思路生成貴在自然，一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習題課設計

☉江蘇省徐州市第三十四中學孫莉

思路生成貴在自然，一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習題課設計

☉江蘇省徐州市第三十四中學孫莉

每年中考之后，專業刊物上會有很多研究較難考題思路的文章，作者往往從解題的角度偏重于一題多解的探討，也有多解歸一、解法自然、拓展深化的研討，然而把解題研討轉向解題教學研究的文章還不多見，本文以一道中考題為例，先給出思路突破（基于思路自然生成的角度），再圍繞這道考題給出習題課的教學設計，提供研討.

一、考題思路突破與解后反思

考題如圖1所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B= 90°，AD=15，AB=16，BC=12，E是邊AB上的動點，F是射線CD上一點，射線ED和射線AF交于點G，且∠AGE=∠DAB.

（1）求線段CD的長；

（2）如果△AEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長；

（3）如果點F在邊CD上（不與點C、D重合），設AE=x，DF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍.

圖1

圖2

1.思路突破

（1）只要過點D作出梯形的高DH（如圖2），將梯形分成直角三角形和矩形，即可獲得思路，求出CD=7，限于篇幅，過程略去.

（2）利用∠AGE=∠DAB，再結合∠AEG=∠DEA，可得△AEG∽DEA.由題意，△AEG是以EG為腰的等腰三角形，需要考慮兩種可能：EG=AG或EG=EA；對應著另一個相似的三角形ADE中，則是兩種可能：AE=AD或AE=DE.以下分兩種情況求解：

第一種情況：當AE=AD時，直接可以得到AE=15（注意驗證此時點E是否在邊AB上即可）；

第二種情況：當AE=DE時，構造圖3，分析如下：作DH⊥AB于點H，由（1）中求解可知，AH=9，設AE=x，則DE=x，HE=x-9，在Rt△DEH中，根據勾股定理，可求出x=.

圖3

（3）首先分析問題，可以有兩組相似三角形供選用，并帶來比例式.這就是△AEG∽△DEA，可得=，即x2=GE·DE；又△DFG∽△EAG，可得=，運用比例性質變形得

接下來，重點處理用含x或y的式子表示GE、DE，就可以溝通x、y之間的關系了.構造圖2，由圖2可知，HE=x-9，在Rt△DEH中中，得，再把GE、DE的表達式代入“x2=GE·DE”中，可得

現在再來分析自變量x的取值范圍，首先是由（2）中得出的x=，這是一個極端位置，此時點F、D、G均重合，由題意點F不與端點D重合，故此種情況舍去，即x＜；當點F運動到另一極端位置C點時，連接AC，如圖4，此時，當點E恰在垂足H處時，經過演算有，滿足∠AGE=∠DAE，考慮到點F不與點C重合，因而x＞9，綜上，x的取值范圍為9＜x＜.

圖4

2.解后反思

對于第（2）問的求解，如果不能有效轉化目標，即思考△ADE，而是把思路盯在△AEG中，試圖構造可能的等腰三角形AEG，則會花費更多時間，造成解題的時間成本偏高，影響其他試題的解答.

第（3）問延續了上海中考數學卷的一貫的風格，并不是初中階段常見的三種初等函數（一次函數、二次函數或反比例函數），而需要分析具體線段之間的數量關系，通過勾股定理、相似三角形、比例式變形等綜合之后，溝通x、y之間的數量關系.在演算過程中，式子不宜急于展開或化簡，因為隨著后續運算，會出現兩個式子相乘，可以簡化運算.這里也對繁雜算式化簡的預見性提出了較高要求，即運算過程并不一定隨時隨刻都要保持算式的簡潔.

另一個難點是，自變量x的取值范圍.可以受到第（2）問的啟示，思考可能的極端位置來獲得思路，即當點F在端點C、D處時，分析此時G點的位置，相應地推理出點E的位置.啟發學生想到極端位置來思考，需要教學中多加重視.

二、“一題一課”的微設計

以下以上海這道中考題為例，給出“一題一課”的微設計，提供研討.

教學環節一：圍繞梯形的熱身問題

問題1：如圖5，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12.

圖5

（1）求∠A的正切函數值；

（2）求CD的長；

（3）求梯形ABCD的面積；

（4）設梯形的高DH與對角線AC交于M點，求DM的長.

設計意圖：通過一組梯形相關的計算求值，讓學生能熟練地求出直角梯形中銳角的三角函數值、梯形的面積及對角線等基礎問題，為后續問題的探究奠定基礎.

