函數的零點——利用圖像研究零點問題

本課是高中數學必修一第三章第一節函數與方程中函數的零點部分，主要內容是利用方程將函數的零點個數問題轉化為函數圖像的公共點個數問題。作為初等數學的核心概念，函數與其他知識具有廣泛的聯系，函數、方程、不等式以及函數的圖像等數學問題既相互獨立又互相呼應，而對函數的零點的概念的透析，本身就決定了我們能夠以方程的解為媒介，在函數的零點與函數的圖像之間架起一座橋梁，從不同的角度將數與形、函數與方程有機聯系在一起，體現著數形結合思想、函數與方程思想、轉化與化歸思想。教學時從思想方法入手，突出方程在二者之間的橋梁作用較為適宜。

利用函數的圖像研究零點的個數問題，是函數圖像的重要應用之一，也是近年來各地高考的熱點問題，更是數形結合思想的重要體現，其重要性不言而喻。學生在處理此類問題時，對于如何利用函數的圖像這個問題，要么缺乏正確的方法，要么缺乏嚴密的思維，極易出錯。鑒于此，設計了本課。按錄課內容順序，設計時主要考慮了以下幾點：1.思維激活階段，采用提問式引出本課的主要問題，配以惟妙惟肖的卡通人物形象，既能提高學生的學習興趣，避免單調枯燥，又能激發學生的求知欲，使學生主動思考問題；2.回扣教材階段，回顧了函數零點概念后進行簡單分析，引出三個等價關系，并著重強調方程的橋梁作用，呼應了思維激活階段的兩個問題，突出了函數與方程思想、轉化與化歸思想；3.知識運用階段，設置了兩道高考真題作為例題。其中例一主要是利用方程，將一個較復雜函數的零點問題，轉化為兩個較簡單函數的圖像的公共點個數問題，重點強調轉化方法；例二對題目作了微小改動，以切合本課主題，本例中，為使學生直觀的體會到參數對函數圖像的影響，采用VB編程，制作了本題動畫效果（動畫效果程序語言文末另附），學生弄清楚這一點后，問題的解決就水到渠成了；4.亮點概述部分，采用了學生自己閱讀的方式，配以舒緩的音樂，這樣，既讓學生得到了緊張后的放松，又留給學生總結、思考和領悟的時間。

1、知識與技能：（1）理解函數零點的概念；⑵領會函數的零點與對應方程的根、函數圖像之間的關系；（3）體會數學思想方法的靈活運用。

2、過程與方法：（1）通過分析函數零點的概念，體會函數的零點與方程的根的關系，進一步體會與函數圖像的聯系；⑵通過對例題的分析，體會如何利用函數圖像研究零點問題；⑶學生自主歸納本課內容，領悟方程在零點與圖像之間的橋梁作用。

3、情感與價值觀：在函數與方程的聯系中體會化歸思想和數形結合思想的意義和價值，發展學生對變量數學的認識，體會函數的核心作用，感受數學的內在美，激發學生的學習熱情，培養學生的創新意識和應用意識。

利用方程，將函數的零點個數問題轉化為函數圖像的公共點個數問題體會參數對函數圖像的影響，并能據此確定符合零點個數的條件1、簡單引入后開始思維激活部分，提出問題：什么是函數的零點？如何利用函數的圖像研究零點的問題？2、回扣教材部分對零點的概念分析，得出幾個等價關系，解決問題；（略）3、講解例一，重點分析如何利用方程將較復雜函數的零點個數問題轉化為兩個簡單函數的圖像的公共點個數，突出本課重點；（略）4、講解例二，借助VB動畫效果，體會參數對函數圖像的影響，借此找到符合題意的條件，并解決之，突破難點；（略）5、學生閱讀亮點概述部分，總結、思考、領悟本課精髓。⑴在函數的零點與圖像之間搭起一座方程的橋梁，使得利用函數的圖像研究零點問題成為可能；（2）題型一 利用函數圖像的公共點確定零點的個數（定圖求零點個數）6、題型二 利用圖像及零點個數確定待定字母范圍（動圖求參數范圍）（略）

教學時，要時刻反思自己的教學行為，使后期教學中少一些遺憾。本課體會如下：1、教學時要善于抓住本課的切入點，以點帶面。本課中，牢牢抓住函數的零點的概念，以這一點帶動方程的根既是對應函數的零點，又是函數圖像與x軸公共點的橫坐標這個面，實現利用函數的圖像研究零點個數問題的目的；2、數學思想方法是數學知識的高度概括，教學時應該始終站在這一高度，使學生既認識到數學現象，又領悟到數學本質。（單位：湖北省云夢縣黃香高中）