一道高考題的解法賞析與背景探究

☉江蘇省如東縣馬塘中學 陳寶霞

一道高考題的解法賞析與背景探究

☉江蘇省如東縣馬塘中學 陳寶霞

2016年全國Ⅰ卷試題，相較于前幾年試題的難度而言，難度更大一些.有很多題目設計的都很有新意且意味深長，筆者以今年全國Ⅰ卷文科的第20題為例，試圖給大家展示一下出題人的思路及該問題的設計背景.如有不足之處，歡迎大家指正.

一、試題呈現

題目在直角坐標系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交y軸于點M，交拋物線C：y2=2px（p>0）于點P，M關于點P的對稱點為N，連接ON并延長交拋物線C于點H.

（Ⅱ）除H以外，直線MH與拋物線C是否有其他公共點？說明理由.

二、解法賞析

解法1：（Ⅰ）由已知得M（0，t），P又N為M關于點P的對稱點，故ON的方程為代入y2= 2px，整理得px2-2t2x=0，解得x1=0因此H所以N為OH的中點，即

（Ⅱ）直線MH與拋物線C除H以外沒有其他公共點.理由如下：

所以除H以外，直線MH與拋物線C沒有其他公共點.

點評：這個解法充分體現了坐標法思想，凸顯了解析幾何的解析味道，是學生必須掌握的方法，這個解法還從代數的角度證明了直線MH是拋物線過點H的切線.

解法2：（Ⅰ）同法一.

（Ⅱ）如圖1，作HH1垂直于準線x=-，垂足為H1，交y軸于點Q，由（Ⅰ）知△H1QM≌△FOM，從而∠H1MQ=∠FMQ，H1，M，F三點共線，由|HF|=|HH1|，|FM|=|H1M|，得HM是線段H1F的垂直平分線.

圖1

設直線MH上除H以外，與拋物線C還有一個公共點I，作準線的垂線II1，垂足為I1，連接IH1，IF.因為I是H1F垂直平分線上的點，所以|IH1|=|IF|.又I是拋物線y2=2px上的點，所以|II1|=|IF|，所以|IH1|=|II1|，與△II1H1為直角三角形矛盾，所以除H以外直線MH與拋物線C沒有其他公共點，即直線MH為拋物線的切線.

點評：這個解法緊扣拋物線的定義及平面幾何的相關知識，回歸本質，凸顯了解析幾何的幾何味道.從解答過程而言，該題并不復雜，最大的難點在于涉及的點太多，且所有的量均是未知的（除了原點）.該題與我們平時練習的“套路”相去太遠，學生感覺到陌生，再加上在前面消耗的時間過多，已經沒有精力能平靜地面對該問題.

三、尋根探源

本題來源于《人教A版數學選修1-1》56頁：“信息技術應用——用‘幾何畫板’畫圖，如圖2，F是定點，l是不經過點F的定直線，H是l上任意一點，過點H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，觀察點M的軌跡.你能發現點M滿足的幾何條件嗎？”

圖2

教科書設置“信息技術應用”欄目，給出了拋物線生成的過程.通過“幾何畫板”的制作，學生可以從作法中了解曲線上的點所滿足的幾何條件，明確拋物線的定義，用幾何畫板作拋物線的方法，依據就是這個欄目.但該欄目的作用絕不是僅此而已，它還給我們留下了如下寬廣的探究空間.

結論1：點M的軌跡是拋物線C，則與之相關的垂線m與拋物線C相切，點M為切點，如圖3.

圖3

可以從代數和幾何兩個角度來證明垂直平分線m是拋物線過點M的切線，其證法與這道高考題的證法完全相同，具體證法略.

圖4

結論2：如圖4，若直線m與x軸相交于點T，則四邊形MHTF為菱形.

簡證：設M則H再由F得直線m的方程為即

四、拓展延伸

通過解答過程，該題的本質是討論過拋物線外一點作拋物線的切線，以及對應的切點弦相關的性質，可以得到相應的一系列性質：

引理已知拋物線y2=2px（p>0），則過拋物線上一點M（x0，y0）的切線方程為y0y=p（x+x0） ①.

證明：根據隱函數的求導法則，對拋物線方程求導可得則在點M（x0，y0）處切線的斜率為直線①過點M（x0，y0）且斜率為所以結論成立.該證明過程涉及高等數學知識，也可聯立直線①與拋物線的方程，通過驗證Δ=0說明結論.

定理1已知拋物線y2=2px（p>0），過拋物線外一點M（x0，y0）的切點弦方程為l：y0y=p（x+x0），并稱該直線為關于點M的切點弦方程.

證明：易知過拋物線外一點M作拋物線的切線一定有兩條，設對應的切點為A，B.設點A的坐標為（x1，y1），根據引理，知直線MA的方程為y1y=p（x+x1）.

同理設點B的坐標為（x2，y2），則直線MB的方程為y2y=p（x+x2）.

因為點M∈直線MA，所以y1y0=p（x0+x1） ②成立.

同理，y2y0=p（x0+x2） ③也成立.構造直線l：y0y=p（x+ x0），由②、③式可知，點A，B∈l，再根據兩點確定一條直線，所以直線l即為對應的切點弦.

如果以此為背景，回到原題第（Ⅱ）問，我們并不需要知道點H的坐標，通過驗證ON的斜率即可獲得結果.

改寫解答如下：可知M（0，t），根據定理1，點M對應的切點弦為lM：ty=px，該直線顯然過原點O，由第（Ⅰ）問可知即直線ON為關于點M的切點弦，故點H為切點.

再聯系第（Ⅰ）問，可知點N是線段OH的中點，直線MN與對稱軸平行.是否所有的切點弦都有這樣的特性呢？如果有，根據切點弦的唯一性，直接可得答案.

定理2過點M（x0，y0）作拋物線y2=2px（p>0）的切線，設兩切點為A，B，則有AB的中點N的縱坐標為y0，即與點M的縱坐標一樣，即直線MN與拋物線的對稱軸平行.

證明：（點差法）設點A（x1，y1）滿足拋物線方程，得=2px1.設點B（x2，y2）也滿足拋物線方程，得=2px2.兩式相減得（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2），化簡為即有yN=

再次改寫解答如下：已知點O為切點，由第（Ⅰ）問N是線段OH的中點，根據定理2及切點弦的唯一性，直線ON為關于點M的切點弦，故點H為切點.

根據題干可知點N與點M關于點P對稱，這是否也是一般結論呢？

定理3過點M（x0，y0）作拋物線y2=2px（p>0）的切線，設兩切點為A，B，設AB的中點為N，則MN的中點P落在拋物線上.

證明：由定理2，知yN=y0，再根據定理1，得直線AB的方程為：y0y=p（x+x0），可得點N的橫坐標為即有點N的坐標為再根據點M（x0，y0）可得點P的坐標為所以點P在拋物線上.

五、教學啟示

本題涉及切點弦相關的知識，如果學生熟悉該背景，入手會更容易，在解答的過程中會更有方向感；即使學生并不知道相關的背景知識，學生依然能解答此題.所以此題的設計是很巧妙的，可以說是深入淺出.在以后的教學中，首先要教會學生穩定心態，即使讀不懂該題，利用“相關點”法也能獲得一些分數：即設出點M的坐標，利用題目條件寫出相關的點P與點N，再到下一層“相關點”，求出點H的坐標.告誡學生對于難題，我們沒必要獲得完整的解答，在自己的能力下，做到“最好”就足夠了.其次，在平時的教學中，在講解“套路”的基礎上，給學生介紹一些圓錐曲線相關的幾何性質，不一定要求都要掌握，但要做到知道.