函數的概念淺談

高翔

中圖分類號：TP3文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）12-0037-01

問題一：初中已學過函數，你能舉幾個函數的例子嗎？

學生活動：舉例

學情分析：學生在初中已學過函數的描述性定義，會把函數看成變量間的依賴關系，接觸了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等，了解其圖像和性質，且函數現象大量存在于學生周圍。

學生舉例情況預測：應能舉出用解析式表示的函數，困難之處在于對圖像、表格等函數的理解。

課堂實況：恰與預測相同，學生舉出了如一次函數、二次函數的例子，也有同學能夠舉出實際生活中的實例，但學生不能舉出圖像和表格的函數例子。

教師舉例：

①某城市從零點到晚二十四點一天的氣溫變化曲線圖；（幾何畫板演示）②某學生考試成績表。

學生順利舉出有解析式的函數后，對教師所給實例不能做出準確的判斷，甚至有一些同學根本無從下手，不知如何判斷。

原因是：學生已經忘記初中所學的函數定義，更談不上對定義的應用。

對策：教師幻燈片給出初中所學函數定義，并引導學生作簡要分析。重點班學生能利用定義迅速判斷出教師所給的例子①、②是函數，而對口班學生則在知道、分析了定義后仍不能應用，需教師再細致引導、教授如何用定義判斷，之后的判斷比較順利。

教學感想：在課堂中教師為主導、學生是主體是新教改教學的一個基本理念。那么在具體到這一堂課中應怎樣貫徹呢？我認為應根據不同學校不同學生的情況具體問題具體分析。針對學生初中數學基礎較差，函數部分仍為難點這一具體情況，教師在這里的“主導”地位體現在幫助學生回憶初中函數的定義，意識到“判斷是否是函數”這一問題的解決工具是我們所學過的“函數的定義”，這就為學生鋪設了一個臺階，讓如何判斷“是否是函數（圖像與表格形式的函數）”這一讓學生上不著天、下不著地的問題變得有理可依、有據可查。讓問題恰好處在學生的“最近發展區”內。而實際課堂學生的回答的情況也表明確實如此。教師引導完后，具體例子的判斷，話語權交給學生，貫徹“學生是主體”這一理念，讓學生試著運用定義去解決問題。此時，學生狀態很好，感覺對函數的判斷很有成就感，學生積極踴躍地參與回答問題。此時，教師引領學生進一步深入思考，將學生的思維引入更高的一個層次，提出問題二。

問題二：我們已經學習了“集合”，你能用集合的語言刻畫初中的函數定義嗎？

也可進行分解成：

（1）x、y有范圍嗎？（2）定義中還有一個關鍵詞是什么？

“對應”，我們在定義中給它一個符號f。

教學感想：對于一些抽象、難度較大的問題，教師要充分發揮“主導”作用，可將問題內容分解，難度降低，適當提示，給學生鋪設臺階，給予助力。如果放任思考，對于一些基礎不是特別好的同學可能會不知如何入手去想，從而游離思緒于課堂之外，失去了參與課堂的積極性。

課堂進行到這里，學生的思維已經從正面例子的感性認知體驗上升到理性的定義總結，思維與理解都有了一定的深化與發展。在課堂實況中，教師明顯看到很多學生面露欣喜，感覺很有收獲，也有所成就。此時，教師進一步提問，掀起學生思維的波瀾。

問題三：對示例②稍做改動，如下表所示，成績還是考試次數的函數嗎？

問題四：由于電腦故障，在未進行第四次考試的情況下，出現了如下表格，成績還是考試次數的函數嗎？

問題五：該生第四次考試缺考，如下表，成績還是考試次數的函數嗎？

問題三與問題四實質上是通過例子在對概念的內涵與外延進行理解、辨析；而問題五則是一個反例。這三個問題討論辨析的環節是學生最為熱烈、興奮的環節，學生經過前面的訓練已經有了運用定義解決問題的意識，學生均能自覺運用定義去判斷，但有些同學在定義的關鍵點的理解上還不夠深入，思維的嚴謹性有所欠缺，所以在問題的認識上有很多矛盾和沖突，學生之間的爭論此起彼伏，而真理是越辨越明的，通過學生之間意見的交換、爭論、辨析，學生的思維始終處在高度亢奮的狀態，而函數定義中關鍵詞的理解也在學生的辯論中躍然而出，不言而自明了。

問題三學生的困惑點在于兩個88，爭論的焦點是兩個88符合“唯一”確定的y值嗎？而解決這一問題的關鍵是理解定義中函數是建立在兩個集合之間的對應。“考試次數”構成集合A，“成績”構成集合B，運用集合中元素具有互異性，兩個88在集合中只能出現一次，即符合唯一性。因此成績是考試次數的函數。這里實質上考察函數定義中集合B中元素必須滿足唯一性。即集合A中可以多個元素對應集合B中一個元素。

問題四實質上考察函數定義中集合B中元素可以不滿足任意性，即B中元素可以多出來，問題五實質上考察函數定義中集合A中的元素必須滿足任意性，即A中元素不可以多出來。在問題五中學生爭論的焦點還在于缺考成績如何處理的問題，若定義缺考為零分，則是函數；若定義缺考為沒有成績，則不是函數。

以上四個表格的例子可以用Venn圖表示為：

這樣表示的好處一是使學生非常清楚的理解函數的定義，同時也為后面學習映射埋下了伏筆。好處二是從圖中也很容易發現y組成的集合不一定是集合B，即值域是集合B的子集。

課堂進行到這里，學生異常興奮，感覺已非常明白，函數的概念具體、生動了許多。這時，教師引導學生再回到定義中去，讓學生的思維從感性認識再上升到理性的思考與分析，提出進一步的思考問題。

問題六：在這個定義中，你認為哪些是關鍵詞？

學生通過思考這個問題，找出函數的三要素為定義域、對應關系、值域。師生共同就上面的每一個例子，找出定義域即為集合A，值域為C=fx|x∈A，且CB。

在這個問題中難點是對應關系f到底是什么？以及對函數符號y=fx的正確理解。

整堂課學生的參與度之高，學生思維之活躍是前所未有的。與舊教材先講映射，函數概念抽象難懂相比，新教材以大量實例引入，以初中概念為依托，由學生自己循序漸進地得出函數的新概念，使得概念難度降低，學生易于接受，再由特殊到一般，映射概念的出現水到渠成。

如果說舊教材像邏輯嚴謹、諄諄教導的嚴師，那新教材就像一位循循善誘、娓娓道來的朋友，她使我們的數學像墮入凡間的仙子，離我們越來越近了！

（作者單位：石家莊第十一中學）