理性思考嚴謹推理優先概念*——以“2016年廈門市中考第9題”為例

☉福建廈門第一中學王淼生

理性思考嚴謹推理優先概念*——以“2016年廈門市中考第9題”為例

☉福建廈門第一中學王淼生

一、真題呈現

剛剛落下帷幕的2016年廈門市中考試題第9題（以下簡稱題1），原題如下所示.

題1：某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.6，則現年20歲的這種動物活到25歲的概率為（）.

A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.48

其實，文1第148頁“拓廣探索”欄目也有一道類似試題（以下簡稱題2），原題如下所示.

題2：動物學家通過大量的調查估計：某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，活到30歲的概率為0.3.

（1）現在20歲的這種動物活到25歲的概率為多少？

（2）現在25歲的這種動物活到30歲的概率為多少？

二、參考答案

對于上述題2，文2第268頁給出以下參考答案，為了后續敘述方便，特摘錄如下（以下簡稱解法1）.

解法1：根據題意，不妨設剛出生時共有這種動物a只，則20年后存活的還有0.8a只，又過了5年還存活0.5a只，再過5年還剩0.3a只存活.

毫無疑問，上述題1與題2本質完全相同，據此，筆者斗膽猜測2016年廈門市中考命題專家就是從文1中的題2獲得靈感，或者說就是模仿題2命制上述中考試題（即題1），因此2016年廈門市命題專家對于上述題1所給出的參考答案也就如同上述題2的解答過程，只不過具體數據稍作改變而已，即為：

三、質疑之聲

中考結束，上述題1就招來質疑之聲，質疑焦點主要集中在以下四個方面，其一，題1是條件概率嗎？如果是，而初中沒有學習條件概率，題1是否有超綱之嫌？其二，題1作為涉及千家萬戶的中考試題是否合適？其三，上述解法1是否正確？其四，如果解法1正確，那么命題專家給出上述解法1的理論依據是什么？

四、理性思考

俗話說得好：“解鈴還須系鈴人.”要釋懷上述質疑，還要從高中的“條件概率”這一概念入手，方能解開謎團.

1.緊扣概念——條件概率原始定義

顧名思義，條件概率就是受到一定條件制約，也就是說，在一個事件發生的前提下，另一個事件發生的可能性大小.條件概率準確定義如下所示.（見文3第52頁）.

定義：一般地，設A、B為兩個事件，且P（A）＞0，則有

則稱①為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率.其中P（B A）讀作A發生的條件下B發生的概率.

依據上述條件概率定義，上述題1與題2均屬于條件概率，千真萬確，沒有任何爭議，因此質疑超綱之嫌不足為奇，實屬正常，這也說明中考后有人“雄辯”題1不是條件概率純屬“強詞奪理”.讓我們一起聆聽文4中的“主編寄語”：“數學是清楚的.清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結論.數學中的命題，對就是對，錯就是錯，不存在絲毫的含糊.”

2.尋覓依據——條件概率計算公式

其實，上述條件概率定義本身（即上述①）就是計算條件概率的一個計算公式.對于古典概型（見文4）來說，若n（Ω）表示Ω中包含的基本事件所有結果個數，依據上述①得到：

特別地，

（1）當事件B包含于事件A，即B?A時，上述①還可以進一步得到：

（2）當事件B包含于事件A，即B?A時，上述②還可以進一步得到：

五、嚴謹推理

為了敘述方便與嚴謹，不妨設“活到20歲的這種動物”為事件A，則P（A）=0.8；設“活到25歲的這種動物”為事件B，則P（B）=0.6；“現年20歲的這種動物活到25歲”為事件C.依據題意得到B?A，依據上述公式③可得以下解法（以下簡稱解法2）.

上述解法2是高中常見的條件概率問題的解法，其理論依據就是條件概率定義及上述公式①、③.倘若依據上述公式④可得以下解答（以下簡稱解法3）.

六、心中疑惑

從上述條件概率定義及分析過程不難發現：文2及中考命題專家所給解答（即上述解法1）就是此處的解法3，即上述解法1就是解法3的“簡略版”，因此可以肯定題1本身沒有問題，解法1也是正確的.但是筆者還是有以下一些疑惑，在此向專家、同行請教.

