一道中考題與一道高考模擬題的同源探究

福建省泉州市第三中學 (362000)楊秋環(huán)福建省泉州市第五中學 (362000)

楊蒼洲

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一道中考題與一道高考模擬題的同源探究

福建省泉州市第三中學 (362000)楊秋環(huán)福建省泉州市第五中學 (362000)

楊蒼洲

圖1

(1)求h的值；

(2)通過操作、觀察，算出△POQ面積的最小值(不必說理)；

(3)過點P、C作直線，與x軸交于點B，試問：在直線l的旋轉過程中，四邊形AOBQ是否為梯形？若是，請說明理由；若不是，請指出四邊形的形狀．

題2 (2013年福建省高考模擬)某同學用《幾何畫板》研究拋物線的性質：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線E:y2=2px，在拋物線上任意畫一個點S，度量點S的坐標(xS,yS)，如圖2．

(1)拖動點S，發(fā)現(xiàn)當xS=4時，yS=4，試求拋物線E的方程；

圖2

(2)設拋物線E的頂點為A，焦點為F，構造直線SF交拋物線E于不同兩點S、T，構造直線AS、AT分別交準線于M、N兩點，連接直線MT、NS．經(jīng)觀察得：沿著拋物線E，無論怎樣拖動點S，恒有MT∥NS.請你證明這一結論；

(3)為進一步研究該拋物線E的性質，某同學進行了下面的嘗試：在(2)中，把“焦點F”改變?yōu)槠渌岸cG(g,0)(g≠0)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“MT與NS不再平行”．是否可以適當更改(2)中的其它條件，使得仍有“MT∥NS”成立？如果可以，請寫出相應的正確命題；否則，說明理由．

1.3.1 誘捕器試驗 試驗設A、B、C 3個處理，每個處理設5次重復，各小區(qū)隨機排列。將3種誘捕器同時安裝到茶園，誘捕器離茶叢表面20 cm，各小區(qū)之間間距10 m，配備北京中捷四方生物科技股份有限公司茶尺蠖誘芯，比較3種誘捕器在試驗期間的誘捕量。試驗時間為2017年7月11日至8月2日，每周調查1次，連續(xù)調查4周。圖1為3種茶尺蠖誘捕器。

2.題源探究

上述兩道試題，一道面向初中畢業(yè)生，一道面向高中畢業(yè)生.從表象上看，似乎風馬牛不相及，而實際上它們卻有共同的題源，有著相同的數(shù)學本質.兩道試題都是源于拋物線的定性性質，經(jīng)過命題者的巧妙包裝、設計，編制成分別適用于中考考生和高考考生的試題.為加深對試題的理解，筆者探究了拋物線的這一性質.

拋物線的性質1 已知拋物線E:y2=2px的頂點為O，焦點F，準線為l.直線m過F，與E相交于A,B兩點，點A′,B′在l上.若AA′∥BB′∥x軸，則A,O,B′三點共線，B,O,A′三點共線；反之，若A,O,B′三點共線(或B,O,A′三點共線)，則AA′∥BB′∥x軸.

進一步推廣拋物線的性質，把“焦點和準線”一般化后我們能得到下述命題：

拋物線的性質2 已知拋物線E:y2=2px的頂點為O，直線m過G(g,0)，與E相交于A,B兩點，點A′,B′在l:x=-g上.若AA′∥BB′∥x軸，則A,O,B′三點共線，B,O,A′三點共線；反之，若A,O,B′三點共線(或B,O,A′三點共線)，則AA′∥BB′∥x軸.

(1)若AA′∥BB′∥x軸，則A′(-g,y1),

同理可證，B,O,A′三點共線.

同理可證：AA′∥x軸.

若B,O,A′三點共線，同理可證AA′∥BB′∥x軸.

3.圓錐曲線的統(tǒng)一性質

著名的數(shù)學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”通過上面的探究，我們知道，拋物線具有性質1，2，那么在橢圓、雙曲線中是否也有相似的幾何性質呢？回答是肯定的，我們在下面給出橢圓和雙曲線的性質，證明從略.

*本文由四川師范大學2017屆研究生優(yōu)秀學位論文培育基金項目資助.