(jì)靈活多樣，背景內(nèi)容豐富多彩，緊密貼近現(xiàn)實(shí)生活，緊跟時(shí)代發(fā)展腳步，這種可視化的表征方式有利于學(xué)生對(duì)于具體問題的理解和解決，有利于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于現(xiàn)實(shí)問題的興趣，提高他們的創(chuàng)造力.而人教版和北師大版教材中習(xí)題的呈現(xiàn)更多的是文本內(nèi)容，大部分題目都是純數(shù)學(xué)符號(hào)和文字的描述，關(guān)注學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，注重學(xué)生的具體運(yùn)算和抽象運(yùn)算.在任務(wù)特征方面，人教版和北師大版教材習(xí)題都注重學(xué)生解決問題的能力，而美國(guó)加州教材則更加關(guān)注學(xué)生對(duì)于基本概念的理解和掌握，沒有過多的綜合問題和復(fù)雜問題.

通過對(duì)三套教材定性與定量的分析，給我們得到如下啟示：首先，中國(guó)教材過多地注重學(xué)生的練習(xí)和復(fù)雜問題的解決，而并不關(guān)注對(duì)于教材中核心概念的理解和掌握.［6］～［8］在教學(xué)中教師更多地注重題目的大量重復(fù)的練習(xí)和鞏固，而忽視了學(xué)生對(duì)于問題本身的理解和感悟.其次，在數(shù)學(xué)問題的表征方面，習(xí)題設(shè)計(jì)過于死板，表征特征方式單一，沒有挖掘知識(shí)的相關(guān)背景，問題設(shè)計(jì)缺乏情境，忽視了可視化表征的影響，造成問題解決和現(xiàn)實(shí)客觀之間的差距.最后，數(shù)學(xué)教學(xué)是一種感悟教學(xué)，要讓學(xué)生悟其道，之后才可以行之遠(yuǎn)，關(guān)注問題的內(nèi)涵設(shè)計(jì)，例如，關(guān)注學(xué)生的靈魂設(shè)計(jì)，關(guān)注問題的情境設(shè)計(jì)如關(guān)注學(xué)生的情感設(shè)計(jì)，關(guān)注教材的精細(xì)化設(shè)計(jì)（如關(guān)注學(xué)生的骨骼設(shè)計(jì)），從而更好地服務(wù)于每一個(gè)鮮活的精靈.

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