探索圖形性質培養推理意識——青島版《義務教育教科書·數學》七年級第九章“平行線”教學研究

☉山東沂南教育局李樹臣

探索圖形性質培養推理意識——青島版《義務教育教科書·數學》七年級第九章“平行線”教學研究

☉山東沂南教育局李樹臣

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》安排了“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”、“綜合與實踐”四個部分的課程內容，七年級下冊第9章“平行線”是“圖形與幾何”的重要內容，是學習三角形、全等三角形、平行四邊形、圖形的平移、圖形與坐標、相似形、圓、視圖與投影等后繼知識和利用推理證明不可缺少的基礎.

本章主要內容是平面內兩條直線平行的性質和判定，共安排了四個小節，教學時間約需6個課時，具體分配如下（僅供參考）：同位角、內錯角、同旁內角（1個課時）；平行線和它的畫法（1個課時）；平行線的性質（1個課時）；平行線的判定（2個課時）；回顧與總結（1個課時）.

一、本章內容概述及學習目標

1.知識結構（圖1）

圖1

2.內容概述

教科書首先以某旅游景點的照片為實例，讓學生感受到現實生活中廣泛存在著平行線的形象；然后，結合“道路交叉相交”的實例研究了兩條直線被第三條直線所截構成的八個角的位置關系，在此基礎上引入了同位角、內錯角、同旁內角的概念；最后，探究了平行線的性質和判定.

第1節“同位角、內錯角、同旁內角”，教科書首先立足于學生的生活經驗，從觀察某學校周邊的道路示意圖出發，引出同位角、內錯角、同旁內角的概念，概括出各種角的特征.然后通過兩個例題，結合圖形，深化對三種角的認識，總結出三種角的識別方法.

第2節“平行線和它的畫法”，首先，引導學生觀察圖片、實物，讓學生感受日常生活中平行線的形象，通過這些豐富的實例，引出平行線的定義.然后，利用“實驗與探究”展現了用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線平行線的過程，學生在動手畫的過程中，感受到過直線外一點能畫并且只能畫一條直線與已知直線平行.從而概括出平行線的基本性質“過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”，以及“平行于同一條直線的兩條直線平行”.

圖2

第3節“平行線的性質”中所給出的性質，是指兩條平行直線被第三條直線所截得的同位角、內錯角或同旁內角之間所具有的數量關系.教科書設計了操作、實驗、猜想、推理等數學活動，使學生先通過畫圖、疊合等活動，發現一對同位角相等，如圖2中的∠1=∠5，再把這一結論推廣，即由∠1=∠5出發，根據∠2與∠1互補，∠6與∠5互補，可推得∠2=∠6，再根據∠3和∠7分別與∠1、∠5是對頂角，推出∠3=∠7.類似地，可得到∠4=∠8.通過歸納得出“兩條平行直線被第三條所截，同位角相等”的性質.最后安排了一個交流與發現活動，引導學生按照畫平行線及經過直線外一點畫直線的垂線的方法畫圖，再讓學生通過觀察、分析、思考、交流等活動發現兩條平行線間的垂線段相等，從而給出兩條平行線之間的距離的概念.

第4節“平行線的判定”，教科書利用“實驗與探究”欄目，引導學生通過已經學過的平行線的畫法，體驗當同位角相等（都等于60°）時畫出的兩直線平行這一數學事實，再由特殊到一般得出“同位角相等，兩直線平行”的判定方法.作為平行線判定的應用，教科書由簡單到復雜，設計了三個例題，目的在于通過不同的問題情境，讓學生進一步理解和掌握平行線的判定方法的基礎知識和從圖形中識別“三線八角”的基本技能，培養學生的空間觀念，以及分析問題和解決問題的能力.

3.學習目標

（1）識別兩條直線被第三條直線所截得的同位角、內錯角、同旁內角.

（2）理解平行線的概念，掌握平行線的基本性質：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，能用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線.

（3）探索平行線的性質：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補.

（4）探索平行線的判定方法：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等（或內錯角相等，或同旁內角互補），那么這兩條直線平行.

（5）了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離.

（6）了解平行于同一條直線的兩條直線平行.

