中學生數學問題解決的表征研究*

☉江蘇省鹽城中學教育集團張衛明

中學生數學問題解決的表征研究*

☉江蘇省鹽城中學教育集團張衛明

一、問題的提出

哈爾莫斯指出，問題是數學的心臟.美國全國數學管理者大會（NCSM）在《21世紀的數學基礎》中認為“學習數學的主要目的在于問題解決”，并且把解決問題能力列為十項基本技能之首.我國《全日制義務教育數學課程標準》也明確要求數學課程的學習應注重發展能力，包括解決問題的能力.因而學習怎樣解決問題是學習數學的根本原因，培養和提高學生分析、解決問題的能力就成為中學數學教學的首要任務.在數學問題解決的研究領域，自二十世紀八十年代以來，安德森等人對知識分類的研究取得了豐富的成果，人們開始以數學學科知識為例構建問題表征理論和數學問題解決研究，從而為數學問題解決的表征研究提供理論依據.

二、數學問題表征與數學問題解決

表征即信息在頭腦中的呈現方式，它既是客觀事物的反映，也是被加工的客體.數學問題表征是指解題者根據數學問題的相關信息和已有的知識經驗，破譯數學問題的結構因子，建構數學問題自由空間的過程.問題表征既是對問題的理解和內化的一種過程，也是對問題理解的一種結果.而數學問題解決，其“問題”一般是指解題者初次遇到的問題，整個問題解決的過程具有目的明確的特點.美國全國數學管理者大會（NCSM）在《21世紀的數學基礎》中把其定義為“將先前已獲得的知識用于新的、不熟悉的情境的過程”，當前國內數學教育界普遍認為數學問題解決是指“綜合地、創造性地運用各種數學知識去解決那種并非單純練習題式的問題，包括實際問題和源于數學內部的問題”.由此可見，數學問題表征是貫穿數學問題解決的一個動態過程，它涵蓋了從呈現問題到解決問題的全過程.

三、數學問題解決的表征研究

要想解決問題首先要做到理解問題，即進行合理的表征，其實質是對一個問題進行信息提取、組織、加工、分析、表達的過程，數學問題表征對于數學問題解決來說具有很重要的作用，是問題解決活動的一個中心環節，貫穿了數學問題解決的全過程，它可以說明問題是如何在腦中呈現的.數學問題解決的第一步就是對問題進行表征，確定問題究竟是什么.一旦采取合理方式表征問題，就形成了一個良好的問題空間，問題的解決就開了一個好頭.學生在數學問題解決的過程中，根據自身所積累的數學經驗或生活經驗來表征數學問題.然而問題解決能力較差的學生對數學問題解決的過程中缺乏建立適宜的、科學的表征能力，也因此影響數學問題的有效解決.

新課程標準的理念要求數學教師著力培養和發展學生的數學解題能力，其對學生搜集和處理信息的能力、數學思維的能力、遷移能力及創新能力的培養也有重要的影響.數學解題能力是指對已經提出的問題進行解答的能力，解答數學問題依賴于解題者的知識基礎和解題經驗.學生應用知識解決問題能力的高低不僅與貯存知識的數量有關，還與貯存知識的概括程度、索引方式、相互關聯度等可有效利用的屬性有關.因此培養學生的問題解決能力勢在必行.由于中學生數學問題解決能力與問題表征過程有著密切的聯系，現結合相關理論和解題實踐，從問題表征的角度提出中學生數學問題解決能力提高的建議，以饗讀者.

1.建立良好認知結構，疏通信息感知渠道

一般而言，我們解決一道數學題，第一件事應該了解這是道什么題？它是什么形式，屬于何種類型.解題中要充分理清條件的指向性和結論的隱藏性、迷惑性，在紛繁復雜的信息中，看條件特殊、看轉化結論、看過程溝通，以尋求最有用、最有價值的信息.［1］即我們應先根據題目的條件和結論進行類型識別，解決這個數學問題必須理解這個數學問題，即先要對它進行表征.再通過差異分析和題目信息的轉換、活用等思維活動，結合相應類型的數學問題解決模式，就容易找到解決問題的切入點.