1.能否隨意刪除前提

因為題1源自題2，題1與題2本質相同，因此不少讀者根本沒有察覺到題1與題2之間的細微差異，那就是文1中的題2的前提與背景，即第一句話“動物學家通過大量的調查估計”.然而中考命題專家在命制題1時卻人為地刪除了這句話，筆者認為這是敗筆.題2之所以特意加上“動物學家通過大量的調查估計”，主編意在表明很多概率結論來自實踐、調查及統計、估計，更在暗示初中沒有涉及條件概率知識，其實是在為考生解決問題指明方向，即用頻率估計概率，因此主編在文2第268頁特意指出：“題2需要學生對用頻率估計概率有更深層次的理解”，這正是主編給出上述解法1的緣由所在.基于初中僅僅接觸概率基礎知識，教科書（文1）甚至連“古典概型”這一名詞都沒有明確提起，更不要說幾何概型了，因此文5明確指出：“知道通過大量的重復試驗，可以用頻率來估計概率.”為何初中特別重視借助頻率估計概率呢？因為用頻率來估計概率既不受試驗結果個數是有限還是無限限制，也不受是否為等可能事件等限制，因此統計概率適用范圍更廣泛、更有效，這正好彌補了初中生認知水平不高及理解能力還不成熟而對深入理解相關概率問題帶來的偏差.正因為題1刪除了看似無關、實則關鍵的這句話，因此高中教師一致認同上述解法2、解法3而無法理解乃至質疑上述解法1.一個非常有趣的現象：對于上述題1，筆者先后咨詢多位初中教師，幾乎異口同聲地說：“很簡單，直接相除”（注：此處的“相除”就是指解法1），而高中、大學教師首先想到的是這是條件概率，應該利用上述①或②解決.

2.試題是否有超綱之嫌

由上述詳細分析過程與結果足以說明：文2與命題專家解答的理論依據就是條件概率的定義及上述公式④，而且還利用了一個重要概念，即事件包含關系：B?A.這些知識與概念確實屬于高中范疇，可以明確地說，沒有條件概率定義，沒有事件包含關系是不可能得到上述解法1的.也就是說，文2及中考命題專家所給解法1就是在默認“已知條件概率及事件包含關系”的前提下而得到的.而初中既沒有學習條件概率定義，也沒有學習事件包含關系，因此上述題1及解法1確有超綱之嫌，毋庸置疑.

3.作為中考試題是否恰當

中考涉及千家萬戶切身利益，事關莘莘學子升學擇校，因此命制中考試題應該慎之又慎.不僅要從考查難度上控制，還要從考查內容上把握，特別要遵循《義務教育數學課程標準》（文5）、考綱及本地區的實際情況來命制試題.

俗話說：“打燈籠照舊.”因此不少人認為，題1源自文1中的題2，既然文1已經出現題2，為什么說題1有超綱之嫌？事實上，題2既不是作為教科書的一個例題，也不是作為一個普通習題，而是安排在教科書的“拓廣探索”欄目，充分說明教科書主編已經考慮到題2的難度、深度與廣度，其目的就是為了開闊學生視野、優化學生思維，為教師及能力較強的學生而設置，因此這個欄目的名字“拓廣探索”本身就包含著“拓展、引申、探究”等更深層次的目標，更何況主編在文2（教師教學用書）第268頁特意指出：“題2有一定難度”，這足以說明教科書主編在警醒一線教師應該有選擇性地妥善處理題2，而不是千篇一律地要求所有學生掌握.筆者在第一時間特意就題1請教不少專家、學者，得到回復基本都是“這真的是中考試題嗎？”“對于初中學生，這也太難了.”……事實勝于雄辯，中考閱卷之后的統計數據表明此題得分率極低，這也從一個側面說明題1并非完美.綜上所述，筆者認為將題1作為中考試題不是很恰當，值得專家、學者們進一步商榷.

七、幾點建議

筆者愛好將各地中考（當然也包括高考）試題做一遍，不時發現個別試題有超綱之嫌、有概念不清之處、有不嚴謹之處.要想避免命制試題之中出現瑕疵乃至錯誤，關鍵在于命題專家把好命題關，嚴格按照流程操作，絲毫不放過任何一個環節，哪怕一絲一毫也要慎之又慎.除此之外，還需要主管部門在選拔命題專家時適當關注命題組成員的搭配，這一點非常重要.只有命題組成員明晰初中數學概念，同時包括高中數學概念，甚至還要準確把握小學及大學數學概念才能命制出一份緊扣教材、洞察概念、面向全體、范圍恰當、難度適中的高質量試題.