（7）經歷觀察、操作、想象、推理、交流等過程，積累數學活動經驗，進一步發展空間觀念、推理意識，以及有條理的思考和表達能力.

二、編寫時注意的幾個問題

1.注意貼近學生現實

本章的內容具有豐富的實際背景，在現實世界中也有著廣泛的應用.因此，我們在選擇課程內容時，根據《課標（2011年版）》在“課程基本理念”中提出“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索”的要求，結合具體的內容，在反映數學本質的前提下，盡可能地貼近學生的現實，使他們經歷從現實情境中抽象出數學知識與方法的過程，以及將所學知識應用到實際中去的過程.

教科書選用了浙江省的一處旅游景點——飛龍大橋的照片作為章頭圖，照片中有豐富的平行線、相交線及同位角、內錯角、同旁內角的形象.第1節用到的學校周邊的道路示意圖中含有兩條直線被第三條所截的形象，在學生觀察圖形中八個角位置關系的基礎上，引出同位角、內錯角、同旁內角的概念.第2節，通過讓學生觀察六棱鉛筆中同一個面上的兩條相對的棱所在直線的關系以及黑板的上、下邊緣、左、右邊緣所在的直線的位置關系，引出平行線的概念.

2.突出整體性

《課標（2011年版）》指出“教材編寫應當體現整體性，注重突出核心內容，注重內容的相互聯系，注重體現學生學習的整體性.”在本章的編寫過程中，我們對教材的整體性給予高度重視，并努力在教材中加以體現.

平面內的兩條直線的位置關系有平行與相交兩種，學生在第二學段已經了解直線的平行和相交關系，積累了初步的數學活動經驗，前一章又學習了角的表示、角的比較和度量、余角、補角、兩條直線相交所生成的對頂角、兩條直線相交的特殊情況——垂直等內容.這些都與本章的內容有著密切的聯系，編寫時對此予以重視.

第2節“平行線和它的畫法”是本章的重點內容之一.主要包括平行線概念的建立，用直尺和三角尺畫平行線，基本事實：過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，以及它的推論：平行于同一條直線的兩條直線平行.本節內容利用學生熟悉的生活實例抽象出數學中存在兩條直線不相交的位置關系，然后給這種位置關系加以命名，并用數學符號表示；再通過讓學生經歷用三角尺和直尺畫平行線的過程，感受上述基本事實（本節中暫不出現這一名詞，只說這是一條基本性質）.由于命題“如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行”是基本事實的推論，所以按照知識的邏輯順序放入本節.為了得到這個推論，教科書又設計了用三角尺和直尺畫圖的活動.目的在于讓學生通過畫圖探索得到這一結論，并將敘述方式改為“平行于第三條直線的兩條直線平行”.為了讓學生感受這個命題與基本性質的邏輯關聯并滲透邏輯推理的思想，在“挑戰自我”欄目中，引導學生嘗試用平行線的基本性質說明平行于同一條直線的兩條直線平行的道理.教科書先借助卡通人物說出利用平行線的基本性質推證這一結論的初步設想（設它們相交，那么……），啟發學有余力的學生通過進一步思考發現矛盾，從中接受反證法思想的啟蒙，并感受基本事實的作用；然后又利用閱讀材料“傳遞性”拓寬了學生對平行線的認識.這樣設計使得本課時層次清楚、活動內容充實，并能反映數學知識間的內在聯系，使學生對本節內容有整體性的認識.

3.重視推理能力的訓練

《課標（2011年版）》把“推理能力”作為核心詞之一.并強調說，推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式.推理一般包括合情推理和演繹推理.我們力求把培養合情推理與演繹推理作為貫穿本套教材的主線之一.本章特別注重實驗幾何的教學，對于平行線的基本事實、性質及判定方法等知識，都是利用“觀察與思考”、“實驗與探究”、“交流與發現”等欄目提出有關的問題，以此引導學生進行動手操作、實驗、交流、猜想、驗證等數學活動，在“親身”體驗有關數學知識的發生和發展進程中發現新知，這樣就為學生的自主發展創造了廣闊的空間，使他們能自主探索圖形的性質，不斷提高合情推理能力，以及有條理地進行思考與符合邏輯地進行表達的能力，從而逐步養成推理的意識.