問題解決者對問題采取什么樣的表征方式，這很依賴于個體不同的知識經驗.因此，數學問題教學中必須夯實學生基礎，加強基礎知識和基本技能的培養，幫助學生建立良好的認知結構，在講解例題的過程中，應注重師生、生生之間的多向交流、討論，深入剖析例題所蘊含的數學思想方法，引導學生嘗試從多種角度對問題進行不同表征，使問題表征正確、恰當、靈活，疏通問題信息感知渠道.由于數學表征對完善學生的數學的認知結構有積極的影響，在教學中應有意識地教會學生在解決問題的過程中學會主動觀察、思考、歸納、總結，引導學生從多種角度對同一問題進行不同表征.

案例1如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD為一邊的等邊△DCE的另一頂點E在腰AB上.［2］

（1）求∠AED的度數；

（2）求證：AB=BC；

（3）如圖2所示，若F為線段CD上一點，∠FBC=30°.求的值.

圖1

圖2

在同一問題的解決過程中，鼓勵學生用適合自己且科學合理的方法表征并解決問題，從而在群體中盡可能出現多樣化的問題解決方法.現以第（3）問為例介紹以下幾種解題策略.

分析1：利用的背景知識為：運用全等與相似論證初中幾何中常遇到證明線段或角之間關系的問題.可以有如下解題思路.

思路1：如圖3，延長BF交AD的延長線于點G，由∠G=∠GBC=30°，∠GAB=90°，可知BG=2AB，從而得到FG=BF.易證△DGF≌△CBF，所以DF=CF.

圖3

圖4

思路2：如圖4，在BC上截取BH=AD，連接FH，易證△ADF≌△BHF，△FHC為等腰三角形，從而得到DF= FH=CF.

在思路1、思路2中，問題表征的方式不一樣，有利于突出學生不同的思維水平，培養思維的發散性和創造性，從而提高解決問題的能力.

分析2：利用的背景知識為：把直觀圖形與抽象的數學語言結合起來，通過對圖形的認識、數形的轉化，構造函數，使問題化難為易，最終使問題獲解.

思路3：建立如圖5所示的直角坐標系，設AB=BC=a，則C（a，0），A（0，a）.

圖5

由上可見，在問題的感知中，往往需要問題表征的參與，把感知到的對象特征和關系進行適當的表征，有利于從背景中清晰地分離出特定的對象和關系.信息感知渠道是否通暢可反映出問題解決者的知識背景和表征水平及能力.只有建立良好的知識結構，才能使整個解題過程不陷于僵化的程式.

2.加強解題過程監控，提高數學表征能力

數學解題監控，就是指解題者（學生）在解題過程中進行監測、控制的過程.［3］數學表征是指用數學工具適當地表示數學對象的結構，用程序表示思考步驟，用圖表表示整體結構，用數、符號、式子精細表示對象之間的數量關系.在表示問題結構中，始終記住問題的目標任務，以任務導向問題的表征和表征方式的變化，是引導學生進行有向多元的數學表征的重要策略.在數學問題解決中，學生要理解題意，區分問題中的有關信息和無關信息，把握相關信息，擬定解題方案，利用數學概念、圖像、公式、表達式等表征問題.在數學問題解決的初始狀態到數學問題解決的目標狀態，解題者在解題監控的作用下，數學表征能力得到進一步提高.

在研究中發現，很多學生解題出現錯誤，原因就是解題缺乏有效的監控.解題教學中，教師要善于運用數學教學中的錯誤資源有意識地培養學生在解題時的監控能力.可讓學生有解題的計劃性，預測解題的方法與結果的相關性.

案例2已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC.若點O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？老師請學生畫圖表示并回答解題思路.［4］

生1：如圖6，連接AO.因為OE=

OF，所以AO平分∠BOC.又OB=OC，

可證得△AOB≌△AOC.所以AB=

AC.

