常微分方程數值解法的Matlab計算與可視比較*

孫美玲

（南通職業大學公共教學部，江蘇南通226007）

常微分方程數值解法的Matlab計算與可視比較*

孫美玲

（南通職業大學公共教學部，江蘇南通226007）

文章研究常微分方程初值問題的數值解法，通過同一個算例、利用Matlab編程實現了一階歐拉法、二階預估-校正法、高階泰勒法、高階龍格-庫塔法，結合數值列表、圖文并茂地展現了誤差比較與階數。

常微分方程數值解；Matlab高效計算；精度與誤差；方法的階數

一、概述

常微分方程是描述與研究各事物、現象、運動的演變規律的重要工具，在眾多領域應用廣泛。理論學習時，對可分離變量方程、齊次與可化齊次方程、一階線性微分方程、伯努利方程、全微分方程等，可用不同技巧求出其解析解［1］。

然而并不是所有方程都有解析解，求其數值解同樣有重大意義。關于常微分方程數值解法，國內往往放在數值分析課程的最后章節，如文獻［2］，國外則有一本專著［3］。近年來，有效數值解法的研究繼續展開，如文獻［4］比較了四種算法的實際效果；文獻［5］針對四階方程，提出的Runge-Kutta-Nystrom法在精度和計算效率上都有很好的保證。

二、問題和數值解法

考慮一階常微分方程的初值問題

這里f（t，u）是光滑函數。我們知道，若滿足李普希茨條件|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L|u1-u2|，其中L＞0，則初值問題（1）存在惟一的連續可微解。

問題（1）的數值解法，即尋找精確解u（t）在一系列等距離散節點t0，t1，…，tn（tj+1=tj+h，h為時間等距步長）的近似值u0，u1，…，un，｛un｝稱為數值解。給出各種數值解法：

1.折線法uj+1=uj+hk1，其中k1=f（tj，uj）。

3.高階泰勒法，需有光滑的各階導數f'，f''，f（3），…，f（n-1），且利用泰勒展式，定義則高階泰勒法uj+1=uj+hT（n）（tj，uj）。泰勒法要求較好的光滑性，各階導數既要存在還要易求。

4.高階龍格-庫塔法，如

二階龍格-庫塔法uj+1=uj+hk2，

三、數值算例

例.分別用歐拉法、預估-校正法、三階、四階泰勒法、二階、三階、四階龍格-庫塔法求初值問題區間為t∈［0，1］，取步長h=0.1。（精確解u（t）=t+e-t）

解：將上述公式轉變為簡便高效的Matlab編程計算，可得表1。

％精確解

表1 各數值解與精確解之比較

圖1 各數值解與精確解

可以驗證，歐拉法最簡單但精度也最差，其整體截斷誤差為O（h），為一階方法；預估-校正法精度有所改進，為二階方法；高階泰勒法需簡易計算f的高階導數，對應為O（hn）階方法，同時也導致更多計算與局限；高階龍格-庫塔法格式對稱、應用廣泛，對應也為O（hn）階方法。這促使我們，在復雜多維的常微分方程數值解法中，采用行之有效的高階數值格式來逼近無精確解的實際模型，也能得到高精度的數值結果。

［1］王高雄，等.常微分方程（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］李慶揚，王能超，易大義.數值分析（第5版）［M］.北京：清華大學出版社，2008.

［3］J.C.Butcher.Numerical methods for ordinary differential equ ations［M］.England:Wiley press，2003.

［4］魏明強.一階常微分方程數值解中四種算法的實例比較［J］.中國傳媒大學學報（自然科學版），2016，23（2）：41-44.

［5］I.T.Famelis，C.Tsitouras.On modifications of Runge-Kutta-Nystrom methods for solving y（4）=f（x，y）［J］.Applied Mathematics and Computation，2016（273）：726-734.

We study the initial value problem of ordinary differential equation for efficient numerical solutions. Applying an example and Matlab programing，we fulfill Euler，estimator-corrector，Taylor and Runge-Kutta methods. Through the corresponding tables and figures，we present the error comparison and orders.

numerical solutions of ordinary differential equation；Matlab computation；accuracy and error；order of methods

O17

A

2096-000X（2016）19-0060-02

南通職業大學高等教育教學改革研究課題（編號：2015-QN24）；南通職業大學自然科學研究項目（編號：1512105）；江蘇省高校自然科學研究面上項目（編號：13KJB110030）

孫美玲（1981-），女，江蘇南通人，理學博士，講師，主要研究微分方程理論及其應用。