蘊涵厚重，關注思維——2016年浙江溫州市中考壓軸題賞析

☉浙江溫州市教育教學研究院黃新民

蘊涵厚重，關注思維——2016年浙江溫州市中考壓軸題賞析

☉浙江溫州市教育教學研究院黃新民

動態幾何題是歷年中考的熱點題型，備受一線數學教師的關注.筆者以自己命制的2016年溫州市中考數學壓軸題為例，結合試卷答題情況，以饗讀者.

一、題目與解

如圖1，在射線BA、BC、AD、CD圍成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6.O是射線BD上一點，⊙O與BA、 BC都相切，與BO的延長線交于點M.過M作EF⊥BD交線段BA（或AD）于點E，交線段BC（或CD）于點F.以EF為邊作矩形EFGH，點G、H分別在圍成菱形的另外兩條射線上.

（1）求證：BO=2OM.

（3）當HE或HG與⊙O相切時，求出所有滿足條件的BO的長.

解：（1）如圖1，設⊙O切AB于點P，連接OP，則∠OPB= 90°，得∠ABD=∠ABC=30°.所以BO=2OP=2OM.

圖1

圖2

（2）如圖2，當點E在邊AB上時，由條件得BD=18.

如圖3，當點E在邊AD上時，由對稱性，得BM=3x=18-6=12，所以x=4.

圖3

綜上所述，⊙O的半徑是2或4.

（3）當點E在邊BA上時，顯然不存在HE或HG與⊙O相切.

圖4

圖5

①當點E在邊AD上時，如圖4，當HE與⊙O相切時，設EM=x，則DM=x.因為3x+x=18，所以x=9-3，即B0=18-6

如圖5，當HG與⊙O相切時，由對稱性，得ON=OM， BN=DM，所以BO=BD=9.

②當點E在邊AD的延長線上時，如圖6，當HG與⊙O相切時，設MN=2x，所以BN=x，所以DM=GN=BN=x，所以D與O重合.所以BO=BD=18.

圖6

圖7

二、第（2）（3）問解法探究

1.第（2）問解法探究

當點E在邊AB上時，下面給出幾個不同于命題者的解答方法.

思路一：根據S矩形=EF·EH列方程.

另解1：如圖8，由條件得BD=18，BM=3x，BE= 2x，得AE=6-2x.利用△AEH∽△ABD得=，則EH=18-6x.列方程得（18-6x）·2x= 24，再求解.

另解2：如圖8，利用Rt△AEP的三角函數關系表示出EP=9-3x，則EH=18-6x，列方程得（18-6x）·2x= 24，再求解.

圖8

圖9

思路二：根據S菱形=54列方程.

類似地，如圖9，還可以根據S四邊形EMPH=12、

S四邊形EMIN=6等列方程.

思路四：根據BD=18列方程.

思路五：根據MI=EN列方程.

思路七：根據AI2+BI2=AB2列方程.

另外，根據不同的設元還可以得到不同的方程求解.

2.第（3）問解法探究

當點E在邊AD的延長線上時，當HG與⊙O相切時，給出不同于命題者的解答思路.

思路一：根據PH=ME列方程.

另解1：如圖10，由條件得DM=3r-18.在Rt△DME中，ME=.在Rt△BPH中，BP=r，則PH=.列方程得

圖10

圖11

思路二：根據BP=DM列方程.

另解2：可證明△BPH≌△DME，則DM=BP.由條件得DM=3r-18，列方程得3r-18=r，再求解.

當點E在邊AD的延長線上時，當HE與⊙O相切時，下面給出不同于命題者的解答思路.

思路一：根據OK=OH+HK=r列方程.

另解1：如圖11，由條件可得HE=18，所以HL=18-r，則NO=18-r，則IO=36-2r.因為HL=KH，可證△NIO≌△KIH，則IH=IO=36-2r，則IK=18-r，列方程得（36-2r）+（18-r）=r，再求解.

另解2：如圖11，由條件得HL=18-r.在Rt△BOP中，

類似地，還可以根據HL=NO列方程求解.

另解3：如圖11，由條件得HL=18-r.在Rt△HLP中，再求解.