師：AO平分∠BOC，為什么

△AOB≌△AOC？

生1：（理所當然地）兩邊及一角

對應相等的兩個三角形全等呀！

生2：不對，你錯用三角形全等的判定方法了.實際上可先說明△EOB≌△FOC得到BE=CF，再由△EOA≌△FOA得到AE=AF，這樣就能說明AB=AC了！

師：（緩緩地）這個方法很簡明啊……

生3：（迫不及待地）我覺得他們的畫圖不全面，還有不同的情況！

（“一石激起千層浪”，學生恍然大悟）

師：很好！那么還有其他的什么情況？

生4：如圖6，點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC，但是顯然AB=AC不成立.

（大家紛紛向生4贊賞的目光）

師：不錯！這就告訴我們，數學是一門非常嚴謹的學科，平時考慮數學問題一定要全面、細致……

數學解題過程中，學生經常出現錯誤是正常的.加強解題過程的監控，及時地糾正錯誤.讓學生深刻地理解和掌握基本知識、基本技能、基本活動經驗、基本思想方法，提高分析、解決問題的能力.此案例中，學生認為，反映了學生的直覺思維水平.但一些學生僅僅依靠直覺，誤用三角形全等的判定方法，還有部分學生受思維定勢的影響，考慮問題不全面，思維缺乏縝密性和批判性.實踐證明，加強問題解決的監控，不僅可以促使學生在解題時對問題表征形成合理直覺（頓悟），還能有效地提高學生對問題深層次理解的能力.

圖6

3.突出數學解題思想，提升方法表征能力

現代解題理論指出：數學思想方法是數學知識的精髓，數學解題的過程是數學思想方法得以運用的過程.可以這樣說，抓住了數學思想方法就是主宰了數學教育的生命.數學思想的形成與否，關鍵不是會解某道題，而是會解決某類題，關鍵是在舉一反三、觸類旁通的基礎上能形成解決不同知識點、不同題型的思維規律.這需要解題者在數學學習方面不僅學好概念、公式、法則等內容，而且要能領悟其中的數學思想方法，并通過不斷積累，逐漸內化為自身的解題經驗和知識結構，提高解決問題的能力.

數學思想方法與數學自身的發展是相輔相成的，作為問題解決來說更是離不開它們.解決一個問題總是要采用一定的方法，更一般地說，解決一類問題的方法也許是一種“思想之樹”的結果.采用以形先導、數形結合等方式表征數學問題是進行數學問題的合理表征和表征轉換的有效方法.因此，在解題教學中，教師一定要揭示數學的思想方法，使這種潛在的知識發揮其自身的功能.

案例3已知函數y1=x+1（x＞-1）與函數y2=x2+2x+5（x＞-1），求的最小值，并指出取得該最小值時相應的x的值.

分析：利用的知識背景為：構造特殊的平方式并且利用平方的非負性證得基本不等式，再由配方法將問題轉化為可利用基本不等式求解的形式.

我們知道配方法的基本特征［5］：（1）配方目標有明確性.配方有一個明確而具體的思維指向——出現平方式.（2）配方途徑有多向性.同一個式子可以有不同的配方結果，可以配成一個或多個完全平方式.（3）配方對象有多樣性.數、字母、具體的數學式、抽象的函數關系等進行配方.（4）配方使用有多重性.配方可以并列地多次使用，也可以連續地重復使用.（5）配方應用有廣泛性.無論是初等數學還是高等數學、是代數還是幾何、是相等關系還是不等關系、是求值還是證明、是連續還是離散問題、是簡單的整數還是抽象的解析式，都能用到配方法.可見，配方法以一種方法為主線，能夠解決不同領域的問題.教師有意識地滲透、傳授數學思想方法，學生就可獲得大量的關于解決數學問題的一般和特殊的策略性知識.數學建模、轉化、數形結合、分類、特殊到一般等這些數學思想不僅是解決數學問題的基本手段，也是數學問題表征的高層次表現.教學中只有突出數學思想，明晰各種方法，學生的問題表征能力才更具有靈活性、深刻性.

案例4若ab≠1，且有5a2+2002a+9=0及9b2+2002b+ 5=0，則的值是（）.

分析：利用的知識背景為：通過觀察、分析，發現兩個方程之間的聯系，將其轉化為一元二次方程根與系數的關系進行求解.

