初中數學教學中數形結合解題思想的應用

江西省南昌市進賢縣文港鎮初級中學 李任華

初中數學教學中數形結合解題思想的應用

江西省南昌市進賢縣文港鎮初級中學 李任華

數學是初中教育重要組成部分，也是教學的重點和難點。其中數形結合思想指將抽象概念邏輯結合直觀數學圖形，進而讓學生學會抽象思維和形象思維結合能力并對其轉化。數形結合解題思想和其他解題方法相比有著易接受和形象性、直觀性特點，教師在教學中引導學生應用數形結合解題思想能鍛煉學生分析問題和解決問題能力，從而更好地掌握和理解數學知識。本文則從函數問題、面積問題、應用題等問題中分析數學數形結合思想應用，望給予初中數學教師提供教學參考。

初中數學；數形結合；解題思想；應用

數形結合是數學教學中除了現代多媒體之外最直觀形象的教學方法，運用圖形化將生硬的數學理論知識變為有趣的知識點，并將數與形相對應，促使學生進一步掌握和理解所學數學理論知識。最重要能解決學生在認知上產生的困惑，提高邏輯思維能力，減少學習數學負擔。因此在初中數學教學中應用數形結合對提高解題效率和促進學生全面發展有著重要的現實意義。

一、初中數學數形結合思想在函數問題中的應用

相關數學家曾指出，數字和圖形結合有千般萬般的好，能將因抽象而不好理解的函數聯系直觀的圖形，化難為易，化繁為簡。函數在初中數學中是一個知識點十分廣闊的內容。教師在講解函數時應緊抓數學思想，新課程標準也強調，要求數學教師在教學中借助數學思想和方法引導學生獲得具體知識。數形結合思想即在解決數學問題中將直觀形象的空間形式結合精準刻畫的數量關系，能深層次揭露問題。尤其對于有著多種表達方式的函數，數形結合能直觀地反映函數值與自變量取值的對應關系以及隨自變量變化函數值也隨之變化的數學規律。例如某初中數學教師在講解二元一次方程組時就讓學生通過樹立圖形意識掌握利用函數圖像解決問題，也為學習幾何知識打下良好的基礎。例如：小王和小明兩人同時從相距90千米的A地前往B地，其中小王選擇乘坐汽車，而小明則選擇騎摩托車，當小王達到B地停留半小時之后又返回A地，圖1為二人離A地的距離與時間的函數關系圖像。求解小王從B地返回A地時y與x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍。

解答：設y=Kx+b，根據題意的3k+b=0，1.5k+b=90，解得k=-60，b=180。∴y=-60x+180（1.5≤x≤3）。

圖1

二、初中數學數形結合思想在面積問題中的應用

例如：圖2△ABO中，A點與B點的坐標依次為（2，4）、（6，2），解△ABO的面積。

圖2

題目解析：該題目出現在七年級下冊的練習資料中，當時學生們還沒有接觸勾股定理，而題目需要計算三角形△ABO的面積，如果嘗試先計算出某一條邊的長度，再計算出對應邊的高度，對學生來講過于復雜且很難辦到，因此教師就可引導學生應用數形結合思想。引導學生通過A、B兩點畫出與x、y軸分別垂直的線段，垂足依次為C、E，兩條垂線在D點交叉，獲得長方形圖形OCDE，而OCDE的面積很容易求出來。另一方面，△BEO、△ADB、△ACO三個三角形的面積都很容易計算出來，那么題目要求計算的△ABO的面積其實就是用長方形圖形OCDE的面積依次減去三個已經求出的三角形面積。

解題：過A、B兩點依次畫垂線x、y，垂足依次為C、E，兩垂線在D點交叉，如圖3。那么，長方形DECO的面積：S=6×4=24

那么，△ABO的面積：長方形OCDE的面積-△BEO的面積-△ADB的面積-△ACO的面積=24-6-4-4=10

三、初中數學數形結合思想在應用題中的應用

數形結合法是一種十分直觀、高效的解題方法，引入初中數學課堂教學中，就可理順數學知識的條理、理清數學知識之間的邏輯性，從而將原本復雜的數學知識變得更為直觀、簡單、易懂，最終切實提高初中數學教學實效，充分發展學生思維。應用題在初中數學中也是普遍題型，甚至在中考中也占據較大的分值。但是在實際學習中由于應用題涉及過多的知識點，教師教學有難度，學生學得也十分吃力，如果在其中融入數形結合解題思想能降低應用題解題難度。例如某網絡公司推出新一季產品，用x表示產品銷售數量，用y表示推銷費用，圖3為關系圖。已給出公司在每月中需要支付給銷售員推銷費用，借助圖形得出①y1和y2的函數解析式；②假如你是該網絡公司推銷員，你選擇哪種支付方案？③圖3中，兩種支付方案如何支付推銷費用？

圖3

解答：①y1=20x，y2=10x+300；②若銷售員有很強的業務能力，每月都能完成公司規定任務，就可選擇y1，如果達不到，就選擇y2。③因為y1沒有向外推出產品，就沒有推銷費，所以推銷10件產品就能擁有200元，然而y2擁有的是底薪，只要推出10件產品就會有100元的提薪。

總之，隨著新課程改革的實施和素質教育的推進，要求初中數學教師除了關注課堂效果之外，更要注重學生各方面能力發展。對于數學來說，解題思維是理解知識的最大體現，通過數形結合能進一步優化教學內容，降低數學學習難度，更重要是以形象化和直觀化方法簡化抽象的數學問題，也能激發學生學習數學興趣，鍛煉分析問題和解決問題思維能力，真正實現數學教學目標。

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[3]徐文紅.初中數學教學應用數形結合思想的探討[J].數學學習與研究， 2015（9）：67.