1.成員搭配

目前各省市中考試題命題工作主要由初中一線教師及教研部門的教研員組成，這無可厚非.筆者認為還要適當選拔具有豐富教學經驗、概念把握極其精準的高中一線教師參加命題，這樣既能保證中考命題有利于考生后續高中學習，更能有效避免范圍超綱等不必要瑕疵.像上述題1，如果命題組中有功力深厚的高中數學教師，應該立即就能發現題1屬于條件概率.也許有人質疑筆者看輕初中教師，甚至貶低初中教師水平，筆者絕無此意.因為能夠參加中考命題的教師都是鼎鼎有名的初中教師和資深教研員，而能夠成為一個地區乃至一個省家喻戶曉的名師一定經歷了較長的教學生涯磨練，因此這些名師相對年齡較大，也就是說，盡管他們功力深厚，但畢竟遠離高中數學多年，加上高中數學教科書多次變化，甚至不少內容進行了增加與刪除，他們未必及時知曉.還有目前我國中小學教學模式分為小學、初中和高中，逐步形成“鐵路警察各管一段”的局面，因此初中教師不太了解高中數學課程與內容，在此筆者呼吁中考命題組成員中至少應該選拔一名對高中數學概念精通的教師與初中教師及教研員一起共同完成中考命題，就像高考命題專家之中一定要配置大學教授或科研部門專家一樣，其目的就是為了把把關、摸摸脈，預防出現本應完全可以避免的瑕疵與錯誤.

2.顧全大局

中考命題既要有利于初中教學，同時還要顧及高中乃至大學學習.如果說高考是為高校選拔優秀高中畢業生進一步深造，那么中考就是為了進入高中繼續學習而進行的全面性檢測考試，因此中考試題應該面向全體考生，難度應該適中，知識點應該較為全面.隨著2016年回歸全國統一高考命題，不少省份也正在實施或正在醞釀中考全省統一命題，可以集全省之力、聚全省名師命制試題，這樣質量更高，更為重要的是與高考回歸全國統一命題大背景保持一致，為初中教學指明方向，實現初高中教學的銜接，逐步打破初高中教學斷層的局面.

3.優先概念

中考命題也好，高考命題也罷，其實衡量一份試卷質量高低、考量一道試題是否恰當、核準一道試題是否超綱，關鍵在于是否吃透概念，核心在于知曉概念來龍去脈.近年來筆者重視數學概念及概念教學，尤其在承擔全國課題“基于數學教學內容知識（MPCK）視角下的概念教學案例研究”研究之后，更是特別關注數學概念與中考、高考命題之間的緊密聯系并取得一點點收獲，陸續發表了文6～8，其中文6、文7是針對目前高考命題與中學及大學概念之間的關聯；文8則是跨越小學、初中、高中及大學概念之間的千絲萬縷的聯系.本文通過一道中考試題的質疑之聲及理清之路，渴望更多一線教師不僅在教學之中，而且在命題之時都要關注數學概念，尤其是數學核心概念（比如函數、統計、概率等），這是數學教學的根本出發點，也是中考、高考命題依據所在.

行文結束，再次強調這是筆者一點心得體會，絕沒有貶低更沒有攻擊命題專家之意，這正是文中沒有用“某某市中考試題”來替代的原因，本文純屬從學術視角進行探究，不當之處，敬請批評指正，萬分感謝.

1.義務教育教科書數學九年級（上冊）［M］.北京：人民教育出版社，2015.

2.義務教育教科書數學九年級（上冊）教師教學用書［M］.北京：人民教育出版社，2015.

3.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2—3（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

4.普通高中課程標準實驗教科書數學必修3（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

5.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

6.王淼生.疑慮與渴望［J］.中學數學（上），2014（5）.

7.王淼生.2014年全國高考福建卷數學理科第21題的賞析［J］.數學教學，2014（12）.

8.王淼生.基于MPCK視角下的概念解讀——以凸多邊形內角和為例［J］.中學數學（下），2016（7）.Z

*本文系全國教育科學“十二五”規劃2015年度單位資助教育部規劃課題“基于數學教學內容知識（MPCK）視角下的概念教學案例研究”（課題批準號：FHB150464）的研究成果.