思路：根據5a2+2002a+9=0，等式兩邊同除以a2得5+0，可知，b（根據ab≠1知≠b）是一元二次方程9x2+ 2002x+5=0的兩個解，由一元二次方程根與系數的關系得=，即=，故答案為A.

這道題難點之一是個體如何根據自己已有的知識經驗將等式5a2+2002a+9=0和9b2+2002b+5=0創造性地建立應有的聯系.這對解題者來講是一種考驗，解題者最終能否成功地建構出關于所面臨問題的一個合適的內在表征，能否學會用數學思想方法對解題的調節點先進行分析和監控便顯得尤為重要.在解題分析中，將不熟悉的類型轉化為熟悉的類型，將費解的類型“肢解”成一個個熟悉的小問題或不斷地揭示問題的深層結構，運用數學思想方法調節.如本例中消參時轉化思想的運用，題目中的某些條件與其本人已有的認識結構發生聯系和碰撞，從而此刻“問題空間”向著成功的方向轉化，體現解題者知識與經驗之間的相互溝通能力.

4.注重應用意識培養，增強情境表征能力

實際問題是錯綜復雜的，問題解決的表征，不必要尋求一種固定的模式.比如，學習“相似”時，讓學生領悟到勾股章中的邑方、杠桿原理、焦距等與相似有著十分密切聯系的知識.學習“圖形的變化”時，讓學生研究有趣的“費馬點”問題，了解它在自來水或煤氣管道線路設計等方面有著很大的作用.讓學生體會數學源于生活并指導生活.

案例5某天股票A的價格比股票B高，但不到股票B的2倍.第二天股市大跌，兩只股票雙雙漲停（即都比前一天上漲了10%）.問：現在股票A的價格仍比股票B的價格高但低于兩倍嗎？請說明理由.如果每只股票各漲2元呢？

分析：利用的知識背景為：將實際生活中股票的漲跌問題轉化為一元一次不等式的求解.

思路：設A，B股票價格分別設為x，y元，由題意知x＞y且x＜2y，第二天各上漲10%后，股票A的價格為1.1x元，股票B的價格為1.1y元.根據不等式的性質3可知1.1x＞1.1y，1.1x＜2.2y，即股票A的價格仍比股票B高，但低于兩倍.若各上漲2元，則股票A的價格為（x-2）元，股票B的價格為（y+2）元，由不等式的性質2可知x+2＞y+2，x+2＜2y+2＜2（y+2），即上漲2元后股票A仍比股票B高，且仍不到股票B的兩倍.

這道題將實際問題“數學化”，主要考查學生的問題表征能力及建模能力，根據已知條件進行合理表征并建立不等式模型是解決該題的關鍵.數學課堂情境問題的設計，教師以學生為中心，從學生身心發展特點出發，借助于現實的、有意義的、富有挑戰性的材料和手段，創設有利于學習者的學習情境，能使表征研究材料更加生活化，使學習者更加積極地自主探究、合作交流去發現和建構知識網絡.情境形象富有真切感，但也不是對現實物體的復制，而以其他手法獲得與現實物體在結構上對應的形象，從而讓學生有真實的感覺，有利于實現數學問題研究的生態化，增強學生的情境表征能力，和諧地去實現教學目標.

四、結束語

長期以來，我國的數學教育一直存在“題海戰術”的現象，雖然許多老師在教育實踐領域中努力糾正這一現象，但這一現象始終沒有得到有效解決.進行中學生問題解決表征研究，在一定程度上將數學教育內部效度與外部效度較好地統一起來，從而為中學數學教育教學改革提供有益的啟示，為數學素質教育開辟一條新途徑，這顯然具有重要的現實意義和深遠的歷史意義.

1.羅增儒.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

2.張衛明.重視“空間與圖形”問題解決的多樣化［J］.中學數學教學參考（中），2010（9）.

3.喻平.數學學習心理的CPFS結構理論［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

4.張文娟.對解題教學有效性的思考［J］.中學數學教學參考（中），2012（7）.

5.羅增儒.中學數學解題的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.H

*本文是江蘇省教育科學“十二五”規劃課題“基于協同學理論的情境問題串數學課堂教學模式”（課題批準號：B-b/2015/02/ 258）的階段性成果.