三、亮點評析

本題構圖優美，像一條縱身一躍的美人魚.命題者在固定的菱形中，設置兩個相互依賴的變化圖形：圓和矩形，并以圓為主動帶動矩形的變化.在整個變化過程中，隨著點O的運動，圓逐漸變大，由于矩形的四個頂點可以落在菱形所在的射線上，從而使矩形的變化“神出鬼沒”，反復經歷三次從有到無的過程.第（1）問考查特殊角的三角函數關系，第（2）（3）問重點考查學生分析，解決動點問題的能力.在點O從B點出發，沿射線BD運動時，變化的量有半徑的長度，HE、HG、GF與圓的位置關系，△AHE、△GCF、△HBG、△EFD和四邊形HGFE的面積.命題者選取了變化中的特殊情況進行考核：當矩形EFGH的面積等于某一值時，或當HE（HG）與⊙O相切時，求⊙O的半徑.數學研究在本質上是研究數量和圖形，求變化中的數量的特殊情況是研究數量關系的關鍵，求變化中的圖形的特殊狀態是研究圖形關系的關鍵.通過第（1）（2）問的鋪墊，讓學生意識到，運動過程中BO=2OM是不變的，只要確定了矩形的位置，根據對稱性就可以確定圖形內部的數量關系，這為后續探究埋下了伏筆.第（3）問求出所有相切的情況，需要較高的分析和想象能力.然而，看似變化詭異，但學生如果能抓住圓和直線相切的本質：點到切線的距離等于矩形一邊長的一半，即可跳出“形”的迷惑，也為問題解決提供了清晰思路.本題考查學生的數學學習能力，符合《課程標準（2011年版）》提出的數學教學內容的本質要求，讓學生在開放的、動態的數學問題情境中，逐步識圖、畫圖、分析推理、判斷驗證，突出了數學思維的考核.

本題將觀察、分析、計算、探究，將菱形、圓、矩形、三角函數、方程、軸對稱變化等初中數學的核心思想融為一體，蘊含著分類討論、轉化、方程、對稱變化等重要的思想方法.總體設置由易到難，逐步推進，梯度合理，入口易，深入難，既關注學生的思維方法，又凸顯數學本質，是對學生探究能力、創新能力的一次檢驗.

四、對教學的啟示

1.夯實基礎，關注核心教學內容

中考試題首先著重考查“課標”中要求的核心內容，即使是拔高性試題所注重的也是對支撐初中數學知識體系的基礎知識、基本技能、基本方法的考核，這從本題考查的知識點可看出.因此要加強基礎知識的落實，日常教學要關注《課標》的核心內容，運用初中數學知識體系的整體觀思想，加強知識之間的聯系和再生性，把握其中的數學思想方法.

2.加強學生對知識理解的活動經驗的積累

學生學習數學有一個普遍現象，知識容易遺忘，不能靈活應用知識.解決此問題的較好的途徑是重視知識形成的過程，加強對知識理解的活動經驗的積累.《課標》特別強調：“數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志.幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果.”積累數學活動經驗的目的之一是建立數學的感悟、數學的直觀.日常教學重視過程教學，不僅有利于促進學生對知識的理解，更能從中學會分析問題的策略、方法，體會抽象、建模、推理的基本數學思想，有利于形成策略性知識，并運用于問題的解決，這是新課標積極倡導和要求的.

3.關注日常教學中分析、解決問題能力的培養

對試卷答題情況的分析，暴露了學生分析、解決問題能力的薄弱點，主要表現在以下幾個方面：讀題能力弱，不會分析運動過程，遺漏分類，畫不出滿足條件的圖形，列出方程后求解錯誤.而隨著越來越多的新穎題、開放性試題的出現，中考更多的是考查學生分析、解決問題的能力.這中間包括學生的探究、猜想、驗證、歸納、實際應用、邏輯推理、分析問題、數據處理等方面的能力.這就要求我們在平時的教學中，要立足于對學生能力的培養，要讓學生在發展能力的過程中接受新的知識，在知識的傳授過程中鍛煉學生的能力.

4.研究學情，尋找得分點

中考復習中，除了注意學生的學力發展，還要關注一些應試技巧和得分點.在對試卷分析中，教師今后要加強對學生以下幾個方面的訓練：（1）加強幾何邏輯推理的嚴密性；（2）規范學生書寫的文字表達；（3）注意解題速度和合理分配解題時間.Z