試論數學教學中學生抽象思維能力的培養

梁冬梅

摘要：數學的最大特點是其抽象性，因而通過數學培養抽象思維能力是重要途徑，數學思維是數學學習活動的核心，而要培養和發展學生的數學抽象思維能力，就需要探索小學生數學思維的特征。心理學研究表明，小學生思維正處于具體形象思維為主，并逐步走向邏輯思維為主要形式過渡；由具體運算為主，逐步向形式運算為主過渡的時期。

關鍵詞：小學生；小學數學；抽象思維；培養途徑

小學階段有大量的計算教學，如何由算理的直觀上升到算法的抽象應該是計算教學中永遠要研究的主題。從認識過程來看，學生對問題的思考和解決通常分為兩個階段：感性認識和理性認識階段。感性認識，即形成感覺、感知和表象的階段，是對事物的認識的低級階段。理性階段，即對表象進行概括和抽象而形成概念的階段。表象是感知的保存和再現，表象是感性認識和理性認識的中介和橋梁。在案例一和教學事例中我們都用到了表象思維，它促進了形象思維向抽象思維的跨越與提升。

數學的抽象決定了數學可以培養學習者的抽象能力，也決定了學習者必須具有一定的抽象能力。從一道道具體的應用題到常見的數量關系，從一道道具體的計算題到計算法則，從具體的數到一個個字母等無一不是抽象的過程。教材的編排出體現了這樣一個由具體到抽象的過程。如加法交換律的學習，第一冊是借助直觀讓學生感受3+2=5、2+3=5，第四冊中這是一種具體形象，第七冊則出現一系列算式38+12=12+38，560+310=310+560，…進行初步抽象，并用語言描述：交換兩個加數的位置，和不變。在此基礎上用字母表示加法交換律a+b=b+a，進行本質概括。由此可見數學給予人的抽象概括能力，可以使人有條理地在簡約狀態下進行思考。所以在教學中：

一、要重視形象思維

首先在教學中教師要盡可能地運用形象。形象思維能促進學生的心理活動更加豐富，有助于他們更深刻地認識事物的本質和規律。研究表明，富有創造性的學生形象思維一般能達到較高水平。“火車過橋”問題是學生很難理解的一類行程問題，記得在教學時我信手拈來，很自然恰當地運用了教室里現在的物品進行操作演示：把講臺當做橋，一把米尺當成火車，來演示火車過橋，我先讓學生理解“過橋”并進行演示，通過演示明確“車頭上橋到車尾離橋”才叫“火車過橋”，接著再弄清火車過橋所行的路程，通過演示學生很容易明白火車過橋所行的路程就是橋長加車身的長度。直觀可以讓抽象的語言文字變成看得見的形象，可以降低學生思維的難度，可以幫助學生很好地理解知識、建構知識。

其次還應指導學生養成用直觀化策略解決問題的習慣。如小明和小軍去買同一本書，用小明的錢買這本書缺1.6元，用小軍的錢買這本書缺1.8元，如果把兩人的錢合并在一起買一本書則多2元，這本書單價是多少元？學生如果采用畫圖策略，那么問題便可迎刃而解。

二、要引導學生學會逐步的抽象

首先教師在教學中要注重培養學生的抽象思維能力。抽象只有擺脫具體形象，才能使思維用算法化的方式得出新的結果。如一年級學習“9加幾”的加法，當學生有一圈十、湊十的實物操作基礎后，教師必須引導學生回到算式，抽象出算法，要算9加幾的加法，先要想9加幾等于10，再把第二個加數進行分解，最后再進行9+1+（）的計算。

其次抽象除了可以使思維概括、簡約、深刻以外，還有發現真理的功能。所以教師還要指導學生用抽象的方法解決問題。在學習中可以表現為由原型匹型到抽象提升，如六年級有這樣一類題：“一批布，做上衣可做20件，做褲子可做30條，這批布可做多少套衣服？（一套衣服是一件上衣和一條褲子）”“體育委員為班組購買文體用品。他帶的錢正好可以買15副羽毛球拍或24副乒乓球拍。如果他已經買了10副羽毛球拍，那么剩下的錢還可買多少副乒乓球拍？”這些題都可以抽象成工程問題，通過抽象的方式解決問題。

三、要重視表象的作用

表象是人腦對當前沒有直接作用于感覺器官的、以前感知的事物形象的反映。它不僅具有具體形象性，還具有一定的概括性。它不但反映個別事物的主要特點和輪廓，而且還反映一類事物的共同的表面特征。表象的基礎是感知，所以教師要盡可能地豐富學生的感知，要運用觀察、操作、實驗等多種形式，調動學生的多種感官參與感知。在上述教學事例中，借助表象思維進行10以內的加法計算和兩位數加整十數、一位數的計算，它的前提是學生必須有豐富的感知，頭腦中有相關的圖形表象，否則就很難進行。表象思維是感性認識和理性認識的橋梁，教師要重視表象思維在形象思維向抽象思維上升過程中的作用。

四、形式運算——抽象思維訓練的好途徑

有這樣一道題：“一個正方體削成一個最大的圓柱，這個圓柱的體積是正方體體積的百分之幾？”學生1的解法是：假設正方體的棱長為6厘米，那么圓柱的底面直徑和高都是6厘米。π×（6÷2）2×6=54π（立方厘米），6×6×6=216（立方厘米），54π÷216=π÷4=78.5%。學生2的解法是：所正方體的棱長看成a。π×（a÷2）2×a=πa2/4×a=πa3/4（立方厘米），a×a×a=a3（立方厘米），πa3/4÷a3=π/4=78.5%。兩種方法都得到了正解的答案，但是第一種是通過舉具體的數據進行運算，第二種則是用字母代替數進行運算，即參數法。顯然第二種方法具有更高的抽象水平，也更具有概括性。但是能想到第二種方法的學生只有六七個。

運算思維結構可以分為兩個水平，一個是具體運算水平，一個是形式運算水平。根據皮亞杰關于思維發展階段的劃分，兒童約從7歲到11歲為具體運算階段，這個階段的運算一般還離不開具體事物的支持。約從11歲到15歲為形式運算階段，形式運算就是命題運算思維，這種運算可以離開具體事物，根據假設來進行。小學里已學習了用字母表示數和簡單的一元一次方程，六年級學生的運算思維水平可以脫離具體事物與具體數據進行形式的代數的運算，也就是說已經具備了形式運算的基礎與可能。而在小學階段解決數學問題中有時用代數法更具有普遍性、概括性和說服力，同時也為初中學習代數做鋪墊打基礎，所以作為小學高年級的教師應該把培養學生形成運算的能力作為教學的一個內容。

總之，培養學生的抽象思維能力不是一朝一夕就可以取得明顯成效的，它是一個系統過程。在教學中必須做到教學目標明確、教學重點突出，教學方法合理、循序漸進、長期堅持；在教學中不斷總結經驗教訓，不斷取長補短，只有這樣才會取得預期的成果。