例如，為了引出兩條平行線之間的距離，教科書通過“交流與發現”欄目提出四個問題，引導學生首先畫兩條平行線，然后在其中一條直線上從兩個不同的點向另一條直線作垂線，并度量這兩條垂線段的長度.學生通過操作、觀察、分析、思考、交流等活動，將會發現兩條平行線間的垂線段相等，在此基礎上，給出了平行線之間的距離的概念.這種處理方式，將實驗幾何與論證幾何有機地整合在一起，使學生經歷了一個實驗、探究、歸納、推理的全過程.并且還能感悟“平行線間的距離”與“點到直線的距離”、“兩點之間的距離”等相鄰概念的聯系.

三、教學建議

1.注重問題情境設計

數學教學活動應體現《課標（2011年版）》提出的“問題情境—建立模型—求解驗證”的模式，為此，教師要根據學習內容，結合學生的學習實際精心創設問題情境，以此引導學生去進行探究、發現等活動.數學教學所要解決的并不是那些尚未解決的數學問題，而是前人已有數學知識的再發現.為此，教學中應立足于學生的生活經驗和已有的數學活動經驗，創設恰當的問題情境，引起學生有目的的思考與探索.

例如，在給出同位角、內錯角、同旁內角及平行線等概念時，都要根據具體內容結合生活實際創設恰當的問題情境，使學生經歷從現實生活中抽象出幾何圖形的過程.

2.加強實驗操作，發展直觀感知能力

《課標（2011年版）》強調改變學生的學習方式，指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的過程.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”在學習某些幾何圖形的有關知識時，可通過引導學生進行實驗、觀察、操作等活動，在活動的同時領悟到這些知識的形成過程，這樣既發展了學生的思維能力、理解能力、創造能力及直觀能力，又能將新知識與已有知識有機地結合起來，還能增強學生學習的主動性，可謂“一舉多得”.

例如，在引導學生探索“兩直線平行，同位角相等”時，可設計以下四個活動：

（1）如圖3，教師用三根硬木條制成“三線八角”活動教具.把木條a，c固定不動，讓木條b繞著A點轉動，顯然∠1的大小也在變化.

師：b轉到什么位置時，有b∥a？

生：b轉到圖3所示的虛線位置時，有b∥a.

圖3

圖4

（2）如圖4，教師演示過直線AB外一點P畫AB平行線的方法，讓學生觀察畫平行線的過程.

師：在上述演示過程中，三角板的一邊為什么要緊貼著直尺進行移動？

生：為了保證∠BGF=∠DHF.

設計說明：“三線八角”是同學們熟悉的幾何圖形，通過上述的演示變化，使學生感受到同位角相等，兩直線平行的判定方法實際上是“三線八角”圖形的一種特殊位置.在這里，滲透了運動變化、特殊與一般可以相互轉化的數學思想方法.讓學生觀察用直尺和三角板畫平行線的過程，目的是讓學生通過觀察、思考、發現“移動過程中的不變量——角”.由以上兩個演示實驗，讓學生認識到，可以用“數量關系——角相等”來判斷圖形的“位置關系——兩直線平行”.

（3）引導學生進行探究活動并發現規律.

師：從前面的論述中，你發現了什么？

生：判斷兩直線平行的問題，可以轉化為判斷兩個角相等的問題.

師：你能用自己的語言把你所發現的規律敘述出來嗎？

生：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.

（4）指導學生用圖形語言、文字語言和符號語言分別表示“平行線的這一判定方法”.然后再輔以適當的練習，學生就可以完成對這個判定方法的學習.

3.充分利用現代信息技術

《課標（2011年版）》指出：“信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容及教學方式產生了很大的影響.數學課程的設計與實施應根據實際情況合理地運用現代信息技術，……有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去.”幾何中的有關內容可以借助于計算器（機）形象地展示給學生，并且得到較好的解決.本章中可利用現代信息技術，動態地展示兩條直線被第三條直線所截，兩條直線的位置關系與相關各角大小關系的變化過程，感受二者之間的聯系，提高學生的學習興趣.H