教學環節二：一個邊上的動點探究

問題2：在“問題1”題干的基礎上，若AB邊上有一點E，連接DE.

（1）求線段DE的取值范圍；

（2）當△ADE的面積恰為梯形ABCD面積的一半時，求AE的長；

（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長；

（4）當DE取得最小值時，連接AC交DE于點G，求證：AE2=EG·ED.

設計意圖：通過在邊AB上增設一個動點E，設計了系列追問，為后續兩個動點的研究提供基礎；同時也對應著原考題中的第（2）、（3）問的設問方向.

教學環節三：引入雙動點的探究

問題3：在“問題1”題干的基礎上，若AB邊上有一點E，射線CD上有一點F，連接DE，AF，設射線ED和射線AF交于點G（如圖1）.

（1）當AE2=EG·ED時，△ADE與哪些三角形相似？直接寫出來.

（2）當∠AGE=∠DAE時.

①求證：△DFG∽△EDA；

②若△AEG是以EG為腰的等腰三角形，求AE的長；

③若點F在邊CD上（不與點C、D重合），設AE=x，DF= y，直接寫出y與x之間的函數關系式；并指出x的取值范圍.

設計意圖：通過層層遞進式的追問，把原考題中的第（2）（3）問漸次呈現出來，提供優秀學生挑戰和思考，教學時注意引導學生辨析“強化條件”的限制作用.

教學環節四：引導回顧與反思

回顧問題1：在上面“問題3”求解x的取值范圍時，與之前的“問題2”“問題1”之間有沒有聯系？

回顧問題2：這道題目成功求解之后，你覺得對相似三角形和銳角三角函數之間的關系有怎樣的認識？

回顧問題3：梯形中常用的輔助線有哪些？你能說說這些常用的輔助線的作用嗎？

回顧問題4：動點問題的探究中，有人認為要特別注意一些極端位置（或特殊位置）的思考，你覺得在本題中，有哪些極端位置是值得注意的？一些具體的追問，還可結合教學對話中學生不同的思考給出.

設計意圖：引導學生重視和善于解后回顧反思，以達到加深對問題求解的認識或理解.

三、開發“一題一課”的三點思考

1.鋪墊問題，基礎出發，漸次生長

“一題一課”的教學設計，開課階段一定要平緩起步，堅持從基礎出發，讓更多的學生參與到初始問題的思考中來，能否更大范圍地調動所有學生的思維是這種課型的實施關鍵.如果開課階段就有不少學生不能理解初始問題，試想整節課的教學效果可能就會大打折扣，面向全體學生也就成了一句空話.特別是，如上文中的“微設計”的第一個教學環節，基礎問題的設計又要服務于后續問題，即讓這些基礎題練習之后有助于思考后面漸次生長出來的能力題、提高題、拓展題，這就需要教師設計時充分關注后續問題的生長.

2.增設條件，靠近考題，啟發思考

在基礎題引導更多學生參與之后，就可陸續增設條件，靠近原來考題漸次增加強化條件，也不宜全盤托出，需要有必要的鋪墊，保持基礎偏弱學生探究的興趣和信心，因為根據教學經驗，當變式距離過大時，不少中等偏下的學生往往會放棄跟進思考，從而影響整體教學效果.有時在思維障礙點、解題難點處，教師可以通過必要的追問，讓一些優秀學生重復講解他們是如何突破問題的關鍵點、難點的，也有助于讓更多的學生理解、貫通思路.

3.引出原題，自主發現，引導反思

我們認為，直到課堂教學時間進行到一半時，才適合全盤引出原題，這時要盡可能讓學生在前面鋪墊問題的啟發下自主發現思路，保持優秀學生獨立探索思路的自信和挑戰的樂趣.對于特別難的拓展題，明顯不適合數學基礎偏弱的學生，這時可以適當取舍，比如多解問題，只要求他們先理解其中某一種簡單的情形，或者問題聚焦在某個特殊圖形上，請他們參與講解對這個特殊圖形中某些數據特征的理解等.特別是，在解答之后，如上面“教學環節四”一樣，安排必要的回顧反思的問題，引導學生學會回顧反思，能更好地洞察和揭示難題的結構，懂得轉化的路徑，積累同類題的解題經驗.

1.鐘啟泉.“教會提問”的教學［J］.基礎教育課程，2014（9）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.鄭毓信.善于優化［J］.人民教育，2008（20）.H